北师大版-数学-七年级上册-《解方程》知识汇总

活动与探究
1．(1)小红在解方程3x =0时 ，在方程两边都乘0，得到0=0．她说：“怎么x 没有了？我做不下去啦．”她错在什么地方？
(2)王刚在解方程2x =5x 时，在方程两边都除以x ，竟得到2=5．他错在什么地方？
(3)你能帮小红、小刚将上面两个方程正确的解出吗？
过程：(1)小红在解方程3x =0时，用等式的第二个性质，得到0=0，而此等式仍成立，与第二个性质并不矛盾，可是她忘了是要解方程3x =0，而这里需要用等式的两个基本性质将方程3x =0变形为x =a (a 为常数)的形式．
(2)王刚在解方程2x =5x 时，方程两边同时除以x ，显然是错误的，因为等式的第二个性质是在方程两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)，等式仍成立．如果两边同时除以x ，而x 是一个字母，是可以取任意实数的，例如在这个方程里就x =0，方程即这个含有未知式的等式是不成立了．因此出现了2=5的不成立的等式．
结果：(3)小红解的方程应为：3x =0
在方程两边同时除以3，得x =0．
小刚解的方程应为：2x =5x
移项，得2x -5x =0．
合并同类项，得-3x =0．
方程两边同除以-3，得x =0．
知识总结
(一)解一元一次方程常见错解例析
一元一次方程是含有未知数的等式，而解一元一次方程就需用等式的两个基本性质对方程变形，直至x =a 的形式，也就解出了方程的解．但部分刚开始学习一元一次方程求法的同学往往由于忽略等式的性质或某些运算法则如去括号法则，合并同类项法则而导致解方程的错误．现对同学们在解一元一次方程的过程中出现的错例进行剖析．
1．移项没有变号
［例1］4x -2=3-x ．
错解：移项，得4x -x =3-2．
合并同类项，得3x =1．
方程两边同除以3，得x =3
1．
辨析：移项要变号．移项法则的得出是根据等式的第一个性质，例如x +3=5，要解出x ，需方程左、右两边同减去3便可求得即x +3-3=5-3，x =5-3和原方程比较就相当于将“+3”变为“-3”而由左边移到了右边．由此移项要变号．而在此题中将方程右 边“-x ”移到左边没变号，“-2”从左边移到右边也没有变号．正确的解法为：
解：移项，得4x +x =3+2．
合并同类项，得5x =5
系数化为1，得x =1．
2．去括号时，漏乘括号中的项或搞错符号．
［例2］-2(x -2)=12
错解：去括号，得-2x -2=12
移项，合并同类项，得-2x =16．
系数化为1，得x =-8．
辨析：去括号时，应用-2去乘括号里的各项，再把积相加，而在此题中，“-2”只乘了括号里的第一项．正确的解法是
解：去括号，得-2x +4=12
移项，合并同类项，得-2x =8
系数化为1，得x =-4．
3．去分母时，漏乘不含分母的项．
［例3］解方程4
2312+=-x x -1 错解：去分母 ，得4(2x -1)=3(x +2)-1
去括号，得8x -4=3x +6-1
移项，合并同类项，得5x =9．
系数化为1，得x =5
9． 辨析：去分母时，根据等式的第二个性质，方程两边同时乘以分母的最小公倍数，等式仍成立．而在运用这个性质时，方程右边的“-1”没有乘以12，出现了漏乘不含分母的项．正确的解法如下：
解：去分母，得4(2x -1)=3(x +2)-12
去括号，得8x -4=3x +6-12
移项，合并同类项，得5x =-2
系数化为1，得x =-5
2 4．去分母时，忘记分数线的括号作用．
［例4］解方程5
2221+-=-x x 错解：去分母，得
5(x -1)=20-2x +2．
去括号，得5x -5=20-2x +2．
移项，合并同类项，得7x =27
系数化为1，得x =
727． 辨析：
5152=+x (x +2)，因此，分数线除了有除号的作用外，还有括号的作用．因此-5
2+x ×10=-2(x +2)，分母变为1后，分数线去掉，分子的括号必须加上．正确的解法如下： 解：去分母，得
5(x -1)=20-2(x +2)
去括号，得5x -5=20-2x -4
移项，合并同类项，得7x =21．
系数化为1，得x =3．
5．将一元一次变形为ax =b (a ，b 为已知数，a ≠0)把x 的系数化为1，a 没有作除数． ［例5］解方程6x =-3．
错解：x =-2．
辨析：错误的原因只想凑整，而没有想到6是除数．正确的解法如下：
解：方程两边同时除以6，得x =-
21． (二)巧解一元一次方程
解一元一次方程的常规解法十分重要．但有些方程用常规解法却十分繁琐．这就需要观察、分析方程的特点，灵活运用五个步骤及等式的两个基本性质，对于提高我们运用数学知识的能力和深化数学思想方法至关重要．下面就简单地介绍几种．
一、巧用等式的第二个性质
遇到方程两边常数项或系数是小数时，可在方程两边乘以一个适当的数，使小数化为整数．
［例1］解方程0．5x +0．7=1．9x
解：方程两边同乘以10，得
5x +7=19x
移项，合并同类项，得14x =7
系数化为1，得x =2
1． 二、巧用分数的基本性质
有些方程分母中含有小数，如果去分母会很麻烦．此时，我们可以利用分数的基本性质将分母化为整数，这样做起来较为简单．
［例2］解方程02
.0202.061501.064x x -=--=7．5 解：利用分数的基本性质，将方程变形：
400-600x -6．5=1-100x -7．5
移项，合并同类项，得
500x =400
系数化为1，得x =5
4． 3．巧用分配律去括号
有的方程含有括号，但去括号时不一定按照顺序从里往外，也可用括号的整体作用及分配律从外往里去．
［例3］解方程
23［32(4
x -1)-2］-x =2 解：用23去乘中括号里的32(4x -1)和-2两项，得(4
x -1)-3-x =2． 移项，合并同类项，得-43x =6 系数化为1，得x =-8．
4．巧用“整体”简化步骤．
有些方程，可以将一部分式子联系起来，先看成一个整体，把方程看成这个整体的一元一次方程．
［例4］解方程3(x +1)=6+2(x +2)
解：将(x +1)当成整体，x +2=(x +1)+1，得3(x +1)=6+2(x +1)+2．
移项，合并同类项，得(x +1)=8
解，得x =7．。