1．在直角梯形A1A2A3D中，A1D＝10，A2A3＝16，A1A2＝8,A1A2⊥A1D,A1A2⊥A2A3，且B，C分别是边A1A2,A2A3上的一点，沿线段BC，CD，DB分别将△BCA2，△CDA3，△DBA1翻折上去恰好使A1,A2,A3重合于一点A.(1)求证:AB⊥CD；(2）求AC与平面BCD所成角的正弦值．解：(1）证明：由题意∠BAC＝∠BAD＝错误!,故BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD。
（2）由题意得，A1D＝A3D＝10,A1B＝A2B＝4，A2C＝A3C＝8，作点A在平面BCD内的射影点O,由V A.BCD＝V BACD得，S△BCD·AO＝S△ACD·AB，又S△ACD＝错误!×8×8＝32,S△BCD＝错误!(8＋10）×8－错误!×4×10－错误!×8×4＝36，所以AO＝错误!＝错误!.设AC与平面BCD所成角为α，则sin α＝错误!＝错误!＝错误!。
2。
如图，在四棱锥P。
ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD。
（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD＝4，BC＝2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P。
ABCD的体积．解：(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以PA ⊥BD.又AC⊥BD,PA，AC是平面PAC内的两条相交直线,所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC。
(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由（1）知,BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°。
由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO，在Rt△POD 中,由∠DPO＝30°，得PD＝2OD。
因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝12×（4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝错误!×（4＋2)×3＝9。
[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a >2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：选B 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数．又f (0)f (2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240解析：选C 因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDC －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.3．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析：选D 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，即3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.4．已知OA ＝(cos θ1,2sin θ1)，OB ＝(cos θ2，2sin θ2)，若OA '＝(cos θ1，sin θ1)，OB '＝(cos θ2，sin θ2)，且满足OA '·OB '＝0，则S △OAB 等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选B 由条件OA '·OB '＝0，可得cos (θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝π2，θ2＝0，代入，则A (0,2)，B (1,0)，故面积为1.5．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x ＋1且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，又给定条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(3,5)B ．(－2,2)C ．(1,3)D ．(5,7)解析：选D f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos 2x ＋1 ＝2sin 2x －23cos 2x ＋3 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3. 令t ＝2x －π3，当π4≤x ≤π2时，f (x )＝g (t )＝4sin t ＋3，π6≤t ≤2π3，∴当π4≤x ≤π2时，f (x )max ＝7，f (x )min ＝5.∵p 是q 的充分条件，∴对任意x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，|f (x )－m |<2恒成立， 即m －2<f (x )<m ＋2恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<f (x )min ，m ＋2>f (x )mim ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2<5，m ＋2>7，解得5<m <7. 6．抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－3，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－1，＋∞)解析：选A 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎨⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m (x 1＋x 2－6)，x 1＋x 2＝－1m ，消去x 2，得2x 21＋2m x 1＋1m 2＋6m ＋1＝0.∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫2m 2－8⎝⎛⎭⎫1m 2＋6m ＋1>0， 即(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0. ∵6m 2－2m ＋1>0， ∴m <－12.即当m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，所以如果抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－12.二、填空题7. 若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )x a －yb ＝1，a >0，b >0，当A ∩B 有且只有一个元素时，a ，b 满足的关系式是________．解析：A ∩B 有且只有一个元素可转化为直线x a －yb＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，故圆心到直线的距离为|ab |b 2＋a 2＝1.∵a >0，b >0，∴ab ＝a 2＋b 2.答案：ab ＝a 2＋b 28．(2013·呼和浩特模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________.解析：因为1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2 013－1a 2 014＝1a 1－1a 2 014，又a 1＝1，所以1a 2 014∈(0,1)，所以1a 1－1a 2 014∈(0,1)，故⎣⎡⎦⎤1a 1－1a 2 014＝0. 答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，则|OP |的最小值等于________．解析：因为点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，所以点P 与A 、B 、C 共面，即点P 在平面ABC 内，所以|OP |的最小值等于点O 到平面ABC 的距离，也就是正四面体的高，为63. 答案：63三、解答题10．(2013·海淀模拟)在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由． 解：(1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点， 所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ， 又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC . (2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝2 3. 在△ACD 中，因为M 为AC 的中点，DM ⊥AC ， 所以AD ＝CD ，∠CDA ＝120°， 所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1.所以BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD . 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC . (3)假设直线l ∥CD .因为l ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ，所以CD ∥平面P AB . 又CD ⊂平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以CD ∥AB .又知CD 与AB 不平行，所以假设不成立，直线l 与直线CD 不平行．11．已知函数f (x )＝x －1x ，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，判断方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由． 解：(1)∵h (x )＝f (x )－g (x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.依题意，知不等式x 2－ax ＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a ≤x ＋1x 在区间(0，＋∞)上恒成立，解得a ≤2，即a 的取值范围为(－∞，2]．(2)当a ＝2时，h (x )＝x －1x－2ln x .∴h (x )＋h (2－x )＝2－2x (2－x )－2ln[x (2－x )]．令t ＝x (2－x )∈(0,1)，构造函数φ(t )＝2－2t －2ln t .∵φ′(t )＝2t 2－2t ＝2－2tt 2>0恒成立，∴函数φ(t )在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0. ∴φ(t )＝2－2t －2ln t ＝0在(0,1)上无解．即方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上无解．12．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N .试问x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 1与抛物线无公共点时，由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由抛物线定义知抛物线上的点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2.当直线l 1与抛物线有公共点时，把直线l 1的方程与抛物线方程联立，消去x 得关于y 的方程2y 2－3py ＋6p ＝0，由Δ＝9p 2－48p ≥0且p >0，得p ≥489，此时抛物线上的点到直线l 2的最小距离为p 2≥249>2，不满足题意．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0， 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0，所以直线l 的方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)．令x ＝－1，又由y 20＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0.设Q (x 1,0)，则QM ＝(x 0－x 1，y 0)，QN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0.由题意知QM ·QN ＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0.把y 20＝4x 0代入上式，得(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0.因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0，所以x 1＝1，即在x 轴上存在定点Q (1,0)，使点Q 在以MN 为直径的圆上．。
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第二讲 高考中的数列(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ， 即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )． T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋91－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·合肥模拟)各项为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？请说明理由．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1，当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)由a 2n ＝4S n －2a n －1， ① 得a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1，②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )， ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n －1. (3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5,3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0.∴a ·b ＝0⇔m (n ＋1)＝(2n ＋3)(2n ＋9)＝[2(n ＋1)＋1]·[2(n ＋1)＋7]⇔m (n ＋1)＝4(n ＋1)2＋16(n ＋1)＋7⇔m ＝4(n ＋1)＋16＋7n ＋1. ∵m ，n ∈N *，∴n ＋1＝7，m ＝4×7＋16＋1，即n ＝6，m ＝45. 当且仅当n ＝6，m ＝45时，a ⊥b .5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式． 解：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1，b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)证明：由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又因为a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }是等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又因为a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.6．已知函数f (x )＝2x ＋33x .数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .解：(1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴{a n }是以23为公差，首项为a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0042，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0042对一切n ∈N *成立， 又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －2 0042. ∴m ≥2 013，即m min ＝2 013.。
