北京市海淀区2018届高三数学下学期期中练习一模试题理
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1 北京市海淀区2018届高三数学下学期期中练习（一模）试题 理
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合0,Aa，12Bxx，且AB，则a可以是
(A) 1 (B)0 (C)l (D)2
(2)已知向量a=(l，2)，b=（1，0），则a+2b=
(A)（1，2） (B)（1，4）
(C)(1，2) (D) (1，4）
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为
(A)2 (B)6
(C)8 (D) 10
(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，(,)Pxy为M中任意一点，则yx的最大值为
(A)1 (B)2
(C) 1 (D) 2
（5）已知a，b为正实数，则“1a，1b”是“lglg0ab”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转
动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面
上的投影的面积记作S，则S的值不可能是
(A) 1 (B) 65 (C) 43 (D) 32
（7）下列函数()fx中，其图像上任意一点(,)Pxy的坐标都满足条件yx的函数是
(A) 3()fxx (B) ()fxx (C) ()1xfxe (D) ()ln(1)fxx
2 （8）已知点M在圆1C：22(1)(1)1xy上，点在圆2C：22(+1)(+1)1xy上，则下列说法错误的是
(A) OMON的取值范围为[322,0]
(B ) OMON取值范围为[0,22]
(C) OMON的取值范围为[222,222]
(D)若OMON，则实数的取值范围为[322,322]
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)复数21ii .
( 10)已知点(2，0)是双曲线C：2221xya的一个顶点，则C的离心率为 .
( 11)直线 2xtyt（t为参数）与曲线2+cossinxy（为参数）的公共点个数为 .
( 12)在ABC中，若2c，3a，6A，则sinC ，s2coC .
(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有 种不同的站队方法．
( 14)设函数2,()3,xxafxxxxa．
①若()fx有两个零点，则实数a的取值范围是 ；
②若-2a，则满足()+fx(1)3fx的x的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
( 15)（本小题13分）
已知2()23sincos2cos1fxxxx． 3 (I)求()6f的值；
(Ⅱ)求()fx的单调递增区间．
( 16)（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地 54% 39% 46%
54%
56% 67% 64% 66% 78% 72% 72%
59%
乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖
和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空
气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)若108ab，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
( 17)（本小题14分）
已知三棱锥PABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：
(I)证明：平面PAC平面ABC;
(Ⅱ)求二面角APCB的余弦值；
(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMPM，12[,]33，点N在棱BP上，且BMAN，
求BNBP的取值范围．
(18)（本小题13分）
已知函数ln()xfxxa 4 (I)当0a时，求函数()fx的单调递增区间；
(Ⅱ)当0a时，若函数()fx的最大值为，求a的值.
( 19)（本小题14分）
已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，且点(2,1)T在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)判断OMON的值是否为定值，并证明你的结论．
( 20)（本小题13分）
设,()ijnnAa1,11,21,2,12,22,,1,2,nnnnnnaaaaaaaaa是由21,2,3,,n组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），2n且*nN．
若存在1in，1jn，使得,ija既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N数表”,ija为数表A的一个“N值”，
对任意给定的n，所有“N数表”构成的集合记作n．
(I) 判断下列数表是否是“N数表”．若是，写出它的一个“N值”；
123456789A，147825693B
(Ⅱ)求证：若数表A是“N数表”，则A的“N值”是唯一的；
(Ⅲ)在19中随机选取一个数表A，记A的“N值”为X，求X的数学期望()EX．
5
参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A D D B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
题号 9 10 11 12 13
14
答案 1i 52 2 33
13
48 (3,3] 1x
注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。
三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。
15. （本题满分13分）
（Ⅰ）2()23sincos2cos16666f
21332321222
2 ··························· 3分
（Ⅱ）()3sin2cos2fxxx
2sin(2)6x
因为函数sinyx的单调递增区间为2,222kk（kZ），
令222262kxk（kZ），
解得 36kxk（kZ），
故()fx的单调递增区间为[,]36kk（kZ） ········· 13分
6
16. （本题满分13分）
（Ⅰ）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用iA表示事件抽取的月份为第i月，则
123456789101112{,,,,,,,,,,,}AAAAAAAAAAAA共12个基本事件，
26891011{,,,,,}AAAAAAA共6个基本事件，
所以，61()122PA. ······················ 4分
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2.
242662(0)155CPXC，1124268(1)15CCPXC，22261(2)15CPXC
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 25 815
115
（Ⅲ）M的最大值为58%，最小值为54%. ··············· 13分
17.（本题满分14分）
（Ⅰ）方法1：
OPCAB
设AC的中点为O，连接BO，PO. 由题意
2PAPBPC，1PO，1AOBOCO
因为 在PAC中，PAPC，O为AC的中点
所以 POAC，
因为 在POB中，1PO，1OB，2PB
所以 POOB
因为 ACOBO，,ACOB平面ABC
所以 PO平面ABC
