2017_2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积学案苏教版选修2_120180312385
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1 3.1.5 空间向量的数量积
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的夹角
1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫做向量a与向量b的夹角，记作________.
2.图形表示：
角度 表示
〈a，b〉＝________
〈a，b〉是________
〈a，b〉是________
〈a，b〉是钝角
〈a，b〉＝________
3.范围：________≤〈a，b〉≤________.
4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝π2，那么称a与b互相垂直，记作________.
知识点二 空间向量的数量积
思考 两个向量的数量积是数量，还是向量？
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梳理 (1)定义：
①设a，b是空间两个非零向量，把数量______________叫做a，b的数量积.
②记作：a·b，即a·b＝________________.
(2)运算律：
交换律 a·b＝________________
数乘向量与向量
数量积的结合律 (λa)·b＝________(λ∈R)
分配律 a·(b＋c)＝________
(3)坐标表示：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①a·b＝________________.
②a⊥b⇔________⇔________________.
③|a|＝a·a＝________________.
④cos〈a，b〉＝________________________.
知识点三 空间中两点间的距离公式
思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？
梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝________________________.
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.
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(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).
反思与感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(OA→＋OB→ )·(CA→＋CB→)；(2)|OA→＋OB→＋OC→|.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角 4 例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
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反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________. 6
1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________.
2.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________.
3.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝22，|b|＝22，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________.
4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.
5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→的夹角为________.
1.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.
7 答案精析
问题导学
知识点一
1.∠AOB 〈a，b〉
2.0 锐角 直角 π
3.0 π
4.a⊥b
知识点二
思考 数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量.
梳理 (1)①|a||b|cos〈a，b〉
②|a||b|cos〈a，b〉
(2)b·a λ(a·b) a·b＋a·c
(3)①x1x2＋y1y2＋z1z2 ②a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 ③x21＋y21＋z21
④x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22
知识点三
思考 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.
梳理
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
题型探究
例1 (1)解 ①此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，
|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－ 8 (a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.
(2)解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.
②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－12)－4×16＝27－24－64＝－61.
跟踪训练1 13
例2 解 如图，设AB→＝a，AD→＝b，
AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)BC→·ED1→＝b·[12(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)BF→·AB1→＝c－a＋12b·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)EF→·FC1→＝
12c－a＋12b·12b＋a
＝12(－a＋b＋c)·12b＋a
＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
跟踪训练2 (1)1 (2)6
例3 解 如图所示.∵BA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝AB→＋BC→，
