北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
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1 DCBA北京市昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末考试
数 学 试 卷（文科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）复数21ii的虚部是
A. 1 B. 1 C. i D. i
（2） “2a”是“直线214ayaxyx与垂直”的
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）在数列{}na中 ，111,,)2nnaaayx点（在直线上，则4a的值为
A．7 B．8 C．9 D．16
（4）如图，在,2.=ABCBDDCAB,AC,AD中若则a=b
A. 2133ab B. 2133ab
C. 1233ab D. 1233ab
（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为
A. 4 B．8
C. 12 D. 24
（6）函数22()log(1)fxxx的零点个数为
A. 0 B. 1 C.
2 D. 3
（7）设不等式组22,4,2xyxy0≤ 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线+2=0y的距离大于2的概率是
A. 413 B. 513 C. 825 D. 925
（8）设定义域为R的函数)(xf满足以下条件；①对任意0)()(,xfxfRx；
②对任意当],,1[,21axx有时,12xx21()()fxfx.则以下不等式一定成立．．．．的是
①()(0)faf ②)()21(afaf
③)3()131(faaf ④)()131(afaaf
A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
2 OFEDCBA第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）在ABC△中，若3b,1c，1cos3A，则a=
（10）已知nS是等差数列{}na的前n项和，其中2856-3,15,=_______;_______.aaaS则
（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时
输出的结果为
．
（12）以双曲线221916xy的右焦点为圆心，并与其
渐近线相切的圆的标准方程是 _______.
(13) 已知函数1()(0),()213(0),xxfxxx 则((1))ff________;
若2(23)(5)fafa，则实数a的取值范围是_______________.
（14）过椭圆22221(0)xyabab上一点M作直线,MAMB交椭圆于,AB两点，设,MAMB的斜率分别为12,kk，若点,AB关于原点对称，且121,3kk则此椭圆的离心率为___________.
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）已知函数()(23sin2cos)cos1fxxxx.
（Ⅰ）求()fx的最小正周期；
（Ⅱ）求()fx在区间[,]42上的最值.
(16) （本小题满分14分）
在四棱锥EABCD-中，底面ABCD是正方形，,ACBDO与交于ECABCDF底面，^为BE的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BDAE^；
（Ⅲ）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使CGBDE平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由． 3 (17) （本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
甲组 乙组
6 X 8 7
4 1 9 0 0 3
（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],nsxxxxxxn其中12,,...,.nxxxx为的平均数）
（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32fxxaxaaR.
（Ⅰ）若1,a求函数()[0,2]fx在上的最大值；
（Ⅱ）若对任意(0,+)x，有()0fx恒成立，求a的取值范围.
19. （本小题满分13分）
已知椭圆:M22221(0)xyabab，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(2,1)在椭圆M上. 直线l的斜率为22,且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求ABC面积的最大值.
20. （本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列123100,,,,aaaa，其中等于i的项有ik个(1,2,3)i，设jjkkkb21(1,2,3j，12()100mgmbbbm(1,2,3).m
（Ⅰ）设数列1240,30,kk34510020,10,...0kkkk，
①求(1),(2),(3),(4)gggg；②求123100aaaaL的值；
（Ⅱ）若123100,,,,aaaa中最大的项为50， 比较(),(1)gmgm的大小. 4 GABCDEFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试卷 参考答案（文科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 B A B C A C D
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9） 22
（10）6；9
（11）
3
（12）22(5)16xy
（13） -5; 1(,3)2 （14）63
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为()(23sin2cos)cos1fxxxx
3sin2cos2xx
π2sin(2)6x.………………………………5分
所以()fx的最小正周期2ππ2T．…………………7分
（II）由 5[,],2[,],2[,],422636xxx挝- …………..9分
当52,,()1662xxfx即时取得最小值，…………….11分
当2,,()2623xxfx即时取得最大值.……………….13分
（16）(本小题满分14分)
解：（I）连接OF.
由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.
又F为BE的中点，
所以OF∥DE………………….2分
又,,OFACFDEACF平面平面趟
所以DE∥平面ACF………….4分
(II) 证明：由ECABCDBDABCD底面，底面，^
所以,ECBD^ 5 由ABCD是正方形可知, ,ACBD^
又=,,ACECCACECACE平面，翘
所以,BDACE平面^………………………………..8分
又AEACE平面，Ì
所以BDAE^…………………………………………..9分
(III) 在线段EO上存在点G，使CGBDE平面^. 理由如下：
如图，取EO中点G，连接CG.
在四棱锥EABCD-中，22,2ABCECOABCE===，
所以CGEO^.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，,BDACE平面^而,BDBDE平面Ì
所以，,ACEBDEACEBDEEO平面平面且平面平面，^?
因为,CGEOCGACE平面，^
所以CGBDE平面^…………………………………………………………. 13分
故在线段EO上存在点G，使CGBDE平面^.
由G为EO中点，得1.2EGEO=…………………………………………… 14分
（17）(本小题满分13分)
解：（I）乙组同学的平均成绩为87909093904，甲组同学的平均成绩为90，
所以8086919490,9.4XX…………………………………2分
甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s甲（…………… 6分
(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,aaaa乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,bbbb则所有的事件构成的基本事件空间为：
11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),abababababababababab
33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.abababababab共16个基本事件.
设事件A“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.ababababababab共7个基本事件，
7()16PA………………………………………………………………………….13分
