【11】第十一章全等三角形学案

11．1 全等三角形

【学习目标】

1．知道什么是全等形、全等三角形；

2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．掌握全等三角形的性质．

【自能学习】

一、全等形、全等三角形的概念

阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：

1．能够完全重合的两个图形叫做 ．

全等图形的特征：全等图形的 和 都相同．

2．能够完全重合的两个三角形叫做 ．

二、全等三角形的对应元素及表示

阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：

1． 平移 翻折 旋转

甲DCABFE 乙DCAB 丙DCABE

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，•但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．

2．全等三角形的对应元素

（1）对应顶点（三个）——重合的顶点

（2）对应边（三条） ——重合的边

（3）对应角（三个） ——重合的角

3．寻找对应元素的规律

（1）有公共边的，公共边是对应边；

（2）有公共角的，公共角是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角是对应角；

（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．

4．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”

如图甲记作：△ABC≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF

如图乙记作： 读作：

如图丙记作： 读作：

注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

三、全等三角形的性质

阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：

全等三角形的性质：（要记下） 全等三角形的 相等；全等三角形的 相等．

四、范例分析

例1．如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．

DCABO DCABE

图1 图2

例2．如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADC=∠AEB，∠B=∠C，•指出其他的对应边和对应角．

【自能训练】

1．“全等”用符号 表示，读作： ．

2．若△BCE≌△CBF，则∠CBE= ， ∠BEC= ，BE= ，

CE= ．

3．判断题

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等． （ ）

（2）全等三角形的周长相等，面积也相等． （ ）

（3）面积相等的三角形是全等三角形． （ ）

（4）周长相等的三角形是全等三角形． （ ）

4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角． 第4题图

答：∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，∠BAC的对应角是 ；

AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边是 ．

5．如下图，ABC≌CDA，并且ADBC，则下列结论错误的是（ ）

A．21 B．CDAB C．DB D．DCAC

6．如下图，ABC≌BAD，若6AB，4AC，5BC，则AD的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．以上都不对

7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（ ）

A．ABC≌DEF B．90DEF C．DFAC D．CFEC

8．在ABC中，CB，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（ ）

A．A B．B C．C D．B或C

第5题图 第6题图 第7题图

9．如图，已知ABC≌EBD，求证：21

BDACFBCADFE

11．2．1 三角形全等的判定（一）（SSS）

【学习目标】

1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容；

2．会运用“边边边”(SSS)证明两个三角形全等；

3．会作一个角等于已知角（尺规作图）．

【自能学习】

一、课前准备

1． 叫做全等三角形

2．全等三角形的 和 相等

3．将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？

如果AB=5， ∠A=55°， ∠B=45°，那么DE= ，∠F= ．

二、自主探究

探究三角形全等的条件

阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：

（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）

①只给一条边时； ②只给一个角时；

（2）如果给出两个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）

①给出两个角时；

②给出两条边时；

③给出一条边和一个角时．

由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？

结论：

（3）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？

你觉得总共有几种情况，分别是

①我们先来探究两个三角形三个角对应相等的情况：

结论：两个三角形的三个角对应

相等，这两个三角形 全

等 填（“一定 ”或“不一定”）

300 700 800

300 800

700 ②我们这节课来重点研究两个三角形三条边对应相等的情况．画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？（怎么画？是不是有难度？可以参看教材哦，最好画在另外的纸上，然后剪下来与其他同学的比较，看是否能够重合，重合即全等）

③上面的探究反映了什么规律？

阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：

的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．

三、例题学习

阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．

例．如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC； （2）∠B=∠D．

四、你会作一个角等于已知角吗？（尺规作图，不用量角器哦）

想不出可看教材P8，然后把步骤总结一下：（想一想作图的道理）

【自能训练】

1．下列说法正确的是（ ）

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等

C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等．

2．如图，在ABC中，ACAB，D为BC的中点，则下列结论中：①ABD≌ACD；②CB；③AD平分BAC；④BCAD，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，若ACAB，DCDB，根据 可得ABD≌ACD．

4．在ABC中，90C，D、E分别为AC、AB上的点，且BDAD，BCAE，DCDE．求证：ABDE

5．如图，点A、C、F、D在同一直线上，DCAF，DEAB，EFBC

求证：DEAB//

6．如图，已知CDAB，BDAC，求证：DA．

A

B

C D

11．2．2 全等三角形的判定（二）（SAS）

【学习目标】

1．会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题；

2．找准“边角边”对应相等，尤其注意此处的“角”是这“两边”的夹角．

【自能学习】

一、做一做

1．以两条线段（3cm，4cm）和一个角（45°）画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角．

参考步骤：（要想一想这么画的道理哦）

（1）画一线段AB使它的长度等于4cm．

（2）以点A为顶点，作∠BAP=45°，在射线AP上截取AC＝3cm，

（3）连结BC，△ABC即为所求．

2．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

3．换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论？

4．这样我们就得到判定三角形全等的另一种方法（SAS）：（你可以用自己的话总结一下，然后参看教材）

二、学一学

例．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD．

三、辨一辨

已知两条线段（3cm，4cm）和一个角（45°），以这两条线段为边，以这个角为其中一条边（3cm）的对角，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？

四、练一练 根据题目条件，判断下面的四组三角形是否一定全等？ 11-1CDBA

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