第11章《全等三角形》复习教案
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第11章《全等三角形》复习教案
一、全等三角形
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。
2）.全等三角形性质：
（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等
例1.已知如图（1），ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,
对应角:______与_______,______与_______,______与_______.
例2.如图（2），若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,.指出这两个全等三角形的对应边； 若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。
（图1） （图2） （ 图3）
例3．如图（3）, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G,
105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.
2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）
例1．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB ，连接AD 、AG 。
求证：AG=AD.
例2.如图,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠
例3.如图，在ABC Rt ∆中,AB=AC,
90=∠A ,点D 为BC 上任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于
E ，M 是BC 中点，试判断EM
F ∆是什么形状的三角形，并证明你的结论.
例4.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=CD ，延长CB 至E ，使EB=AD ，连接AE 。
求证：AE=AC 。
例5.如图，C 为AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F .
(1) 求证：AN=BM 。
(2) 求证：CEF ∆是等边三角形
(3) 将∆ACM 绕点C 逆时针方向旋转90
,其他条件不变，在右图中补出符合要求的图形
并判断(1)、（2）两小题结论是否仍然成立(不要求证明)
例6.如图，在ABC Rt ∆中，ＡＢ＝ＡＣ，
90=∠BAC 。
Ｏ是ＢＣ中点. (1) 写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离关系.
(2) 如果点M 、N 分别在AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断OMN ∆的形状，并
证明你的结论.
例7.如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG 。
(1)观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请说明理由。
2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )
例1.如图,AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 中点，FM//AD ，交AB 于E 。
求证：BE=CF 。
例2.如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于F
（1） 求证：ABE ∆≌FCE ∆ （2） 若BC ⊥AB,BC=10,AB=12,求AF.
例3.如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G,DE ⊥AG 于E ，且DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )
例1.如图，在ABC ∆中,
90=∠C ,
30=∠A ,分别以AB 、AC 为边在ABC ∆的外侧作正三角形
ABE 与正三角形ACD 。
DE 与AB 交于F 。
求证:EF=FD 。
例2.如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。
且B ADE ∠=∠,AD=DE 求证：ADB ∆≌DEC ∆.
例3.如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，延长AC 到E ，AD 与BE 交于F ，∠ABC=45˚，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。
（1）AD ⊥BD, （2）AE ⊥BF （3）AC=BF.
4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )
例1.如图，AB=AC,BE 和CD 相交于P ，PB=PC,求证：PD=PE.
例2．如图，在ABC ∆中,
90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
例4. 如图，在ABC ∆中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。
求证：MB=MC
5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )
例1.如图，在ABC ∆中,
90=∠C ，沿过点B 的一条直线BE 折叠ABC ∆，使点C 恰好落在AB 变的中点D 处，则∠A 的度 数= 。
例2.如图，
90=∠=∠C B ，M 是BC 中点，DM 平分ADC ∠。
求证：AM 平分DAB ∠
例3.如图，AD 为ABC ∆的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF=AC,FD=CD.
求证：BE ⊥AC
例4.如图，在ABC ∆中,∠ACB=90˚,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又AE=
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。
3．.等腰三角形的判定 1）。
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么，这个三角形是等腰三角形。
（简单地说：“等角对等边”） 2）。
勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是等边三角形。
例1．（2006 湖南常德）如图7，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作
60PBQ ∠= ，且BQ BP =，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（4分） （2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状， 并说明理由．（4分）
例2.（2006 江阴）如图，在△ABC 中，AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE= 。
例 3.（2006 眉山）如图在6×6的网格（小正方形的边长为1）中有一个△ABC ，则△ABC 的周长是 。
例3．请作一条直线，将下面的三角形分成两个三角形，是每个三角形都是 等腰三角形，并标出相关的数据。
图7
Q
C
P
A B
4．角平分线、线段的垂直平分
1)。
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
2）。
垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
例1．（2006 芜湖课改）如图，在ABC △中，90C ∠=
，
AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点 到直线AB 的距离是 cm ．
例2. 如图，在△ABC 中，BC =8cm, AB 的垂直平分线交AB 于点D ， 交AC 于点E , △BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长等于（ ）
(A) 6cm (B) 8cm (C)10cm (D) 12cm
例3. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠CAB=30°, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.
例4.如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .
(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.
B
E
D
A
B
A
B
C
C
B
A
P
A
B
C
D
例5.如图，△ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。
求证：BF=FC.
例6.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：
（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E,∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由。
