1 26．2 二次函数的图象与性质
1． 二次函数y＝ax2的图象与性质
1．能够利用描点法作出y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能作出二次函数y＝－x2的图象，并能够比较与y＝x2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．
重点
会画y＝ax2的图象，理解其性质．
难点
结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．
一、创设情境，引入新课
导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？
导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？
导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？
二、探究问题，形成概念
1．函数y＝ax2 的图象画法及相关名称
【探究1】画y＝x2的图象
学生动手实践、尝试画y＝x2的图象
教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线
教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y＝x2的图象，如图1.
【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：
①形状是开口向上的抛物线；
②图象关于y轴对称；
③有最低点，没有最高点．
结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．
2．函数y＝ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中，画出y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出
2 两函数的图象．如图2.
比较图中三个抛物线的异同．
相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；
②对称轴相同，都为y轴；
③开口方向相同，它们的开口方向都向上．
不同点：开口大小不同．
【练一练】画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)
比较函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象．找出它们的异同点．
第26章《二次函数》小结与复习（1）
教学目标：
明白得二次函数的概念，把握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2通过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。
重点难点：
1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，依照图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。
2．难点：二次函数图象的平移。
教学过程：
一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点
1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象性质。
例：函数4mm2x)2m(y是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出那个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?
学生活动：学生四人一组进行讨论，并回忆例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。
教师精析点评，二次函数的一样式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c能够为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。现在，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。
(1)使4mm2x)2m(y是关于x的二次函数，那么m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：
m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2
(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0，
(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。
抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观看分析。
强化练习；函数mm2x)1m(y是二次函数，其图象开口方向向下，那么m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。
－ － - 1 - 二次函数知识点复习（三）
知识点7 用待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的解析式：
◆标准形式：y=ax2+bx+c(a≠0)要确定a、b、c的值，需要已知图象上三个点的坐标，代入y=ax2+bx+c中，解三元一次方程组；
◆◆顶点式：y=a（x－h）2+k，其中（h,k）是抛物线的顶点坐标。已知抛物线的顶点坐标及另一条件时，用顶点式求出较为简捷；
◆◆◆交点式：y= a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，也是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根。已知抛物线与x轴两交点的横坐标及另外一条件时，用交点式求出a较为简捷。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为：2yaxbxc
如：已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
2．已知抛物线顶点坐标及另外一点，通常设函数解析式为：khxay2
如：已知抛物线的顶点坐标为（－2，－3），且经过点（－3，－1）求该函数的解析式.
2．如图，直线33xy交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛线交x轴于另一点C（3,0），求该抛物线的解析式。
4．（来宾2013年中考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过点（3，0）和（4，xyCBAO－ － - 2 - xy( , )( , )Oxy( , )OxyO0），则这
个二次函数的解析式是
．
知识点8用函数观点看一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21xx、）
二次函数cbxaxy2 与 一元二次方程02cbxax
与x轴有 个交点 acb42 0，方程有
实数根
与x轴有 个交点；这个交点是 点 acb42 0，方程有
内容：《26.1二次函数(1)》
设计意图 本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标 (一)知识与技能
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)过程与方法
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，数形结合能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
学情分析 学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
