金融数学基础作业

金融数学练习题1. 假设某公司发行了一种债券，该债券的面值为1000元，年利率为5%，每年支付一次利息，到期时间为5年。

请计算该债券的现值。

2. 给定一个连续复利的银行账户，初始存款为10000元，年利率为3%。

计算5年后账户的金额。

3. 某投资者购买了一份看涨期权，该期权的执行价格为50元，期权费为5元，到期时间为3个月。

如果到期时股票价格为60元，请计算该投资者的净收益。

4. 假设一个投资组合由两只股票组成，股票A的预期收益率为10%，股票B的预期收益率为8%，股票A和股票B在组合中的权重分别为60%和40%。

计算该投资组合的预期收益率。

5. 某公司计划在6个月后进行一项投资，预计需要资金100万元。

为了筹集这笔资金，公司决定发行一种6个月期的零息债券。

如果市场年利率为6%，请计算该债券的发行价格。

6. 假设一个投资者持有一份欧式看跌期权，该期权的执行价格为40元，期权费为3元，到期时间为6个月。

如果到期时股票价格为35元，请计算该投资者的净收益。

7. 某投资者购买了一份期货合约，合约规定在3个月后以100元的价格购买某商品。

如果3个月后该商品的市场价格为120元，请计算该投资者的净收益。

8. 假设一个投资组合由三只股票组成，股票C的预期收益率为12%，股票D的预期收益率为9%，股票E的预期收益率为7%。

如果股票C、D 和E在组合中的权重分别为40%、30%和30%，请计算该投资组合的预期收益率。

9. 某公司发行了一种可转换债券，该债券的面值为1000元，年利率为4%，每年支付一次利息，到期时间为10年。

同时，该债券可以在任何时候转换为公司股票，转换价格为50元/股。

如果当前公司股票的市场价格为60元/股，请计算该债券的转换价值。

10. 假设一个投资者购买了一份远期合约，合约规定在1年后以200元的价格购买某商品。

如果1年后该商品的市场价格为180元，请计算该投资者的净收益。

1．判断()3f x x x =+奇偶性2．判断函数221y x =+的单调性3．例如，sin cos ,x y x y x =+=都是初等函数4．下列函数是由哪些简单函数复合而成？（1）2lg(1)y x =- （2）cos 3x y =（3）arctan(1y = （4） 2cos 3y x =5．某商品的需求函数为105QP=-。

试将收益R表示为需求量Q的函数6．某厂生产Q单位某产品的成本为C元，其中固定成本为200元，每生产1单位产品，成本增加10元。

假设该产品的需求函数为1502Q P-=,且产品均可售出。

试将改产品的利润L元表示为产量Q单位的函数7．考察数列1(1)nn⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭-8．考察数列11 n⎧⎫⎨⎬+⎩⎭9．函数1()2x y =，讨论极限,,111()()()lim lim lim 222x x xx x x →-∞→+∞→∞是否存在10．考察函数2225()1x f x x +=+当x →∞时的变化情况。

11．求 01sinlim x x x →。

12．计算极限 211lim 1x x →-13．求31(432).lim x x x →-+14．求 22367lim 49x x x x →-++15．求 sin3tan50lim xx x →。

16．求 201cos limx xx →-17．求 1lim(1)xx x →∞-18求 52lim(1)x x x →∞+19．讨论函数224()x f x x x +⎧=⎨+⎩ 00x x ≥<在0x =处的连续性。

20．例：设函数 3().y f x x ==，用导数定义求(2)f '求导函数()f x '，并求(3)f '。

21．例：设 22log cos 42x y x x π=++，求 y '22．求 y x =的导数23．求 sin 2ln y x x =•的导数24例：设sin 3,y x =求 y '25求 210(27)y x =+ 的导数26例：设2,x y e =求 0.,x y y =''''解：27．求函数cos x y e x -=的二阶及三阶导数 解：28．例：确定函数2()ln(1)f x x x =-+的单调增减区间。

1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适2. 已知：1） 16565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m2） 16565111---=-))(()()()(d d md m 求?=m由于i nn i m m i n m +=+=+111)()()()(由于d n n d m m d n m -=-=-111)()()()(3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。

银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。

试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)()(m m d d ii解：由d i d i ⋅=- ⇒ d i >)()(m m d d >+1 ⇒ )(m d d < )()(n m d i > ⇒ )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ⇒ i i m <)(δδ+>=+11e i ， δ==∞→∞→)()(lim lim m m m m d i⇒ i i d d m m <<<<)()(δ5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。

求j.6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。

经济数学基础形成性考核册作业（二）评讲（一）填空题1.若c x x x f x ++=⎰22d )(，则___________________)(=x f .答案：22ln 2+x2. ⎰='x x d )sin (________.答案：c x +sin3. 若c x F x x f +=⎰)(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 .答案：c x F +--)1(212 4.设函数___________d )1ln(d d e12=+⎰x x x .答案：05. 若t tx P xd 11)(02⎰+=，则__________)(='x P .答案：211x+-（二）单项选择题1. 下列函数中，（ ）是x sin x 2的原函数．A ．21cos x 2B ．2cos x 2C ．-2cos x 2D ．-21cos x 2答案：D2. 下列等式成立的是（ ）．A ．)d(cos d sin x x x =B ．)1d(d ln xx x =C ．)d(22ln 1d 2x x x =D ．x x xd d 1=答案：C3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．⎰+x x c 1)d os(2， B ．⎰-x x x d 12 C ．⎰x x x d 2sin D ．⎰+x xxd 12答案：C4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0)d (32=+⎰-x x x ππD ．0d sin =⎰-x x ππ答案：D5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d 1x x B ．⎰∞+12d 1x x C ．⎰∞+0de x xD ．⎰∞+1d sin x x 答案：B(三)解答题： 1.计算下列不定积分本类题考核的知识点是不定积分的计算方法。

常用的积分方法有： ⑴运用积分基本公式直接积分； ⑵第一换元积分法(凑微分法)；⑶分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分： ①幂函数与指数函数相乘； ②幂函数与对数函数相乘； ③幂函数与正(余)弦函数相乘。