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matlab求解代数方程组

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1 第三讲 Matlab求解代数方程组 理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序 讨论如下表示含有n个未知数、由n个方程构成的线性方程组：

11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb （1） 一、直接法 1.高斯消元法： 高斯消元法的基本原理：

在（1）中设110,a将第一行乘以111,kaa加到第(2,3,,),kkn得：

(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22nnnnnnnnnaxaxaxbaxaxbaxaxb （2） 其中(1)(1)1111,.kkaabb再设(2)220,a将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)kakna加到第k行，如此进行下去最终得到：

(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()nn

nn

nnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxbaxaxbaxb









 （3）

从（3）式最后一个方程解出nx，代入它上面的一个方程解出1nx，并如此进行下去，即可依次将121,,,,nnxxxx全部解出，这样在()0(1,2,,)kkkakn的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示： 若记11(),(,,),(,,)TTijnnnnAaxxxbbb，则（1）式可表为.Axb于是高斯 2

消元法的过程可用矩阵表示为： 121121.nnMMMAxMMMb 其中：

(1)21(1)111

(1)1(1)11111n

aaMaa







(2)32(2)222

(2)2(2)221111n

aaMaa









高斯消元法的Matlab程序： %顺序gauss消去法,gauss函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1 %消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1 %如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else %a(k,k)=0,顺序gauss消去失败 disp(‘顺序gauss消去失败‘)； pause; exit; end end end end 3

%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); end x(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end %返回gauss消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x; 练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：

1234512451234512451245

2471523814476192536xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx









2.列主元素消元法

在高斯消元法中进行到第k步时，不论()kika是否为0，都按列选择()||(,,)kikaikn中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k行交换再

按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。 列主元素消元法的matlab程序 %列主元guass消去函数 function[A,u]=gauss(a,n) %消去过程 for k=1:n-1 %选主元 4

c=0; for q=k:n if abs(a(q,k))>c c=a(q,k); l=q; end end %如果主元为0，则矩阵A不可逆 if abs(c)<1e-10 disp(‘error’); pause; exit end %如果l不等于k，则交换第l行和第k行 if l~=k for q=k:n+1 temp=a(k,q); a(k,q)=a(l,q); a(l,q)=temp; end end %计算第k步的元素值 for i=k+1:n for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); end end end %回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); 5

for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=a+a(i,j)*x(j); end x(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end %返回列主元gauss消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x; 练习和分析与思考： 用列主元消去法重新求解gauss消元法求解的上述问题。 二、迭代法 1.迭代法的总体思想 （1）迭代公式的构造： 对线性方程组Axb，可以构造迭代公式(1)(),kkXBXf给出(0),X由迭代公式的(),kX如果()kX收敛于*,X则*X就是原方程组的解。 （2）矩阵的分解： 设线性方程组Axb，其中A非奇异，则可以把A矩阵分解：ADLU，

1122[,,,]nnDdiagaaa，

121312123231321,12300000000nn

nnnnnaaaaaaLaaUaaaa





















于是Axb化为11(),xDLUxDb与之对应的迭代公式为： (1)1()1().kkxDLUxDb

2.雅可比（Jacobian）迭代法公式： 6

11(),BDLUfDb

用A矩阵的元素表示为： ()1,(1),(1,2,,)nkiijjjjikiiibaxxina



Jacobian迭代法的Matlab程序 function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) %误差 if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end %求A的对角矩阵,下三角阵，上三角阵 D=diag(A);diag(diag(A))? L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; %迭代的次数 n=1; %当误差没有满足要求时继续迭代 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end 7

练习和分析与思考： 利用Jacobian迭代法求解方程组：

1323412324

312263155248xxxxxxxxxx







3.高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法公式：

将Jacobi迭代公式(1)()()kkDxLUxb改进为(1)(1)()kkkDxLxUxb，于是得到(1)1()1()()kkxDLUxDLb. 11(),()BDLUfDLb

用A矩阵的元素表示为： 1()()11(1),(1,2,,)inkkiijjijjjikiiibaxaxina



Gauss-Seidel迭代法的Matlab程序 function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) %误差 if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end %求A的对角矩阵,下三角阵，上三角阵 D=diag(A);diag(diag(A))? L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f;

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矩阵的应用-线性代数的MATLAB求解

矩阵的应用-线性代数的MATLAB求解


3.2. 矩阵的初等变换与线性方程组
3.3. 矩阵的对角化
3.1. 矩阵及其运算
3.1.1矩阵的算术运算
MATLAB中矩阵的基本运算有+,-,*,/（右除）,\（左除）,^（乘方）
1、矩阵的线性运算 两个矩阵A,B,A+B和A-B的运算规则是：若两个矩阵的维数相同，则可以
执行加减运算，相应的元素相加减，如果尾数不相同则出错。
第三章 线性代数问题的MATLAB求解
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-10 30 20 10 0 5 0 15 10 25 20
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-2 2 1 0 -1 -1 -2 -2 1 0 2
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主要内容
3.1. 矩阵及其运算
投入是xij,外部需求为di,则：
xi xij d i
j 1
n
（1）
表3-1的每一行都满足(1)式，投入系数记为aij，即为第j个部门的单位产出所需要的 第i个部门的投入：
xij aij x j
（2）
由(1)和(2)式得到
xi aij xi di , i 1,2,...,n
3.3.3 二次型及其标准型
n元二次齐次函数：
2 2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) a11 x12 a22 x2 ... ann xn aij xi x j i j
为二次型，且f=x’Ax，其中
a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n x1 x a2 n , x 2 amn xn
matlab 解方程组

matlab 解方程组

matlab 解方程组Matlab是一种常用的数学计算工具，可以解决大量复杂的计算问题。

它可以帮助解决各种抽象科学问题，特别是解方程组，解决了大量复杂的计算问题。

解方程组是数学中最基础的概念之一，广泛应用于物理、统计学、经济学等领域。

由于方程的形式复杂，手动解方程组工作量巨大，极容易出现错误，这时候就需要用Matlab来求解方程组。

Matlab中提供了各种函数来求解方程组，如fsolve函数、symsolve函数等，可以帮助我们解决实际问题。

fsolve函数可以解求非线性方程组，它需要给定初始猜测值，并求解多元非线性方程组；而symsolve函数可以用来解复杂的符号方程组，直接可以得出其解析解而无需使用初始猜测值。

此外，Matlab还提供了特殊的函数ddesol, ddesd, ddensd等，可以解决时滞系统的方程组。

具体来讲，ddesol函数可以解决一阶时滞系统的方程组；而ddesd和ddensd函数则可以解决二阶时滞系统的方程组。

下面来看如何使用Matlab来求解一般的非线性方程组。

假如要求解一个三元非线性方程组：x^2 + y^2 + z^2 = 152x + y - z = 4x + y^2 - z = -2首先需要定义给定的方程，可以采用如下的Matlab代码：f1 = @(x,y,z)x^2 + y^2 + z^2 - 15;f2 = @(x,y,z)2*x+ y - z - 4;f3 = @(x,y,z)x + y^2 - z + 2;接下来就可以用fsolve函数来求解方程组：X0 = [0, 0, 0];X = fsolve(@(x) [f1(x(1),x(2),x(3)), f2(x(1),x(2),x(3)), f3(x(1),x(2),x(3))],X0)得到结果X = [2.406, 0.1322, 1.909]，从而得到了三元方程组的解。

Matlab还提供了许多其他的函数用来求解不同形式的方程组，有特定的用途。

matlab方程组数值解法

matlab方程组数值解法

matlab方程组数值解法Matlab方程组数值解法随着科学技术的发展，数值计算在科学研究和工程实践中的应用越来越广泛。

对于复杂的数学模型，通过解析方法求得准确的解析解往往是困难的甚至不可能的。

因此，数值解法成为了求解这些问题的重要手段之一。

Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了多种数值解法来解决方程组的数值求解问题。

在Matlab中，求解方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法两种。

直接法是指通过一系列直接计算来求解方程组的解，常见的方法有高斯消元法和LU分解法。

迭代法则是通过迭代计算来逼近方程组的解，常见的方法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

高斯消元法是一种经典的直接法，它通过消元和回代的方式将方程组化为简化的三角方程组，然后通过回代计算得到解。

Matlab中提供了直接调用的函数，如"linsolve"函数，可以直接求解线性方程组。

对于非线性方程组，可以通过牛顿法等迭代法来求解。

LU分解法是另一种常用的直接法，它将方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代计算得到解。

在Matlab中，可以使用"lu"函数进行LU分解，并通过"\"运算符求解线性方程组。

雅可比迭代法是一种简单而有效的迭代法，它通过迭代计算逐步逼近方程组的解。

在每一步迭代中，通过将方程组中的每个未知数的迭代解代入到方程组中的对应方程中，得到新的近似解。

通过多次迭代，可以得到逼近方程组解的解向量。

在Matlab中，可以使用"jacobi"函数进行雅可比迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版，它在每一步迭代中使用上一步迭代得到的未知数的新近似解。

这样可以更快地逼近方程组的解。

在Matlab中，可以使用"gauss_seidel"函数进行高斯-赛德尔迭代。

除了这些常见的数值解法外，Matlab还提供了其他一些数值求解函数，如"fsolve"函数可以求解非线性方程组，"ode45"函数可以求解常微分方程组等。

19476-数学建模-代数方程组的解法实验

19476-数学建模-代数方程组的解法实验

实验目的实验内容MATLAB2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际问题.实验软件1、用Matlab 软件掌握（非）线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析.1、向量和矩阵的范数.2、解线性方程组的方法介绍.3、解非线性方程（组）的方法介绍.2）、条件数的性质：a) 1)(≥A cond ；b) 对于R ∈≠)0(α，)()(A cond A cond =α； c) 对于正交阵n n R Q ⨯∈，)()()(A cond AQ cond QA cond ==；讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：)1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a从（4）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1-n x ，并如此进行下去，即可依次将1,,x x n 全部解出，这样在),,2,1(0)(n k a k kk =≠的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，就构成了方程组的消元法，称高斯消元法。

高斯消元法的MATLAB程序%顺序gauss消去法，gauss函数function [A,u]=gauss(a,n)for k=1:n-1%消去过程for i=k+1:nfor j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能消去if abs(a(k,k))>1e-6%计算第k步的增广矩阵a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);else%a(k,k)=0,顺序gauss消去失败disp('顺序gauss消去失败');pause;exit;endendendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j);endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i);end%返回gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例1 用高斯消元法求解方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++++=+++=++++63521967414832157425421542154321542154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x列主元素消元法的MATLAB程序%列主元gauss消去函数function [A,u]=gauss(a,n)%消去过程for k=1:n-1%选主元c=0;for q=k:nif abs(a(q,k))>cc=a(q,k);l=q;endend%如果主元为0，则矩阵A不可逆if abs(c)<1e-10disp('error');pause;exit;end%如果l不等于k，则交换第l行和第k行if l~=kfor q=k:n+1temp=a(k,q);a(k,q)=a(l.q);a(l,q)=temp;endend%计算第k步的元素值for i=k+1:nfor j=k+1:na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);endendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回列主元gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例2 用列主元素消去法重新解例1二、迭代法1、迭代法的总体思想：1)、迭代公式的构造：对线性方程组b Ax =，可以构造一个迭代公式 f BX Xk k +=++)1()1(，给出)0(X 由迭代公式的{})(k X ，如果{})(k X 收敛于*X ，那么*X 就是原方程组的解。