matlab求解微分代数方程

一、概述微分方程是自然科学和工程技术中常见的数学模型，它描述了连续系统的变化规律。

在实际应用中，求解微分方程是一项重要且复杂的工作。

而matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具，能够辅助工程师和科学家在求解微分方程方面取得良好的效果。

二、matlab差分法求解微分方程的基本原理差分法是一种常见的数值求解微分方程的方法。

它基于微分的定义，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。

在matlab中，可以利用内置的数学函数和工具，通过差分法求解微分方程，得到数值解或者近似解。

三、matlab中使用差分法求解常微分方程的步骤1. 确定微分方程的类型和边界条件需要明确所要求解的微分方程是什么类型的，以及其所对应的边界条件是什么。

这对于后续的数值求解过程非常重要。

在matlab中，可以利用符号变量和函数来表示微分方程和边界条件。

2. 将微分方程离散化接下来，需要将微分方程进行离散化处理，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。

这一步需要根据微分方程的具体形式和求解精度选择合适的差分方法，常见的有前向差分、后向差分和中心差分等方法。

3. 构建代数方程组将离散化后的微分方程转化为代数方程组。

这一步需要根据微分方程的离散化表达式和边界条件，利用matlab的矩阵和向量运算功能，构建代数方程组。

4. 求解代数方程组利用matlab的求解函数，求解构建得到的代数方程组，得到微分方程的数值解或者近似解。

在求解过程中，需要注意数值稳定性和收敛性，以及选择合适的数值积分方法和迭代算法。

四、实例：使用matlab差分法求解一阶常微分方程为了更好地理解matlab中使用差分法求解微分方程的过程，以下将通过一个具体的实例来演示。

假设要求解如下的一阶常微分方程：dy/dx = -2x + 1, y(0) = 11. 确定微分方程的类型和边界条件根据给定的方程，可以确定它是一阶常微分方程，且给定了初始条件y(0) = 1。

使用Matlab进行公式推导、求解MATLAB是一种强大的数值计算和科学编程软件，在MATLAB 中，可以使用其丰富的数学函数和符号计算工具进行公式推导和求解。

本文将以案例的形式介绍如何使用MATLAB进行公式推导和求解，包括符号计算、方程求解、微分和积分等方面的应用。

案例1：对以下公式进行“去括号展开”和“幂级数形式整理”（1）采用符号工具箱syms进行方程写入注意：代码建议写在实时编辑器中，这里语句都没有加分号，运行之后会直接显示结果如上图（2）“去括号展开”采用expand，“幂级数形式整理”采用series函数说明："expand" 是 MATLAB 中用于展开代数表达式的一个函数。

它是 Symbolic Math Toolbox 的一部分。

当应用于符号表达式时，"expand" 函数会通过展开括号和简化项来展开表达式。

这在处理复杂的数学表达式或尝试简化和操作方程时非常有用。

"series" 是 MATLAB 中用于展开符号表达式的级数形式的一个函数。

它也属于 Symbolic Math Toolbox，提供了处理符号表达式和符号数学的功能，可以将符号表达式展开为指定的级数形式（‘order’后加展开到的最高指数），通常是泰勒级数。

它可以帮助在数学建模、分析和求解问题时处理复杂的表达式，并在需要时进行近似计算。

（3）案例完整代码clearsymsa0a1a2a3b0b1b2b3tt_ea=[a2;a1;a0];b=[b2;b1;b0] ;x(t)=[t^2t1]*a+a3*t*(t-t_e)^2y(t)=[t^2t1]*b+b3*t*(t-t_e)^2x(t)=expand(x)y(t)=expand(y)x(t)=series(x,t,'Ord er',4)y(t)=series(y,t,'Order',4)案例2：建立等式方程组，转换为线性矩阵表达式，然后求解（1）利用实时编辑器建立方程组我们定义了一些符号变量：a、b、x1、x2、y1、y2。

微分代数方程求解matlab微分代数方程是一类常见的数学问题，它涉及到微分方程和代数方程的结合。

在解微分代数方程时，我们可以利用Matlab这一强大的数学软件来进行求解。

本文将介绍如何使用Matlab来解微分代数方程。

首先，我们需要了解什么是微分代数方程。

微分代数方程是一种同时包含了微分方程和代数方程的方程。

它的一般形式可以表示为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是因变量，y'是y对x的导数，y^(n)是y对x 的n阶导数。

F是一个关于x、y、y'、..., y^(n)的函数。

解微分代数方程的一种常见方法是使用数值方法。

Matlab提供了许多数值方法的函数，可以帮助我们求解微分代数方程。

下面是一个使用Matlab求解微分代数方程的示例：```matlab% 定义微分代数方程function F = myEquation(x, y, dy)F = y - x^2 + dy - 1;end% 求解微分代数方程x0 = 0; % 初始点y0 = 1; % 初始值dy0 = 0; % 初始导数值[x, y] = ode45(@myEquation, [x0, 1], [y0, dy0]);% 绘制解的图像plot(x, y(:, 1), 'r-', 'LineWidth', 2);xlabel('x');ylabel('y');title('Solution of Differential Algebraic Equation');```在上面的示例中，我们首先定义了一个函数myEquation，它表示了我们要求解的微分代数方程。

然后，我们使用ode45函数来求解微分代数方程。

ode45函数是Matlab中常用的求解常微分方程的函数，它可以用来求解微分代数方程。

matlab求解微分方程解析解在数学和工程学科中，微分方程是一种重要的数学工具，它涉及到很多实际问题的模型和解决方法。

而Matlab作为一款强大的数学软件，可以方便地求解微分方程的解析解。

Matlab中求解微分方程的一种常见方法是使用符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox），它可以处理符号表达式和符号函数，包括微积分、代数、矩阵、符号等数学操作。

首先，我们需要定义微分方程的符号变量和初值条件。

例如，我们假设要求解的微分方程为dy/dx = x^2，初值条件为y(0)=1，则可以使用如下代码：syms x yode = diff(y,x) == x^2;cond = y(0) == 1;然后，我们可以将微分方程和初值条件作为参数传递给dsolve函数来求解微分方程的解析解。

例如：sol = dsolve(ode, cond);其中，sol为求解得到的符号表达式，可以使用vpa函数将其转换为数值解。

例如：sol_num = vpa(sol, 5);这样，我们就得到了微分方程的解析解，并将其转换为5位有效数字的数值解。

除了使用符号计算工具箱，Matlab还提供了许多数值方法来求解微分方程的数值解。

例如，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。

例如，求解dy/dx = x^2，y(0)=1的数值解可以使用如下代码：fun = @(x,y) x^2;[t,y] = ode45(fun, [0,1], 1);其中，fun为微分方程的函数句柄，[0,1]为求解区间，1为初值条件。

t和y分别为求解得到的时间序列和解向量。

总之，Matlab提供了多种方法来求解微分方程的解析解和数值解，可以根据实际问题的需要选择不同的方法来求解。

matlab差分法解微分方程在MATLAB中，差分法是一种常用的数值方法，用于解决微分方程。

差分法的基本思想是将微分方程中的导数用离散的差分近似表示，然后通过迭代计算得到方程的数值解。

下面我将从多个角度来解释如何使用差分法在MATLAB中解微分方程。

1. 离散化，首先，我们需要将微分方程离散化，将自变量和因变量分成若干个离散的点。

例如，可以选择一个均匀的网格，将自变量的取值离散化为一系列的点。

这样，微分方程中的导数可以用差分近似来表示。

2. 差分近似，使用差分近似来代替微分方程中的导数。

最常见的差分近似方法是中心差分法。

对于一阶导数，可以使用中心差分公式，f'(x) ≈ (f(x+h) f(x-h)) / (2h)，其中h是离散化步长。

对于二阶导数，可以使用中心差分公式，f''(x) ≈ (f(x+h) 2f(x) + f(x-h)) / (h^2)。

根据微分方程的类型和边界条件，选择适当的差分近似方法。

3. 矩阵表示，将差分近似后的微分方程转化为矩阵形式。

通过将微分方程中的各项离散化，可以得到一个线性方程组。

这个方程组可以用矩阵表示，其中未知量是离散化后的因变量。

4. 数值求解，使用MATLAB中的线性代数求解函数，例如backslash运算符（\）或者LU分解等，求解得到线性方程组的数值解。

这个数值解就是微分方程的近似解。

需要注意的是，差分法是一种数值方法，所得到的解是近似解，精确度受离散化步长的影响。

通常情况下，可以通过减小离散化步长来提高数值解的精确度。

此外，对于某些特殊类型的微分方程，可能需要采用更高级的差分方法，如龙格-库塔法（Runge-Kutta method）或有限元方法（Finite Element Method）等。

综上所述，差分法是一种常用的数值方法，可以在MATLAB中用于解决微分方程。

通过离散化、差分近似、矩阵表示和数值求解等步骤，可以得到微分方程的数值解。

matlab解常微分⽅程1. ODE常微分⽅程ordinary differential equation的缩写，此种表述⽅式常见于编程，如MATLAB中Simulink求解器solver已能提供了7种微分⽅程求解⽅法：ode45(Dormand-Prince)，ode23(Bogacki-Shampine)，ode113(Adams)，ode15s(stiff/NDF)，ode23s(stiff/Mod. Rosenbrock)，ode23t(mod.stiff/Trapezoidal)，ode23tb(stiff/TR-BDF2)。

微分⽅程、微分⽅程组⾃标量 因变量 ⼀元 多元 函数 映射⼀元：只有⼀个因变量多元：有多个因变量导数 偏导：谁对谁的导数，因变量对⾃变量的导数，默认或缺省⾃变量为t 、x ？⼀元⽅程 多元⽅程 多元⽅程组 n个⽅程解n个未知量微分⽅程 ⼀阶 ⾼阶微分⽅程 ⼀阶微分⽅程组⼀阶常微分⽅程：Dx/dt + x = e^t⾼阶常微分⽅程：d^2x/dt^2+dx/dt+x=e^2t⼀阶微分⽅程组（多元）：dy/dt+x=e^2tdx/dt+2y-x=e^t初始条件：dy/dt0=... dx/dt0=... y0=... x0=...可以解出：y=f(t)=.... x=f(t)=.... 两个⽅程解两个未知数（因变量）⼀个N阶（多元）微分⽅程可以写成（分解成）N个⼀阶微分⽅程（即微分⽅程组）如：x.. + 2x. -x = u令x.=x2; x=x1 则...微分⽅程的精确解： r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').数值解： [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)1. 求精确解1.微分⽅程r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').该命令中可以⽤D表⽰微分符号，其中D2表⽰⼆阶微分，D3表⽰三阶微分，以此类推。

matlab傅里叶谱方法求解微分方程1. 前言微分方程作为数学中重要的研究对象之一，其在各个领域均有着重要的应用。

而求解微分方程的方法也有很多种，其中傅里叶谱方法是一种常用且有效的方法之一。

本文将介绍如何使用matlab中的傅里叶谱方法求解微分方程，并通过一个具体的例子来说明其求解过程和结果。

2. 傅里叶谱方法简介傅里叶谱方法（Fourier spectral method）是一种基于傅里叶级数展开的方法，通过将微分方程转化为频域上的代数方程来求解。

其基本思想是将微分方程中的未知函数表示为一组正交基（通常是正弦函数和余弦函数）的线性组合，然后通过傅里叶级数的性质将微分方程转化为方便求解的代数方程。

3. matlab中傅里叶谱方法的实现在matlab中，可以使用fft函数来进行傅里叶变换，将微分方程转化为频域上的代数方程。

接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何使用matlab中的傅里叶谱方法求解微分方程。

4. 例子：求解一维热传导方程考虑一维热传导方程：∂u/∂t = α*∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为温度分布，α为热传导系数。

为了使用傅里叶谱方法求解该方程，首先需要进行空间上的离散化，将u(x, t)表示为傅里叶级数的形式：u(x, t) = Σ(A_k(t)*exp(i*k*2πx/L))其中，A_k(t)为待定系数，L为空间的长度，k为频率。

将上述形式代入热传导方程，得到：∂A_k/∂t = -α*(2πk/L)^2*A_k通过这一步变换，我们将原本的偏微分方程转化为了关于A_k(t)的一组常微分方程，可以通过常微分方程的数值计算方法求解。

5. 结果展示通过matlab编写代码，可以对上述常微分方程进行数值求解，得到A_k(t)的解。

进而通过傅里叶级数的线性叠加，可以得到u(x, t)的近似解，并画出其空间分布随时间的演化图。

这样就可以直观地观察到热传导方程的解随时间的变化规律。

微分代数方程求解matlab微分代数方程是一类常见的数学问题，它涉及到微分方程和代数方程的结合。

在实际应用中，我们经常需要求解这类方程，以获得问题的解析解或数值解。

而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以帮助我们高效地求解微分代数方程。

首先，让我们来了解一下什么是微分代数方程。

微分代数方程是指同时包含了未知函数及其导数和代数函数的方程。

它可以用来描述许多自然现象和工程问题，如电路、机械系统、生物学模型等。

在MATLAB中，我们可以使用符号计算工具箱来求解微分代数方程。

首先，我们需要定义未知函数及其导数，并将它们表示为符号变量。

然后，我们可以使用符号计算工具箱提供的函数来建立微分代数方程，并求解它们。

例如，考虑一个简单的微分代数方程：dy/dx = x + y。

我们可以使用MATLAB来求解这个方程。

首先，我们定义未知函数y和自变量x为符号变量：syms x y然后，我们建立微分代数方程：eqn = diff(y,x) == x + y接下来，我们可以使用dsolve函数来求解这个微分代数方程：sol = dsolve(eqn)最后，我们可以使用ezplot函数来绘制方程的解析解： ezplot(sol)通过这个简单的例子，我们可以看到MATLAB的强大之处。

它不仅可以帮助我们求解微分代数方程，还可以帮助我们可视化方程的解析解。

除了求解微分代数方程的解析解外，MATLAB还提供了许多数值求解方法。

例如，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。

这个函数使用了龙格-库塔方法来进行数值积分，并返回方程组的数值解。

总之，MATLAB是一个强大的数值计算软件，可以帮助我们高效地求解微分代数方程。

无论是求解微分代数方程的解析解还是数值解，MATLAB都提供了丰富的工具和函数来满足我们的需求。

通过学习和掌握MATLAB的使用，我们可以更好地理解和应用微分代数方程。

第四讲 Matlab 求解微分方程（组）理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一.(2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t 上的解，则令tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.表1 Matlab中文本文件读写函数说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’); g= Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1) 系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数inline 不需要另外建立m 文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline 来定义函数. 二．实例介绍1.几个可以直接用Matlab 求微分方程精确解的实例 例1 求解微分方程2'2x y xy xe -+=程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x ’)例 2 求微分方程'0x xy y e +-=在初始条件(1)2y e =下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y; y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x ’);ezplot(y)例 3 求解微分方程组530tdx x y e dtdy x y dt⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩在初始条件00|1,|0t t x y ====下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t') simple(x); simple(y)ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例 4 求解微分方程初值问题2222(0)1dy y x xdx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩的数值解，求解范围为区间[0,0.5].程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); plot(x,y,'o-')例 5 求解微分方程22'2(1)0,(0)1,(0)0d y dyy y y y dt dtμ--+===的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令12,,7dyx y x dtμ===，则 121221212,(0)17(1),(0)0dx x x dtdx x x x x dt⎧==⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 编写M-文件vdp.m function fy=vdp(t,x)fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end在Matlab 命令窗口编写程序 y0=[1;0][t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)练习与思考：M-文件vdp.m 改写成inline 函数程序？ 3.用Euler 折线法求解Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商()()y x h y x h +-替代微商dydx，于是00()()(,())()k k k k y x h y x f x y x h y y x +-⎧=⎪⎨⎪=⎩记1,(),k k k k x x h y y x +=+=从而1(),k k y y x h +=+于是0011(),,0,1,2,,1(,).k k k k k k y y x x x h k n y y hf x y ++=⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩例 6 用Euler 折线法求解微分方程初值问题22(0)1dyx y dxy y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的数值解（步长h 取0.4），求解范围为区间[0,2].分析：本问题的差分方程为00110,1,0.4,0,1,2,,1(,).k k k k k k x y h x x h k n y y hf x y ++===⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩程序：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs ，替换函数 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end >>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))说明：替换函数subs 例如：输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a 用4替换掉，返回 4+b ，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha 替换a 和2替换b ，返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta 法求解，Euler 折线法实际上就是一阶Runge-Kutta 法，Runge-Kutta 法的迭代公式为001112341213243(),,(22),6(,),0,1,2,,1(,),22(,),22(,).k k k k k k k k k k k k y y x x x h h y y L L L L L f x y k n h h L f x y L h h L f x y L L f x h y hL ++=⎧⎪=+⎪⎪=++++⎪⎪=⎪=-⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎪⎪=++⎩相应的Matlab 程序为：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1l1=subs(f, {'x','y'},{x,y});替换函数 l2=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f, {'x','y'},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end>>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异. (2)利用Matlab 求微分方程(4)(3)''20y y y -+=的解.(3)求解微分方程''2',2(1)0,030,(0)1,(0)0y y y y x y y --+=≤≤==的特解. (4)利用Matlab 求微分方程初值问题2''''00(1)2,|1,|3x x x y xy y y ==+===的解. 提醒：尽可能多的考虑解法 三．微分方程转换为一阶显式微分方程组Matlab 微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab 可接受的标准形式.当然，如果ODEs 由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs 为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：()'''(1)'''(1)()'''(1)'''(1)(,,,,,,,,,,)(,,,,,,,,,,)m m n n m n x f t x x x x y y y y y g t x x x x y y y y ----⎧=⎨=⎩Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外'''(1)123'''(1)123,,,,,,,,,m m n m m m m n x x x x x x x x x y x y x y x y--++++========注意：ODEs 中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式''''122334123''12123,,,,(,,,,,),,(,,,,,)m m n m m m nm n x x x x x x x f t x x x x xx xg t x x x x +++++======练习与思考：(1)求解微分方程组**'''3312*'''3312()()22x x x y x r r y y y x y r r μμμμμμ⎧+-=+--⎪⎪⎨⎪=+--⎪⎩其中2r =1r =*1,μμ=-1/82.45,μ=(0) 1.2,x =(0)0,y ='(0)0,x ='(0) 1.049355751y =-(2)求解隐式微分方程组''''''''''''2235x y x y x y x y xy y ⎧+=⎨++-=⎩ 提示：使用符号计算函数solve 求'''',x y ，然后利用求解微分方程的方法 四．偏微分方程解法Matlab 提供了两种方法解决PDE 问题，一是使用pdepe 函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过File —>Save As 直接生成M 代码.1.一般偏微分方程（组）的求解(1)Matlab 提供的pdepe 函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)@pdefun 是PDE 的问题描述函数，它必须换成标准形式：(,,)[(,,,)](,,,)m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 这样，PDE 就可以编写入口函数：[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)，m,x,t 对应于式中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s 这三个函数.@pdebc 是PDE 的边界条件描述函数，它必须化为形式：(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂==∂ 于是边值条件可以编写函数描述为：[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du),其中a 表示下边界，b 表示上边界.@pdeic 是PDE 的初值条件，必须化为形式：00(,)u x t u =，故可以使用函数描述为：u0=pdeic(x)sol 是一个三维数组，sol(:,:,i)表示i u 的解，换句话说，k u 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)，通过sol ，我们可以使用pdeval 函数直接计算某个点的函数值.(2)实例说明 求解偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中， 5.7311.46()xx F x e e -=-且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1(0,)0,u t x ∂=∂221(0,)0,(1,)1,(1,)0uu t u t t x∂===∂ 解：(1)对照给出的偏微分方程和pdepe 函数求解的标准形式，原方程改写为111221220.024()1.*()10.17u u F u u x u F u u u t x x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦可见1121220.024()10,,,()10.17u F u u x m c f s F u u u x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤∂====⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦ %目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp)) end(2)边界条件改写为：下边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦上边界1110.*000u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦%边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)]; qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1]; end(3)初值条件改写为：1210u u ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%初值条件函数 function u0=pdeic(x) u0=[1;0]; end(4)编写主调函数 clc x=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); subplot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1)) subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2))练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE.2()u u t x xπ∂∂∂=∂∂∂ This equation holds on an interval 01x ≤≤ for times 0t ≥. The PDE satisfies the initial condition (,0)sin u x x π= and boundary conditions(0,)0;(1,)0t uu t e t xπ-∂=+=∂ 2.PDEtool 求解偏微分方程(1)PDEtool （GUI ）求解偏微分方程的一般步骤在Matlab 命令窗口输入pdetool ，回车，PDE 工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解，整个过程大致可以分为六个阶段Step 1 “Draw 模式”绘制平面有界区域Ω，通过公式把Matlab 系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.Step 2 “Boundary 模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.Step 3 “PDE 模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d ，根据具体情况，还可以在不同子区域声明不同系数.Step 4 “Mesh 模式”网格化区域Ω，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.Step 5 “Solve 模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t 的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.Step 6 “View 模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.(2)实例说明用法求解一个正方形区域上的特征值问题：12|0u u u u λ∂Ω⎧-∆-=⎪⎨⎪=⎩ 正方形区域为：11,1 1.x x -≤≤-≤≤(1)使用PDE 工具箱打开GUI 求解方程(2)进入Draw 模式，绘制一个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,确认并关闭对话框(3)进入Boundary 模式，边界条件采用Dirichlet 条件的默认值(4)进入PDE 模式，单击工具栏PDE 按钮，在弹出的对话框中方程类型选择Eigenmodes,参数设置c=1,a=-1/2,d=1,确认后关闭对话框(5)单击工具栏的 按钮，对正方形区域进行初始网格剖分，然后再对网格进一步细化剖分一次(6)点开solve菜单，单击Parameters选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为[-20,20](7)单击Plot菜单的Parameters项，在弹出的对话框中选中Color、Height(3-D plot)和show mesh项，然后单击Done确认(8)单击工具栏的“=”按钮，开始求解。