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2009南华大学硕研课程数值分析试题答案及评分标准

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1 南华大学 2009 级硕士研究生课程考试试题答案

及评分标准

考试科目： 数值分析 所属学院 考试时间

考生姓名： 考生学号 任课教师 考试成绩

一． (15分)已知函数1|)(|xf且)(xf的离散值如下表：

i 0 1 2

ix 0．32 0．34 0．36

)(ixf 0．314567 0．333487 0．352274

试用拉格朗日二次插值公式求)3367.0(f（保留小数点后6位）并估计截断误差。

（提示：拉格朗日n次插值公式：nkkknyxlxL0)()(，nkjjjkjkxxxxxl0)(

误差公式：njjnnnxxnfxLxfxR0)1()()!1()()()()(）

评分标准：列出计算式5分，计算结果5分；误差估计5分；计算有误酎情扣1-2分；

用拉格朗日插值公式计算：

352274.0)34.036.0)(32.036.0()34.03367.0)(32.03367.0(333487.0)36.034.0)(32.034.0()36.03367.0)(32.03367.0(314567.0)36.032.0)(34.032.0()36.03367.0)(34.03367.0()3367.0(f（5分）

352274.0)02.0)(04.0()0033.0)(0167.0(333487.0)02.0)(02.0()0233.0)(0167.0(314567.0)04.0)(02.0()0233.0()0033.0(

330374.0330374364.00242672751.0324407818.00302338208.0（10分）

用牛顿插值公式计算：

00101013367.0)3367.0()3367.0(xxxyyyPf

330365.032.03367.032.034.0314567.0333487.0314567.0（5分） 2 100201011212123367.03367.0/)3367.0()3367.0()3367.0(xxxxxxyyxxyyPPf

330374.0)0033.0(0167.004.0946.093935.0330365.0（10分）

7210210102.20233.00033.00167.061||!3|)(|||xxxxxxfxR（15分）

二．（15分）求4x在[-1，1]上次数不超过3的最佳一致逼近多项式。

（提示：第一类切比雪夫多项式188)(244xxxT）。

评分标准：给出关系式5分；移项代入比雪夫多项式5分；计算5分；计算有误酎情扣1-2分

解：设最佳一致逼近多项式为)(*xP，则有

414*421)(TxPx，（10分）

811888181)(224444*xxxxTxxP（15分）

三．（15分）已知实验数据如下：

Xi 19 25 31 38 44

Yi 19．0 32．3 49．0 73．3 97．8

求形如cbxaxy2的经验公式，并估计均方误差。

（拟合公式提示：

nijjxaxS0)()(，nkdakjnjjk,,1,0,,0，21022miiiyxS

),,1,0,(,,0njkxxximijikijk，nkxxfxdmiikiik,,1,0,0）

评分标准：给出法方程5分；求出系数5分；给出均方误差5分；计算有误酎情扣1-2分；

令

144441383813131125251191922222A，cbax，8.973.730.493.3219Y

解 YAx，YAAxATT， 3 5 157 5327 157 5327 192331 5327 192331 7277699AAKT，0.00270.09783.6932005+1.0eYAfT（5分）

0.68820.01930.0497\fKx，0.6882 c0.0193, b0.0497, a

0.6882 0.0193x 0.0497x 2y（5分）

,0.0209 0.0636,- 0.0801, 0.0460,- 0.0086, YAUd，

ddsT，0.1145s（5分）

四．（15分）用四点高斯-勒让德公式求定积分1021xdxI（要求小数点后4位）。

（提示：四点公式系数：6521452.0,3478548.0,3399810.0,8611363.0kkAx）

评分标准：给出变换式5分；正确带入系数5分；正确计算5分；计算有误差酎情扣1-2分；

1,0ba令21222tbatabx，得5221211210ttdtxdxI（5分）

用四点高斯-勒让德公式求得

26521452.05)3399810.0(23399810.0153399810.023399810.0123478548.05)8611363.0(28611363.0158611363.028611363.012222I2}6521452.04.435615.795513478548.04.019317.46381{（5分）

26521452.00.22544730.17254623478548.00.24880060.1339795

20.65214520.39799360.34785480.382780

0.7854020.392701520.25954960.1331519（5分）

（精确值为33974480.785398164） 4 五．（15分）对方程8951251032241321xxx构造一种高斯-塞德尔迭代公式，

（1） 说明其收敛的理由；

（2） 以Tx000)0(为初值，迭代到2)()1(10kkxx。

(提示：高斯-塞德尔迭代：

bAx，ULDA，fBxxbLDfULDBkk)()1(11,,)

评分标准：给出变换后的对角占优式5分；判断收敛5分；迭代计算5分，每步1分；计算有误酎情扣1-2分；

910325241812521,238125910325241rrrr,1032241125A,958b,

1045D,321L,212U,

D=diag(diag(A)),L=-tril(A,-1),U=-triu(A,1),B=inv(D-L)*U, f=inv(D-L)*b.

125.005.0055.01.002.04.00)(1ULDB,

075.1650.1600.1)(1bLDf（5分）

λ1=0，λ2=-0.1125 + 0.1654i, λ3=-0.1125 - 0.1654i，

谱半径10.6512B，所以迭代

fBxxkk)()1(收敛, （5分）。取Tx0,0,0)0(

fBxxkk)()1(,(k=0,1,2,3,4,5)得下表

k Xk ||Xk-Xk-1||∞ ||Ax-b||2

0 (0 0 0) 13.0384

1 (1.6 1.65 1.075) 2.5373 4.8747

2 (0.7250 0.8937 1.0231) 1.1577 1.5678

3 (1.0379 0.9979 0.9918) 0.3312 0.1877

4 (1.0025 1.0047 1.0009) 0.0372 0.0292

5 (0.9979 0.9990 1.0001) 0.0073 0.0123

6 (1.0004 1.0000 0.9999) 0.0026 0.0019

7 (1.000000282,1.000032093, .000009572) 3.7424e-004 1.6531e-004

5 实际取k=5即可. （5分）注精确解为 Tx111

六．（25分）对于初值问题

2)1(2138yxyy

（1） 证明用改进的欧拉格式（梯形公式）是绝对稳定的；

（2） 取步长2.0h，用（1）的格式计算其数值解（小数点后保留5位）。

（提示：梯形公式：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy）

评分标准：给出递推式10分，判断绝对稳定性5分；计算10分，每步2分；计算有误差酎情扣2-4分；

1138382nnnnyyhyy，解得2/3182/312/311hhyhhynn（10分）

对任意的0h，12/312/31rhh，故有nnnr1，误差是缩小的，所以格式绝对稳定。（5分）取2.0h，则，13161371nnyy ，由2)0(0yy计算得：

30769.22.11yy，（2分）

47337.24.12yy，（2分）

56258.26.13yy，（2分）

61062.28.14yy，（2分）

63649.20.25yy，（2分）

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2009年考研数学三真题及完整解析

2009年考研数学三真题及完整解析

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2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数3()sinxxfxx的可去间断点的个数为：（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D.无穷多个

（2）当0x时，()sinfxxax与2()ln(1)gxxbx是等价无穷小，则（ ）

A.1a，16b B. 1a，16b

C.1a，16b D.1a，16b

（3）使不等式1sinlnxtdtxt成立的x的范围是（ ）

A. (0,1) B.(1,)2 C.(,)2 D.(,)

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为：

则函数0xFxftdt的图形为（ ）

A. B. ()fx0 2 3 x1 -2

-1 1 ()fx0 2 3 x1 -2

-1 1 1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O

- 2 - C. D.

（5）设,AB均为2阶矩阵，*,AB分别为,AB的伴随矩阵，若||2,||3AB则分块矩阵 00AB的伴随矩阵为（ ）

A.**0320BA B. **0230BA

C.**0320AB D.**0230AB

（6）设,AP均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若123122(,,),(,,)PQ，则TQAQ 为（ ）

A.210110002 B. 110120002

(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案

(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案

专业、班级 姓 名 学 号

------------------------------密-----------------------------封-------------------------- -线------------------------

一 填空(每空3分，共30分)

1. 用公式200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx进行近似计算，这时所产生的误差称为 。

2.设(0)0,(1)10,(2)20,fff则过这三个点的二次插值基函数1()lx ，2()lx ，[0,1]f 。

3. 用来求数值积分的梯形公式的代数精度是 。

4. 设)(xf可微，求方程)(2xfx根的Newton迭代格式为 。

5. 设(0,5,0,1)，则1 ， ，

2 ；设4152A，则)(ACond 。

江西理工大学 大 学

2010至2011 学年第 一 学期试卷

课程 数值分析 年级、专业

试

卷

︵

A

︶

第

1

页

︵

共

3页

︶

江西理工大学

教

务处 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

得分 二 计算（60分）

1．已知列表函数()yfx

x 1 2 3 4

y 0 －5 －6 3

试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式3()Nx，并写出插值余项。（10分）牛顿插值公式是：

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1 石 家 庄 铁 道 学 院

2009级硕士研究生考试试卷

课程名称 数值分析 任课教师 王亚红

2009 年— 2010 年度第 I 学期

姓名 学号 评分 时间 120分钟

题号 一 二 三 四 五 合计

分值 30 16 20 16 18 100

得分

一 填空 (30分)

1．TxA)3,2,1(,200120002，则A ,x .

2．,234)(23xxxf则8,6,4,2f

3．用Gauss列主元消去法解方程组8116653542321,第一次选的列主元为 .

4．设)(],,[)(xPbaCxf 是多项式，则)()(xPxf

5．满足12)2(,1)1(,0)0()0(PPPP的不高于3次的插值多项式为 ,其余项为 .

6．为使两点数值求积公式：)()()(2111xfxfdxxf具有最高的代数精度，则其求积节点1x ，2x .

7.用G-S迭代法解方程组3242121xaxaxx，其中a为实数，G-S迭代法收敛的充要条件是a满足

8．写出用牛迭代法求方程1172x的正根117的迭代公式 2 9．将2112112A做Cholesky分解，L=

10．设U=11......11121n, d=

nddd...21，Ux=d 的求解公式为

数值分析书本标准答案

数值分析书本标准答案

习题一

1、取3.14,3.15，722，113355作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

解：14.31x

312110211021x

所以，1x有三位有效数字

绝对误差：14.3e，相对误差：14.3re

绝对误差限：21021，相对误差限：213106110321r

21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3x

所以，2x有两位有效数字

绝对误差：15.3e，相对误差：15.3re

绝对误差限：11021，相对误差限：11061r

31222105.0105.01012645.00012645.0722722x

所以，3x有三位有效数字

绝对误差：722e，相对误差：722re

绝对误差限：21021，相对误差限：21061r

1133551x

7166105.0105.01032.000000032.0113355

所以，4x有七位有效数字

绝对误差：113355e，相对误差：113355re

绝对误差限：61021，相对误差限：61061r 3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。

5000,50.31,3015.0,0315.04321xxxx

解：0315.01x

m=-1

3141*10211021xx

所以，n=3，1x有三位有效数字

绝对误差限：41021，相对误差：2110611021nra

3015.02x

m=0

4042*10211021xx 所以，n=4，1x有四位有效数字