2009级研究生《数值分析》试题

姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。

2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x=0．045，y=2．013_____（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)解析：3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)解析：5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：6.______，该公式的代数精度为_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )解析：10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)解析：11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)求I(f)- 形如的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，有故该公式有3次代数精度． 2)以H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a)，H"(0)=f"(0)为插值条件作3次插值多项式H(x)，则有f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2，而=A 0H(-a)+A 1H(0)+A 2H(a)=,且)解析：12.给定常微分方程初值问题取n为整数；x i=a+ih，1≤i≤n．记y i≈y(x i)，1≤i≤n；y 0 =y(a)． 1)求参数α，使求解上述初值问题的数值求解公式y i +1=y i +h[αf(x i，y i )+(1-α)f(x i+1，y i+1 )]局部截断误差阶达到最高； 2)应用Euler公式与1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)局部截断误差R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h[αf(x i，y(x i ))+(1-α)f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i )+hy"(x i )+ y"(x i y""(x i )+O(h 4 )-y(x i )[*)解析：13.对于定解问题取正整数M，N，令x i=ih,i=0,1,…,M; t k=kt,k=0,1,…,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取应用1)中构造的求解公式计算以及的近似值（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)在节点(x i，t k )处考虑微分方程由Taylor展开得x i-1＜ξi ＜x i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令u i k≈u(x i，t k)得2)取要求的即为第一层的近似值．由差分格式整理得(1+2γ-τ)u i k)解析：14.已知A，B∈R n×n，其中A非奇异，B为奇异矩阵，试证明（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因B是奇异阵，A非奇异，则A -1B奇异，故必存在x∈R n且x≠0使A -1Bx=0．因此(I-A -1B)x=x．两边取范数得‖x‖=‖(I—A -1B)x‖≤‖(I—A -1B)‖．‖x‖．因为‖x‖≠0，所以‖I-A -1B)‖≥1，从而有1≤‖I—A -1B)‖=‖A -1 (A—B)‖≤‖(A—B)‖.‖A -)解析：。

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y2412注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考2,又*3x a =10=≠。

姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。

2009年中南大学硕士研究生“数值分析”课程试题（闭卷，可自带计算器，120分钟）一、设分段多项式（8分）S(x)=⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+21,1210,2323x cx bx x x x x是以x = 0，1，2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值。

二、设)3()(2-+=Φx c x x ，问如何选取 c 能保证迭代法)(1k k x x Φ=+具有局部收敛性。

（8分）三、利用列主元素消去法解方程：（8分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x四、求()xf x e =在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。

（8分）五、已知函数表如下，试用抛物插值求125的近似值，估计截断误差。

（14分）利用Romberg 方法计算积分：dx xx⎰1sin （计算到第一个Romberg 值）。

七、利用改进的Euler 法求解如下初值问题：（14分）,1)0(6.00,2)('⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=y x y x y x y 取步长 h =0.3 。

八、利用反幂法和矩阵的LU 分解技术求下列矩阵A 接近于 p = -6.4 的特征值及其特征向量（保留3位小数迭代计算2次，分解后取1(1,1,1)T Uv =），-1212-4111-6A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（14分）九、方程组AX=b ， 其中10101a A a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

试建立解线性方程组AX=b 的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收敛。

（12分）。

2009级一、判断题 (每题2分)3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。

( √ )4. 设是方程的根，则求的Newton 迭代法至少是平方收敛的。

( ) *x 0)(=x f *x二、填空题 (每空2分)1. 近似数关于准确值* 3.120x = 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 . 4. 设2543A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = .五(本题满分10分) 对于下列方程组1231231234222633245x x x x x x x x x ,,,−+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss–Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel 迭代公式是否收敛。

七(本题满分10分) 已知方程在10x xe −=00.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。

*x (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求（只迭代两次）。

*x2010级一、填空题 (每空2分，共20分)1. 近似数关于准确值*2.315x = 2.31565x =有 位有效数字，相对误差是 .4. 设2345A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，Cond()A ∞= .5. 设是方程的3重实根，则求的改进的Newton 迭代公式为 *x 0)(=x f *x .二 (本题满分8分) 对下列方程组1231231232633245,422x x x x x x x x x ,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩ 建立收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Gauss–Seidel 迭代公式，并说明理由。

五(本题满分10分) 已知方程在3210x x −−=0 1.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值0 1.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。

《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。

---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。

--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。

--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。

2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：30.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设多项式f(x)=4x 4十6x 3 +9x+1，则求f(x 0 )仅含有4次乘法运算的算法为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[(4x 0 +6)x 02 +9]x 0 +1)解析：3.已知实对称矩阵A的全部特征值是3，2，1，则cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3)解析：4.设f(x)=x 3 -3x+1，则f(x)以0，1，2为插值节点的2次牛顿插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1-2x+3x(x-1))解析：5.用Simpson(保留小数点后3位小数)是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0.747)解析：6.Euler公式是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y i+1 =y i[f(x i，y i )+f(x i+1 ,y i，hf(x i，y i ))])解析：7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比s______，该差分格式关于空间步长_______阶收敛，关于时间步长______阶收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：≤1，2，2)解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=x 5—5x+1，则f"(x)=5x 4—5，当x=±1时f"(x)=0．注意到x∈(0，1)时f"(x)＜0，x∈(1，+∞)时f"(x)＞0．又因为f(0)=1＞0，f(1)=-3＜0，f(2)=23＞0，因此方程有2个正根分别在(0，1)和(1，2)中，故最大正根x *∈(1，2)．用Newton迭代法求解，迭代格式为x k+1 =x k -,k=0,1,2，…，取x 0)解析：9.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =8．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，…，(A)其中ξ和η的取值范围，使迭代格式(A)收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由迭代格式(A)得x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛ρ(-B -1 C)＜1．-B -1 C的特征方程为｜λI+B -1 C｜=｜B -1｜｜λB+C｜=0，由此得λ[λ2 -(ξ+η)λ+ξη]=0，求得λ1 =0，λ2 =ξ，λ<)解析：11.设，∈C 4[a，a+2]，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(a)=f(a)，H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H"(A)=f"(a)，并写出插值余项f(x)-H(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由Hermite插值，有H(x)=f(a)+f[a，a](x—a)+f[a，a，a+1](x—a) 2 +f[a，a，a+1，a+2](x-a) 2[x-(a+1)]．f[a，a]=f"(a)，f[a，a+1]=f(a+1)-f(a)，f[a+1，a+2]=f(a+2)-f(a+1)，f[a，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f"(a)，f[a，a+1，a+2]= [f(a+2)-2f(a+1)+f(a)]，f[a，a，a+1，a+2]=)解析：12.用最小二乘法确定经验公式u=a+be x中的参数a和b，使该曲线拟合下面的数据：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令φ0 (x)=1，φ1 (x)=e x，则(φ0，φ0 )=4， (φ0，φ1 )=e -1 +1+e+e 2 =11．4752， (φ1，φ1 )=e -2 +1+e 2 +e 2 =63．1225，(φ )解析：13.设f(x)∈C 2 [a，b]，I(f)= ,h=(b-a)／n，x k =a+kh，k=0，1，…，n；=X k +h／2，k=0，1，…，n-1. 1)写出计算积分I(f)的一点Gauss公式G(f)以及对应的复化求积公式G n (f); 2)设Tn (f)是计算积分I(f)的复化梯形公式，求参数α，使得（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：1)求∫ -11 g(t)dt的一点Gauss公式为2g(0)，则所以2)复化梯形公式为所以)解析：14.给定常微分方程初值问题n，记h=(b—a)／n，x i =a+ih，i=0，1，2，…，n．给定求初值问题(B)的多步方法： y i+1 =--4y i +5y i-1 +h[β1 f(x 1，y 1 )+β2 f(x i+1，y i+1 )]． (C) 1)试确定公式(C)中的参数β1，β2，使求解公式具有尽可能高的阶数，写出局部截断误差表达式并指出最高阶数； 2)利用Euler公式和公式(C)构造一个预测-校正公式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)多步公式(C)的局部截断误差为R i+1=y(x i+1)+4y(x i)-5y(x i-1)-h[β1f(x i，y(x i ))+β2 f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-hβ )解析：15.给定初边值问题其中ψ(x)，α(t)，β(t)是光滑函数，且满足相容性条件．取正整数M，N，记h=(b—a)／M，τ=T／N，x i=a+ih(0≤i≤M)，t k =kτ(0≤k≤N)． 1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)设f(x，t)≡0，α(t)=β(t)≡0，{u i k｜0≤i≤M，0≤k≤N}是古典隐格式的解，记r=τ／h 2，,k=0，1，…，N.证明：对任意步长比r，有‖u k‖ ∞≤‖u 0‖ ∞,k=1,2,…,N（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为2)当f(x,t)≡0．α(t)=β(t)≡0时，上述古典隐格式可写为由此可得对任意1≤i≤M-1，1≤k≤N有 (1+2r)｜u i k｜≤r(｜u i+1k｜+｜u i-1k｜)+｜u ik-1｜≤2r‖u k‖∞+‖u k-1‖∞)解析：。

[考研类试卷]2009年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷1 1)设x1=5．1074，x2=80．119均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算x1x2具有几位有效数字； 2)利用秦九韶算法计算多项式p(x)=8x5—6x4+4x3—2x2+3x+1在x=2处的值．2 设3次代数方程x3—5x2—2x+1=0的最大实根为x*．任取x0，用Newton迭代法可得迭代序列{x k}k=0∞.证明：如果x0＞x*，则有3 给定线性方程组Ax=b，其中1)写出Jacobi迭代格式；2)设A是按行严格对角占优矩阵，即A满足证明：Jacobi迭代法收敛．4 设f(x)=x4—3x3+x2—10，x0=1，x1=2，x2=3，x3=0． 1)写出f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)写出f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．5 求a和b，使得｜e x-(a+bx)｜取最小值，并求该最小值．6 给定积分取正整数M，将区间[a，b]作M等分，并记h=(b—a)／M，x i=a+ih，i=0，1，…，M．1)利用函数值f(x0)，f(x1)，…，f(x M)作f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出S(x)的表达式；2)利用S(x)构造计算I(f)的数值求积公式并写成的形式，给出A i的表达式；3)设f(x)∈C2[a，b]，试估计截断误差I(f)-I N(f)．7 考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b-a)/n，x i=a+ih，0≤i≤n．试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数．8 设2阶抛物方程初边值问题有光滑解u(x，t)，其中φ(0)=ψ1(0)，φ(1)=ψ2(0)．取正整数M和N，并记h=1／M，x i=ih，0≤i≤M；τ=T／N，t k=kτ，0≤k≤N．对(A)建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性．。

2008/2009 学年第 2 学期末考试试题（A 卷）数值分析参考答案使用班级： 高教硕士、工程硕士一、填空题（每空3分，共30分）1、 由于计算机的字长限制，计算机在存取原始数据以及每一次计算都会对数据进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差；而数值计算方法得到的近似解与数学模型的准确解之间的误差称为截断 误差（或方法误差）；2、 设*0.01320a =-是准确值a 经四舍五入得到的近似值，那么它的一个绝对误差限()*a ε=0.000005，相对误差()*r a ε=0.038%； 祖冲之的密率*355113π=作为圆周率3.1415926535897...π=的近似值具有 7 位有效数字；3、 方程cos x x =的根*x =0.73909（精确到小数点后5位）；4、 设(1)0.5,(0)1,(1)2f f f -===，则一阶差商[1,0]f -=0.5，二阶差商[1,0,1]f -=0.25，函数()f x 的二次Newton 插值多项式2()p x =213144x x ++； 5、求积公式()()()1-1141()d 101333f x x f f f ≈-++⎰具有 3 次代数精度。

二、利用Doolittle 分解求解以下方程组（本题10分）123212321232123242528721074836712611203x x x x x x x x x x x xx x x x +++=-⎧⎪+++=-⎪⎨+++=-⎪+++=-⎪⎩ 解：采用紧凑格式的LU 分解，其过程为由方程组的增广矩阵所以，()T1111x =--。

注：若不按以上紧凑格式方法做的其它做法，只要正确也给分。

其中()LU2421523872107|148367112611203A b -⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪=−−−→ ⎪-⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎪⎭分解100042152210003003,,,,121000************L U y Ly b Ux y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、（本题10分）写出求解线性方程组1231231235212421025101x x x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩＋- 的Jacobi 迭代算法及其对应的迭代矩阵，并说明用Jacobi 迭代法求解此方程组是收敛的。

[考研类试卷]2009年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷1 设n次代数方程x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0有n个实根，其最大实根为x*．任取x0，用Newton迭代法可得迭代序列{x k}k=0∞证明：如果x0＞x*，则有2 给定线性方程组Ax=b，其中1)写出Gauss-Seidel迭代格式．2)设A是按行严格对角占有矩阵，即A满足｜a ij｜＜｜a ii｜,i=1,2,…n,证明：Gauss-Seidel迭代法收敛．3 求a和b，使得｜x4-(a+bx)｜取最小值，并求该最小值.4 给定积分I(f)=∫a b f(x)sinnxdx，其中n为较大的正整数．取正整数M，将区间[a，b]作M等分，并记x i=a+ih，i=0，1，…，M．1)利用函数值f(x0)，f(x1)，…，f(x M)作f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出S(x)的表达式；2)利用S(x)构造计算I(f)的数值求积公式I N(f)=∫a b S(x)sinnxdx，并写成的形式，给出A i的表达式；3)设f(x)∈C2[a，b]，试估计截断误差I(f)-I N(f)．5 考虑常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数．6 设两点边值问题(A)具有光滑解u(x)，取正整数M，并记h=1／M．将区间[0，1]作步长为h的网格剖分．试对问题(A)建立一个4阶精度的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)证明差分格式的收敛性；3)给出求解差分格式的思路．7 设二阶抛物方程初边值问题(B)有光滑解u(x，t)，其中a(x，t)＞0．取正整数M和N，并记h=1／M，τ=T／N，x i=ih，0≤i≤M，t k=kτ，0≤k≤N．对(B)建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式．1)给出差分格式截断误差的表达式；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性．。

①② ③ ① ② ③1、需要草纸共（ 1 ）页2、考试类型为（ 闭 ）卷3、考试时间为（ 90 ）分钟4、试卷第（ ）套①② ③一、填空（每小题3分，共30分） 注意：答案请填在横杠上，写在它处者不得分！1、三个近似数 2.31, 1.93, 2.24a b c ===，都有3位有效数字，计算c b a p +=，问 p 的计算结果能有______位有效数字。

2、设152210382A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 =1A _ __ _； =∞A ___ _____； =F A __ ___。

3、计算向量()3,5,1Tx =的各种范数：=1x _ __；=2x _ __ __；=∞x_ _。

4、设1 1.000111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则()Cond A ∞=_____ ______。

5、解非线性方程 x x ln 2+= 的牛顿迭代法的迭代格式_。

6、方程 ()sin 10f x x x =+-= 在区间 []0,2 内的一个实根，用二分法求根，进行两步后根所在的区间是 ___________。

7、己知()0,1)(≠+=n n n a x a x f ，则[]=n x x x f ,,,10 _ __ ___；[]=+110,,,,n n x x x x f __ _ ___。

8、21cos(16arccos )x x -=⎰__________________________ _____。

9、求积公式()11d f x x f f -⎛≈+ ⎝⎰ 的代数精度为___ ___ ____次。

10、给定向量 340x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，确定一个初等反射阵H ，使500Hx ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 =H ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡。

二（10分）用Doolittle 分解法，求解下方程组： 123123142521831520x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。