第十一讲 幂级数§11.1 幂级数幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和 ∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域 定理1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑nnxa 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.证明∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理1的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构：幂级数∑n n x a 收敛域的结构是关于点0=x 的对称区间，∑-n nx x a)(0的收敛域的结构是关于点0x x =的对称区间.定义幂级数的收敛域长度的一半为收敛半径R ，收敛半径 R 的求法. 定理2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则（ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ1=; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时0=R .证明 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间:) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.2、幂级数的一致收敛性 定理3 若幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证明 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n nn x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在], [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.定理4 设幂级数∑nn x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证明 nnn n n R x R a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=. ∑n n R a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .3、幂级数的性质（1）逐项求导和积分后的级数 设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna ①，∑⎰∞==1n xnn dt t a ∑∞=++111n n n x n a ②， ①和②仍为幂级数. 我们有 定理5 幂级数∑∞=-11n n n xna 和∑∞=++111n n n x n a 与∑n n x a 有相同的收敛半径 注: ①和②与∑nn xa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nnx .（2）幂级数的运算性质: 定义1 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. 定理6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .定理7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =,则（ⅰ）∑∑=n n nnx a xa λλ, λ , ||a R x <— 常数，0≠λ.（ⅱ）∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.（ⅲ） (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.（3）幂级数的和函数的性质定理8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则（ⅰ）)(x f 在) , (R R -内连续; （ⅱ）若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;（ⅲ）对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;（ⅳ）对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a . 注 当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n n x a 在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a . 推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a ,……， +++=+x a n a n x f n n n 1)()!1(!)(.注 由推论1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='==二、解证题方法例1 求幂级数∑2nx n的收敛域.( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域. ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ ∑∞=0!n n n x (()+∞∞-,); ⑵ ∑∞=0!n nx n ({}0:=x x ).例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域()3,1[-). 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02. 验证给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.解 因为=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x ，所以)(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入y y y 2-'-''得02=-'-''y y y .因为0!2lim !2lim ==∞→∞→n n n n n n n ，所以∑∞==0!2)(n n n n x x f 的收敛域为) , (∞+∞-. 例6 将2)1(1x -,3)1(!2x -,x-11ln展成幂级数, 并求收敛域. 解 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x .,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x . ⎰∑⎰∞==-=-xn xn dt t dt t x 0001111ln∑∞=+++++++=+=0121121n n n n x x x n x ,)1,1(-∈x .例3（东南大学2005年）设∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n nn x a 在2-=x 处条件收敛，求其收敛半径.解 因为∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n n n x a 在2-=x 处条件收敛，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-123)1(n nn na 收敛，而∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛123n n n a 发散. 进而当4=x 时级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-121n nnx a 发散,故其收敛半径为3224=+. 例4(北京化工大学2003年)若nn na ≤, ,2,1=n , 证明:∑∞=1n nn xa 的收敛半径1≥R .解 由于nn na ≤, 则1lim limlim 1==≤∞→∞→∞→nn nnn n n n n na , 所以的收敛半径1≥R例5(北京师范大学2003年)求幂级数()∑∞=++111ln n n nx nn α(0>α)的收敛域.解 由于()()11ln lim1ln lim 11=+=++∞→+∞→nnnn nnn nn nn αα, 所以收敛半径1=R . 研究1=x 级数()∑∞=++111ln n nn n α的敛散性. 当1>α时, 由于()()01ln lim 1ln lim 121121=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+-∞→++∞→n n n n n n n n n ααα, 且∑∞=+1211n nα收敛, 所以()∑∞=++111ln n nnn α收敛.而()∑∞=++-111ln )1(n nnnn α收敛, 故收敛域]1,1[-. 当1≤α时, ()()+∞=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+-∞→++∞→n n n n n n n n n 1211211ln lim 1ln lim ααα, 所以()∑∞=++111ln n n n n α发散,由于当n 充分大时, ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++n n n 11ln α单调递减趋向于0,所以()∑∞=++-111ln )1(n n n n n α收敛,故收敛域为)1,1[-, 综上所述, 当1>α时,收敛域为]1,1[-,当1≤α时, 收敛域为)1,1[-.例6(天津工业大学2005年)求幂级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n x n n nn的收敛域. 解 由于n n n n n n n n ln 2ln 1ln ln 13<+<, 又1ln 2lim ln 1lim ==∞→∞→nn n n n n ,故收敛半径1=R .由积分判别法知, 当1=x 时,∑∞=2ln 1n n n 发散,而0ln 1ln 3>+n n n n ,所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n n n n 发散, 由Leibniz 判别法知当1-=x 时,∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-23ln 1ln )1(n n n n n n收敛. 故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23ln 1ln n n x n n n n的收敛域为)1,1[-. 例7(复旦大学2001年)确定由幂级数∑∞=+14316n n n x n 收敛点全体构成的收敛域.解 由于116lim 16lim 4343=+=+∞→∞→n n nn n n n n ,所以∑∞=+14316n n n x n 收敛半径为1,显然当1=x 时, ∑∞=+14316n n n 发散. 下面研究当1-=x 时∑∞=+-14316)1(n nn n 的敛散性.易知016lim 43=+∞→n n n .由于()()()()()24422462243342431646164616416316)(+-=+-=+⋅-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x x x x x x f ,所以当446>x 时,)(x f 是单调递减, 即3>n 时1643+n n 是单调递减趋于0的数列,从而∑∞=+-14316)1(n nn n 收敛,故得收敛域为)1,1[-. 例8(大连理工大学2006年)求n n x n n )1(1∑∞=--的收敛域.解 因为()()()()()()nn nn n n nn n n n n n n n n a a n n n n n +---+++-+++-=--+-=∞→∞→+∞→111111lim11lim lim 1()()1111111lim 11lim 11lim =+++-=+++-=++-+--=∞→∞→∞→nn n n nn n n n n n n n , 当1=x 时,n k k nk -=--∑=)1(1不趋于0（∞→n ）, 所以当1=x 时该级数发散.当1-=x 时,111)1(11)1)(1(+∞=∞=-+-=---∑∑n n nn nn n n 为交错级数,所以收敛.故n n x n n )1(1∑∞=--的收敛域为)1,1[-.例9(上海理工大学2003年)求级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-112)1(n nn n x x n n 的收敛域.解 令12+=x xt , 对辅助函数∑∞=-1)1(n n n n t nn 计算收敛半径11lim 1lim lim 1====∞→∞→∞→n n n n n n n n n nn n n a r ,当1=t 时, 级数成为∑∞=-1)1(n n nn n ,由Abel 判别法可判定其收敛; 当1-=t 时，级数成为∑∞=11n nnn,由p-级数判别法可判定其发散，故辅助幂级数的收敛域为]1,1(-，原广义幂级数收敛域为1121≤+<-x x ， 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤->131x x x 或. 例10(华中科技大学2007年)设)(x f 在]1,0[上二阶可导,且满足0)0(>''f 和0)(lim 0=+→x x f x ,令⎪⎭⎫ ⎝⎛=n f a n 1, 求n n n x a ∑∞=1收敛域. 解 因为0)(lim 0=+→x x f x , 所以0)(lim )(lim )0(00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==→→x x x f x f f x x .从而0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x .于是由L ’Hospital 法则知 ())0(212)0()(lim 2)(lim )(lim 1lim lim 002022f x f x f x x f x x f n f n a n x x x n n n ''='-'='==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→∞→∞→, 所以∑∞=1n n a 收敛且当n 充分大时，有2222)0(21)0(21nf n a n f n n εε+''<<-''成立，从而易知1lim =∞→nn n a ，所以nn n xa ∑∞=1的收敛半径为 1. 又因为2222)0(21)0(21n f n a n f n n εε+''<<-'', 且∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''122)0(21n n f n ε收敛，所以∑∞=1n n a 与∑∞=-1)1(n n na （0>n a ）.故n n n x a ∑∞=1的收敛域为[]1,1-.练习[1](兰州大学2005年)求幂级数12112)1(n n nx nn ∑∞=+-的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1(-,和函数)1ln(12222x xx +-+-) [2](兰州大学2006年)求幂级数12112)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数x arctan )[3](西安电子科技大学2004年)求幂级数221212-∞=∑-n n n x n 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域()2,2-,和函数()2222-+x x ) [4](电子科技大学2003年)求幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n n x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数x x x -++)1ln()1()[5](华南理工大学2006年)求幂级数∑∞=+--1211)1(n n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域]1,1[-,和函数42)1ln()1(2122x x x x -++-) [6](北京交通大学2003年)求幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1[-,和函数1)1ln(---xx ) [7](哈尔滨工业大学2006年)求幂级数()∑∞=+-111n n n x 的收敛域. (答案: 收敛域)2,0[)[8](北京交通大学2004年)求幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛域及和函数. (答案: 收敛域)1,1[-,和函数)1ln(1x --)[9] (华东师范大学2004年)求幂级数∑∞=1n nnx的收敛域及和函数. (答案: 收敛域()1,1-,和函数()21x x-)[10](东南大学2006年)求幂级数()∑∞=-11n nx n 的收敛域及和函数.(答案: 收敛域()2,0,和函数()221x x --)§11.2 函数的幂级数展开一、知识结构 1、函数的幂级数展开 （1）Taylor 级数设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数，则 Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式: Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= , Lagrange 型余项:)(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间，或 )(x R n () ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x f θ10<<θ. 积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项)(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为)(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f , 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可 写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?（2） 函数与其Taylor 级数的关系 实例 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n nx.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点, 是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例如，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外, 函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章定理8的推论2（和函数的性质）知: 在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.⑵ 若幂级数∑∞=-0)(n nn x x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.（3）函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式. (4)可展条件定理1(必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.定理2(充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证明 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .定理3(充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证明 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x (ⅰ)按x 幂; (ⅱ) 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f 0)()4(==== n ff.所以,(ⅰ) 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. (ⅱ) 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . 2、 初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式，为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.直接展开: （1）=xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=x a ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .（2）=x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.（3）二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, m x )1(+为多项式, 展开式为其自身; m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=n x n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.): 当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如，取1-=m ,得+-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112，) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.（4） +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x . ] 1 , 1 (-∈x .事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰∑⎰∞=-=+=+xn x n n dtt t dtx 00) 1 (1)1ln(∑⎰∞==-=00) 1 (n xnndt t ∑∞=++-011) 1 (n n nn x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x ,) 1 , 1 (-∈x .验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.（5）=+-+-= 753arctan 753x x x x x ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x nn n n n dt t dt t t dt x 00002022)1()1(1arctan =∑∞=++-012,12)1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立. 二、解证题方法 例1 展开函数1431)(2+-=x x x f .解∑∑∑∞=+∞=∞=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01001) 13 (213211131321)(n nn n n n n n x x x x x x f ，31|| <x例2 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n .例3(南京航空航天大学2004年)下列函数中不能在0=x 处展开成幂级数是:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,)(21x x e x f x(2)x arctan ,(3)()m x +1,(4)dt t x⎰2cos .解 幂级数其实是Taylor 展开式的推广，所以要求函数在0=x 处n 阶可导，1+n 阶导数存在，显然（1）在0=x 处处不可导，所以不能展成幂级数. 例4(中国地质大学2005年)将函数xxx f -=2)(展开成x 的幂级数，并求其收敛域. 解 由初等函数的幂级数展开知()()n n x n n x ∑∞=-=-0!!2!!1211, )1,1[-∈x , 所以 ()()()()100!!222!!122!!2!!12221122)(+∞=∞=∑∑-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-⋅=-=n n n nn x n n x n n x x x x x x f , 其收敛域为)2,2[-.例5(北京交通大学2004年)将函数dt t tx f x⎰=0sin )(在0=x 处展开成幂级数.解 ()∑∞=-+--=1121!12)1(sin n n n n t t ,从而()∑∞=-+--=1221!12)1(sin n n n n t t t , 于是()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞=-+∞=-+∞=-+---=--=--==11211022101221012!12)1(!12)1(!12)1(sin )(n n n n x n n x n n n xn n xdtn t dt n t dt t t x f .例6(华东师范大学2006年)求⎰-=xdt t tx f 0cos 1)(的Maclaurin 级数展开式.解 因为()!2)1(cos 20n t t n n n∑∞=-=,所以()!2)1(cos 11211n t t t n n n -∞=-∑-=-, 从而 ()⎰∑⎰-∞=--=-=x n n n x dt n t dt t t x f 012110!2)1(cos 1)(()()!22)1(!2)1(2111121n n t dt n t n n n n xn n ∑∑⎰∞=-∞=---=-=. 例7(武汉理工大学2004年)将函数⎰-=xt xdt e x f 022)(展开成x 幂级数.解 ⎰∑∑⎰⎰∞=∞=---⋅===x n n n n n x t x xt x dt x n x n dt e e dt ex f 0020200!)1(!1)(2222()∑∑∞=+∞=+-⋅=01202!12)1(!1n n nn n x n n x n . 例8(上海理工大学2005年) 将)1)(1()(2x x xx f --=展开为Maclaurin 级数. 解 因为()()2222121121)1()1()1)(1()(x x x x x x x x x f ---=+-=--=,且∑∞==-011n nx x , 所以()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01111211111n n n n n n n n x n nx x x x x ,∑∞==-02211n nx x , 进而 ()()2222121121)1()1()1)(1()(x x x x x x x x x f ---=+-=--=()∑∑∑∞=∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-+=00204)1(1221121n n n n n n nx n x x n . 例9(中南大学2004年)求()22ln )(xx f +=在0=x 处的幂级数展开式及收敛半径.解 因为()∑∞=--=+111)1ln(n nn nx x ,]1,1(-∈x , 有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=22221ln 2ln 212ln 2ln )(x x x x f()()∑∑∞=-∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=121121212ln 212ln n nn n n nn n x n x . 例10(浙江大学2005年)(1)将x arctan 展开成幂级数; (2)利用(1)证明:124)1(54344+-+-+-=n nπ; (3)利用(2)的结果近似求π的值,误差会不超过m-10,m 为正整数.解 (1)因为()∑∞=-=+='22)1(11arctan n nn x x x ,所以 ∑∑⎰⎰∑∞=+∞=∞=+-=-=-=01200200212)1()1()1(arctan n n n n xnn x n nn t n dt t dt t x , []1,1-∈x .收敛半径1=R .(2)令1=x ,则∑∞=+-==012)1(1arctan 4n n n π, 即∑∞=+-⋅==012)1(41arctan n nn π.(3)设交错级数∑∞=+-⋅012)1(4n n n 的余项为n r , 当mn n r -≤+≤10124时,有21104-⋅≥-m n ,故至少计算121104+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-m 项.练习[1](北京师范大学2004年)求x x x f arccos )(=的Maclaurin 级数,并计算)0()(n f.(提示:()()n n x n n x ∑∞=-+=-1!!2!!12111) [2](北京化工大学2005年)设⎰=xtdt t x f 0cos )(, 求)(x f 幂级数展开式,并求)0()2005(f .[3](南京大学2001年)求212arctan)(xxx f -=在0=x 处的幂级数展开式,并计算∑∞=+-=012)1(n n n S 的值.(提示: x x x arctan 212arctan 2=-) [4](复旦大学2002年)将⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1展成x 的幂级数,并由此求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和. [5](山东科技大学2006年)将)3ln(x +展成x 的幂级数,给出收敛域并由此计算∑∞=-1)1(n nn 的值.。
幂级数的应用幂级数的应用将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前«Skip Record If...»项部分和是«Skip Record If...»的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。
正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。
一、函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１计算常数«Skip Record If...»，精确到小数第四位．解利用«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»．为达到这个精确度，可观察余项«Skip Record If...»．若取«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，故计算出«Skip Record If...»．例2计算«Skip Record If...»精确到小数第四位．解因为«Skip Record If...»．令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，得出«Skip Record If...»由于这是一个交错级数，故其误差可利用«Skip Record If...»确定．取«Skip Record If...»，这时，«Skip Record If...»，故得出«Skip Record If...»．例3计算«Skip Record If...»的值，精确到小数第四位．解如果利用«Skip Record If...»的展开式：«Skip Record If...»，理论上可计算«Skip Record If...»，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第«Skip Record If...»项的值«Skip Record If...»．欲使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．用«Skip Record If...»减去«Skip Record If...»其差是«Skip Record If...»．令«Skip Record If...»，解出«Skip Record If...»代入上式，得«Skip Record If...»，其误差«Skip Record If...»．取«Skip Record If...»，这时«Skip Record If...»故得出«Skip Record If...»．二、定积分的近似计算利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．例4计算«Skip Record If...»，精确到小数第四位．解由于«Skip Record If...»，因此所给积分不是广义积分，如果定义«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的值为1，那么它在积分区间«Skip Record If...»上连续．由于«Skip Record If...»的原函数不能用初等函数表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．利用正弦函数的展开式«Skip Record If...»，两边同除以«Skip Record If...»，得到«Skip Record If...»再逐项积分«Skip Record If...»这是收敛的交错级数，其误差«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．例5计算«Skip Record If...»，精确到小数第三位．解易见«Skip Record If...»的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幂级数展开式计算．利用展开式«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»故有«Skip Record If...»取前四项的和作为近似值，误差为故得出«Skip Record If...»．以上例题说明，幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用．对于用幂级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似．对于用幂级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时，便显示出幂级数方法的优越性．利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数«Skip Record If...»．这可通过估计余项«Skip Record If...»的误差得到：一种方法是将余项式子的各项放大，使之成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定«Skip Record If...»值（如例1，例3），另一种方法是利用收敛的交错级数的特点：«Skip Record If...»，由此来确定«Skip Record If...»值（如例2，例4，例5）．三、欧拉公式最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式，说明数学中重要的欧拉公式的形成与推导过程．在复变量的理论中，我们定义指数函数«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为复变量）为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»属于整个复平面）当«Skip Record If...»时，上式成为«Skip Record If...»注意到«Skip Record If...»，从而即有«Skip Record If...»．(1)把上式«Skip Record If...»换成«Skip Record If...»，又有«Skip Record If...»． (2)将(1)(2)两式两边相加且同除以2，得«Skip Record If...» (3) 将(1)(2)两式两边相减且同除以«Skip Record If...»，得«Skip Record If...» (4) 上述的(1)—(4)都称为欧拉公式，它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系．在(1)中，取«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...»(5) 克莱茵（Klein,1849-1925,德国）认为，这是数学中最漂亮的公式之一．有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0，１，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来，它可以从几种得到解释，如：0：正负数的分界；1：任一自然数与它的后继数之差；«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的根，属于代数；«Skip Record If...»：圆周长与直径之比，属于几何；«Skip Record If...»：«Skip Record If...»«Skip Record If...»时的极限，属于分析．等等．。
