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福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学教材同济七版上册高等数学是大学数学中的一门重要学科，它对于培养学生的逻辑思维能力、数学分析能力以及问题解决能力起着关键作用。
而同济大学出版社所编写的《高等数学同济七版上册》作为一本经典教材，被广大师生们广泛使用。
本文将通过介绍该教材的内容特点、学习方法以及实用价值，展示它在高等数学教育中的重要地位。
同济大学出版社编写的《高等数学同济七版上册》是高等学校普通高等教育本科专业的一本基础教材。
该教材以数学的基本概念、基本原理和基本方法为主线，全面系统地介绍了微积分学的基本理论和方法，包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理、不定积分、定积分及其应用等内容。
同时，教材还涵盖了多元函数微分学的基本理论和方法，如多元函数的极限、连续性与偏导数等。
教材的内容结构严谨、层次清晰，能够满足学生对高等数学基础知识的全面学习需求。
在学习《高等数学同济七版上册》时，我们可以采用一些有效的学习方法来提高学习效果。
首先，要保持良好的学习态度和学习习惯，定时、定量地进行学习，不断积累数学知识。
其次，在学习过程中，要注重理论与实践的结合，通过做大量的习题来巩固和应用所学知识。
可以使用教材附带的习题集，也可以参考其他辅助习题资源，如网络上的相关习题或参考书籍。
此外，还可以结合课程讲解、参加讨论班等方式，与他人合作学习，共同探讨问题和解决难题。
《高等数学同济七版上册》不仅具有教学价值，还具有实用价值。
高等数学是许多学科和专业的基础，它的学习和应用对于培养学生的分析思维、创新思维、问题解决能力等具有重要意义。
通过学习该教材，我们可以系统地学习和掌握高等数学的基本理论、方法和技巧，为日后的学习和工作打下坚实的数学基础。
同时，该教材中的案例分析和实际应用也能够帮助我们将数学知识与实际问题相结合，培养抽象思维与实际运用能力。
总之，《高等数学同济七版上册》是一本经典教材，它的内容丰富、知识体系完整，是大学数学教育中不可或缺的一部分。
高等数学同济大学数学系第七版上册随着高等数学学科的不断发展，人们越来越重视它的应用价值和实际意义，特别是在教育教学中更重要。
人们往往认为高等数学是一门理论性很强的学科。
但事实上，高等数学本身也能在很大程度上成为一门实际应用学科，只是由于数学学科的特点才导致其应用价值和实际意义受到了严重的制约。
例如，数学中有关数学模型和应用数论等知识已成为解决实际问题的重要手段。
因此，与其他学科相比，高数有很强的实用性和普遍通用性。
在教学中我们应根据不同基础学生情况和学习实际情况对其进行分层教学，因材施教，努力使每个学生所学知识与实际情况相适应。
为使高数学习过程更加具有针对性和有效性，还应采取多种方式引导学生进行个性化学习，如设计一些情景演示、多媒体教学、讨论小组等进行实践教学，使他们在实践中得到知识和技能，进而提高他们运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
1、高等数学课程性质和作用
高等数学专业主干课程，具有非常重要的理论基础和应用价值，是培养应用数学人才的重要途径之一。
高等数学是大学课程体系中重要的基础课，具有重要而特殊的地位。
高等数学课程体系由高等数学课程和高等数学专业主干课程组成。
课程体系的主要内容是对数学理论及数学模型进行分析方法和技术的训练。
高数培养具有坚实的数学理论基础、熟练的数学应用能力和一定的科学研究能力及开拓创新精神的高等数学专业人才。
高等数学课程体系中开设有：概率论与数理统计、线性代数、概率论与数理统计、高等微分方程、应用数学基础（高等数学）等课程以及高等数学基础课（一般为一年级）等组成课程分支。
高等数学专业主干课程相衔接。
高等数学课程涵盖基础数学和专业数学两大领域。
高等数学是数学系专业选修科目中最为重要，同时也是重要考研和出国学科背景的必修课之一；高等数学是专业基础知识中比较重要且系统学习内容；高数课程可作为一门通识课程直接开设；本门课程是一门选修课程；本课可作为通识课程与其他各门课程结合进行学习；本课是一门专业选修课。
2、课程内容的安排
课程安排在《高等数学》系列课程（高数一）后。
为了使同学们对课程内容能够比较系统地掌握其基本理论知识，同时能够熟练地进行综合运用，在学习过程中根据学生情况，开设有专题课。
本课程包括三个阶段的内容：第一阶段是通识教育阶段（从概率论、数理统计到线性代数);第二阶段是专业基础阶段（从数理统计到概率论代数);第三阶段是专业综合课程（从线性代数到交叉统计）。
其中第一阶段分为“概率论”和“线性代数”两部分组成。
第一阶段内容中包含了：概率论和数理统计两个部分。
概率论主要是研究线性代数、矩阵代数以及函数概念与性质之间互斥不变量之间的关系；同时也涉及到矩阵分解、向量分解及微分几何中所涉及到的一些概念和性质；向量分解是应用数学理论来研究微分几何中有关向量和函数概念之间关系的一种算法；微分几何是应用数学理论来研究函数性质和微分几何中有关函数关系的一种算法；微分几何是研究函数概念和性质之间关系的学科；向量分解可称为线性代数中应用范围最广、内容最丰富、难度最大的数学问题之一。
这三个理论部分相互交织形成一个有机整体。
该部分内容贯穿在高等数学整个学习过程中。
学生对其有较强兴趣且较为全面地掌握了该知识内涵要求！
3、课程内容的安排（略）
《高等数学》是研究平面几何和空间几何，并以此为基础进行抽象、综合、演绎、定理等数学理论与方法的一门课程。
课程主要内容有：代数几何分析、代数方程和集合理论、空间几何学（包括数组）、立体几何与解析几何等、概率论及数理统计。
高等数学课程是一门以数学和计算机科学知识为基础的高等数学专业基础课程，以培养学生数学基础知识技能为目标。
高数作为一门实用科学而受到人们的普遍重视。
随着科学技术与经济社会的飞速发展，其应用范围和容量都在不断扩大。
在国家综合实力进一步增强的背景下，我国高等数学学科面临着新的机遇与挑战：数学应用向宽广度发展；数学知识向系统化发展；数学工具向自动化发展；数学方法向实用化发
展；理论思想向实践化发展；现代科技与经济社会需要更广泛地运用数学知识。
而对于高校里本科生来说尤其是数学专业方向的本科生来说需要进一步学习并掌握高等数学在一些领域（如空间与复杂系统、金融经济等）更好地运用。
4、教学目标与进度
◆本学期教学目标为：①通过本学期的教学可以使学生掌握高等数学的基本理论、基本概念如表1所示。
②了解高数在世界各国的研究状况，通过对高数教学大纲的了解，在世界各国高数中的应用。
③了解我国现代高数发展及我国高数的基本研究成果并有实际应用。
④了解不同学科对本知识点学习要求存在差异的原因以及在课堂上应采取的策略。
⑤了解我国高数教材编写的特点及其在全国范围内高数师资队伍中的作用。
⑥了解中国传统文化对高数课程本身的影响和对高数课程在本教材中所起到的作用。
⑦了解我国高等数学基础课程培养方案（2014年修订版）内
容和知识体系。
5、教学手段的运用与优化，以及教师在课堂中的主导作用
现代教学技术的发展使教学手段不断更新，特别是多媒体、网络视频等新媒体技术已逐渐被教师和学生所接受。
多媒体教学不仅能调动学生积极性、主动性、创造性，提高课堂的学习效率，还能激发学生学习兴趣，增强学生对知识的理解与掌握。
另外，教师可以利用网络视频教学平台为学生创设情境并提出问题，从而调动学生学习的积极性和主动性。
网络视频具有较高的互动性，这也是高数课堂教学中运用得比较多的技术，如网络会议形式、教师评价系统、同学评价系统等。
同时利用电脑制作成适合于不同专业和不同层次学生使用的教材。
为了提高高数课堂教学效果，教师应努力将自己作为一个学习者去培养、开发并利用各种资源和方法对学有余力的一些“弱势”知识进行拓展与巩固。
通过多个项目（如小组合作等）解决某个具体问题。
使他们在实践中得到知识和技能，从而提高课堂教学质量。
6、结束语
因此，我们要将数学思想和方法渗透到理论知识体系中，充分发挥数学知识的实际作用、综合运用，这样才能培养出适应社会需要的复合型人才。
综上所述，随着数学教育理念和课程改革的不断深入，未来的高等数学一定会越来越具有实用性和通用性。
数学的教学一定要在内容安排上遵循因材施教的原则，既要关注那些接受能力强的中学生，又要重视那些没有接受能力的中学生。
随着信息时代和计算机技术的飞速发展，各种新型教育模式应运而生，它们在一定程度上满足了新时代对于新型人才的要求，但与此同时，新型教育模式也对数学教师提出了新要求与挑战。
因此我们要做好新型数学教育模式下高等数学专业人才培养质量的研究与探索，从而提高我国高数教育科学化水平与核心竞争力。
