第8章 多元函数微分法及其应用 第三节

第八章 多元函数微分法及其应用（讲授法 18学时）

上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加

速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不

够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开

时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。

多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学

有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们

的不同之处。

一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2、了解二元 函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件

和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，

会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

二、教学内容及学时分配：

第一节 多元函数的基本概念 2课时

第二节 偏导数 2学时 第三节 全微分 2学时

第四节 多元复合函数的求导法则 2学时

第五节 隐函数的求导公式 2学时

第六节 多元函数微分学的几何应用 2学时

第七节 方向导数与梯度 2学时 第八节 多元函数的极值及其求法 2学时

第八章 多元函数微分法及其应用 第三讲

第三讲 全微分

授课题目：

§8.3 全微分

教学目的与要求：

1、深刻理解全微分的概念．

2、了解全微分存在的必要条件和充分条件．

教学重点与难点：

重点：全微分的概念

难点：函数可微分的条件的证明．

讲授内容：

一、全微分的定义

回顾一元函数的微分的概念．

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)称为函数对x的偏增量 f x(x y)x称为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

f(x yy)f(x y)称为函数)对y的偏增量 f y(x y)y称为函数对y的偏微分

全增量 z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂 我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)

可表示为

) )()(( )(22yxoyBxAz

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz

即

dzAxBy 第八章 多元函数微分法及其应用 第三讲

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续的关系：可微必连续．

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

1. 函数 1

2. 函数 f ( x, y)   x 2  y 2 , x 2  y 2  0

 第八章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 作 业

一、填空题：

1. 函数z  ln(1  x 2 )  y  x 2  3 x  y  1的定义域为

2. 函数f ( x, y, z)  arccos z

x 2  y 2 的定义域为

3. 设f ( x, y)  x 2  y 2 , ( x)  cos x, ( x)  sin x, 则f [ ( x), ( x)]  .

4. lim sin xy

x0 x ya  .

二、选择题（单选）：

sin x sin y 的所有间断点是:

(A) x=y=2nπ（n=1,2,3,…）；

(B) x=y=nπ(n=1,2,3,…)；

(C) x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；

(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ）

 sin 2( x 2  y 2 

2 , x 2  y 2  0

在点（0，0）处：

（A）无定义； （B）无极限； （C）有极限但不连续； （D）连续。

答：（ ）

三、求 lim 2  xy  4

x0 xy ya .

四、证明极限 lim x 2 y 2

x0 x 2 y 2  ( x  y) 2 y0

不存在。

71 / 13  xy sin( x 2 y), xy  0 1. 设f ( x, y)   , 则f (0,1)  x 2 , xy  0

, 则f ( x,1)  x

：

1. 设z  ln tan , 求 , . 2. 设z  arctan , 求 .

1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最 大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最 大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证

点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。