【人教A版】高中数学必修1同步教学案必修1 第一章《集合间的基本关系》

§1.1.2 集合间的基本关系一、教学目标（1）理解集合间的包含与相等的含义。

（2）会用适当的方法表示集合间的基本关系。

（3）学习类比方法，渗透分类思想，提高数学思维能力。

二、教学重点与难点重点：理解子集、真子集、空集等概念；理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系。

难点：集合间包含关系的正确表示三、基础知识梳理（1）Venn图的概念用平面___________________的内部代表集合，这种图称为Venn图。

（2）空集的概念_____________________ 的集合叫做空集，记作______________________ 、四、例题分析例1 写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例2 已知集合M满足{1，2}⊆MØ{1,2,3,4,5},写出集合M例3 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,2y},且A=B,求x，y 的值五自我测评1.若A⊆B,A⊆C，且B={0,1,2,3},C={0,2,4,5}，则满足上述条件的集合可以是（ ）(A){0,1} (B) {0,3}(C){2,4} (D) {0,2}2.若集合M={x|x ≤ ）(A){a}ØM (B) a ØM(C){a}∈M (D) a ∉M3.设A={x|-1<x<0},B={x|x <2 或 x >3}, 则（ ）（A ）A ∈B (B) B ∈ A(C) A ØB (D) B ØA4.集合{ａ，ｂ }的子集有（ ）（Ａ）１个 （Ｂ）２个（Ｃ）３个 （Ｄ）４个５.已知Ａ＝｛菱形 ｝，Ｂ＝｛ 正方形 ｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，则Ａ、Ｂ、Ｃ 之间的关系是________________。

6．下列六种关系中正确的是__________________.①{}a a ⊆②{}a ∅Ø}{}.{},,{}{a a b a a ⊂∈④③}.,{},,{b a a b a ∈∈∅⑥⑤7．满足条件{}{}11,2,3,4B ⊆Ø的集合B 有___________个8．已知，且p=Q ，},,{},1,,{2x xy x Q y x P ==求ｘ，y 的值．六、能力提升９.数集}ln 12{z n X ∈+=与数集k k Y |14{±=}z ∈之间的关系是( )．()()C∉()(X=)A X YB X Y∈ØYXDY10.已知非空集合P满足：}5,4,3,2,1{⊆①②若,PP-∈，a∈则(6)a P符合上述条件的P的个数是( )．(A)4 (B)5 (C)7 (D)3111已知集合},xxx(|)(1x{2R3+=+-B∈=xx{2Rx|3,04)4x=},0x-+A∈=又A P BØ求：满足条件的集合P．⊆。

课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念⊆若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

1．1.2 集合间的基本关系[学习目标] 1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)一、子集与真子集1．子集与真子集B(2．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．二、集合的相等1．条件：A⊆B，且B⊆A.2．表示：A＝B.3．Venn图：三、空集1．定义：不含任何元素的集合，叫做空集．2．符号表示为：∅．3．规定：空集是任何集合的子集．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){0}＝∅.( )(2)正整数集是自然数集的子集．( )(3)空集是任何集合的真子集．( )【解析】集合{0}是以0为元素的集合，是非空集，故(1)错．(2)∵对任意x∈N＋，都有x∈N，∴N＋⊆N，故(2)正确．(3)∵空集不是空集的真子集，∴(3)错．【答案】(1)×(2)√(3)×2．集合{1，2}的子集有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】集合{1，2}的子集有∅，{1}，{2}、{1，2}共4个．【答案】 A3．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是________．【解析】∵{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，∴1∈{x|x2－1＝0}，又∵－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}，∴{1}{x|x2－1＝0}．【答案】{1}{x|x2－1＝0}4．若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，则a＋b＝________．【解析】∵A＝B，∴集合A，B中的元素相同，故a＝3，b＝1，则a＋b＝4. 【答案】 4预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中) A．P T B．P TC．P＝T D．P T(2)(2014·济南高一检测)已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|0＜x ＜1}则( ) A ．A ＞B B ．A BC ．BA D ．A ⊆B(3)满足{x|x 2＋1＝0}A ⊆{x|x 2－1＝0}的集合A 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)由x 2－1＝0，得x ＝±1，∴P ＝{－1，1}，因此P T ，故选A.(2)∵A＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|0＜x ＜1}， ∴对任意x∈B，都有x∈A， 又∵0∈A.而0∉B ， ∴BA.(3){x|x 2＋1＝0}＝∅，{x|x 2－1＝0}＝{－1，1}，故集合A 是集合{－1，1}的非空子集，所以A 的个数为22－1＝3，故选C.【答案】 (1)A (2)C (3)C1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集，∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n；真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.【思路探究】 可据集合相等的定义，结合集合中元素的互异性，分类讨论，列出方程组求解．【解】 由集合相等的定义和集合中元素的互异性得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.1．解答此类题目的基本方法为：利用集合中元素的特征性质列出方程组求解，求出解后注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．2．根据集合相等的定义，要证明A ＝B ，应分两步，第一步证明A ⊆B ，转化为证明对任意x∈A 都有x∈B；第二步证明B ⊆A ，转化为证明对任意x∈B 都有x∈A，因此，集合与集合之间的包含关系转化为元素与集合之间的从属关系，这就是“元素分析法”．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2014＋b 2015的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【解析】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，又a≠0，∴ba ＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1. 又a≠1，∴a ＝－1， ∴a2014＋b2015＝(－1)2014＋02015＝1.【答案】 B(2)已知集合A ＝{x|x<－1，或x>4}，B ＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．【思路探究】 (1)由B ⊆A 知集合B 的元素都是集合A 的元素，从而求出m 的值． (2)以集合B 是否为空集为标准分类求解． 【解析】 (1)由于B ⊆A ，则有m 2＝4， 解得m ＝±2.(2)当B ＝∅时，只需2a>a ＋3，即a>3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，a ＋3<－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a，2a>4，解得a<－4，或2<a≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a|a<－4，或a>2}． 【答案】 (1)±2 (2){a|a<－4，或a>2}．1．利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．2．涉及到“A ⊆B ”或“A B 且B≠∅”的问题，一定要分A ＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．把例3(2)中的集合A 换成“A＝{x|－1<x<2}”，集合B 不变，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|2a≤x≤a＋3}． 若A ⊆B ，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤－1，a ＋3>2，或⎩⎪⎨⎪⎧2a<－1，a ＋3≥2， ∴实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－1≤a≤－12. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－1≤a≤－121．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．处理集合间的关系时要注意以下三点：(1)A⊆B且B≠∅隐含着A＝B和A B两种关系．(2)注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．(3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合关系问题中的应用．忽视空集求参数范围致误已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________【易错分析】 解答本题易忽视以下两种情况：一是B ＝A ，二是B ＝∅.【防范措施】 在求解集合关系问题时应特别注意以下两种情况：一是任何一个集合是它本身的子集，二是空集是任何集合的子集．【解析】 A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R}＝{0，－4}， 因为B ⊆A ，所以B ＝A 或B A.当B ＝A 时，B ＝{－4，0}，即－4，0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入得a ＝1，此时满足条件，即a ＝1符合题意．当BA 时，分两种情况：若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1. 若B≠∅，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}，符合题意．综上所述，所求实数a 的取值范围是{a|a≤－1或a ＝1}． 【答案】 {a|a≤－1或a ＝1}——[类题尝试]—————————————————已知集合P ＝{x|x 2＝1}，集合Q ＝{x|ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________． 【解析】 由题意得P ＝{－1，1}， 又因为Q ⊆P ，若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0，±1.【答案】 0，±1。

24 424
集合A中，故 ⫋ .

2
1
4
方法2 （特征法） 集合A中的元素为 = + =

4
1
2
= + =
+2
4
2+1
(
4
∈ Z),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
例12 ［多选题］已知集合 = {1，2，3}， = {| ⊆ },则下列结论正确的是
例3-5 (2024·福建省福州超德中学段考)若集合 = {−1，1}， = {| = 2}，且
⊆ ，则实数的值是 ( D
A.−2
B.2
)
C.2或−2
D.2或−2或0
【解析】当 = ⌀ 时（【明易错】在遇到 ⊆ 的情况时，一定要讨论B是否为⌀ ，
为⌀ 的情况易被忽视）， = 0，符合题意，
33 + 73 + 08，153，370}，
所以真子集个数为23 − 1 = 7．
例15 (2024·福建省厦门十中段考)已知集合 = {1,3,5}，则集合的所有非空子集的
36
元素之和为____.
【解析】集合的非空子集分别是：{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.
当 = {−1}时， = −2,
当 = {1}时， = 2.
知识点4 有限集合的子集、真子集的个数
例4-6 (2024·广东省惠州市期中)若集合满足 ⫋ {1，2}，则满足题意的的个数为
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，