陕西省高中数学第二章解析几何初步2.1.1椭圆及其标准方程教案2北师大版

得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．

焦点是 F1 (-c，0)、F2(c，0)，
标准方程是
y
焦点是
F2 M
F1 (0，-c)、F2(0，c)， O
x
F1
标准方程是
新知应用
新知应用
（1）两个焦点的坐标分别为 (4,0), (4,0) ，椭圆上一点P到 两焦点距离的和等于10
解： ∵两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），
∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=4，
的垂直平分线为 y 轴，建立如图的直角坐标系 .
设
则
M（x，y）为椭圆上的任意一点，
又设M与F1 、F2的距离和等于2a
y
M
F1 O F2 x
探究二：椭圆的标准方程
探究二：椭圆的标准方程
a ba cc
探究二：椭圆的标准方程
如果以F1 、F2 所在直线为 y轴，线段 F1 F2的垂直平分线为 x 轴，建立直角坐标系。椭圆的标准方程是怎样的？
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数记为2a （大于|F1F2|）的点M的轨迹叫做椭圆
这两个定点叫做 椭圆的焦点 两焦点的距离叫做 椭圆的焦距
记为2c
探究一：椭圆的定义
疑点探究： 问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
新课引入：太阳系中的行星
新课引入：生活中美丽的椭圆
探究一：椭圆的定义
实验探究： 把细绳的两端分开固定在竹签两个定点
F1、F2上，在稍硬的纸上用铅笔作图。作图 过程中，保持细绳是拉紧状态，缓缓移动 铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
探究一：椭圆的定义
探究一：椭圆的定义

椭圆及其标准方程（第一课时）袁红一、教学目标知识技能：掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程过程方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力情感态度和价值观：通过参与课堂活动，激发学生学习数学的兴趣，经历将几何关系转化成代数关系的过程，感受“数”与“形”的内在联系，体会数形结合的方法。

二、教学重点，难点重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。

难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学手段利用多媒体课件教学，化抽象为具体，降底学生学习难度，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。

四、课前准备每人准备一根细绳五、教学过程教学流程设计：认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→椭圆方程知识运用→本课小结→作业布置教学环节教学程序（师生双边活动）设计意图认识椭圆播放：嫦娥三号登陆月球全程动画模拟图片展示：椭圆就在我们身边。

（1）、播放视频，激发学生学习的兴趣和爱国热情。

使学生了解数学来源于实际。

（2）、展示图片，使学生更好的掌握椭圆形状，更直观、形象地了解后面要学的内容；画椭圆1、画一画 (画椭圆)：(1)、请学生拿出课前准备的细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆。

(2)、课件动态演示椭圆的形成过程：接着指出：这就是我们要学习的一类新的封闭曲线——椭圆。

（1）、通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性（2）、多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象。

定义椭圆2、议一议（椭圆的定义及有关概念）（1）、由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义。

定义：在平面内，到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>∣F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记∣F1F2 |=2c.（2）、椭圆定义的再认识。

问题：为什么要满足2a>2c呢？（1）当2a=2c时，轨迹是什么？（2）当2a<2c时，轨迹又是什么？结论：（1）、当2a>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在。

2.1.2 椭圆的简单性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y 216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？答案对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0，4)与(0，－4)；令y ＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5，0)与(－5，0).同理得C2与y轴的交点为(0，5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4，0)与(－4，0).思考2 椭圆具有对称性吗？答案有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形.思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？答案C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.梳理标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(±a，0)，(0，±b)(0，±a)，(±b，0) 轴长轴长2a，短轴长2b知识点二 椭圆的离心率思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？ 答案 如图所示，在Rt△BF 2O 中，cos∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆.梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e 表示.(2)性质：离心率e 的取值范围是(0，1)，当e 越接近1，椭圆越扁，当e 越接近0，椭圆就越接近圆.类型一 椭圆的简单性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4，0)，A 2(4，0)，B 1(0，－3)和B 2(0，3). 引申探究已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0).四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，(0，－2)，(0，2).离心率e ＝c a ＝53. 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4，23， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3). (2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2，0)，B 2(2，0).类型二 求椭圆的离心率命题角度1 与焦点三角形有关的离心率问题例2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率.解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形. 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解.跟踪训练2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________. 答案3－1解析 方法一 如图， ∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ，∵|NF 2|＝c ， ∴|NF 1|＝|F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ，则由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中 ，∠NF 1F 2＝30°， ∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°， 则由离心率的三角形式，可得e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||NF 1|＋|NF 2|＝sin ∠F 1NF 2sin ∠NF 1F 2＋sin ∠NF 2F 1 ＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32 ＝3－1.命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 答案33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a).∴1BF k ＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×－323＝－2±423，∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 答案 [22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以c 2≥a 2－c 2，所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1). 反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.跟踪训练 3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 答案 35解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去).类型三 利用椭圆的简单性质求方程 例4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知a ＝10，a －c ＝10－5， 则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练4 椭圆过点(3，0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 解 ∵椭圆过点(3，0)，∴点(3，0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3，0)为右顶点，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3，0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( ) A.(±13，0) B.(0，±10) C.(0，±13) D.(0，±69)答案 D解析 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69).2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为( )A.15 B.25 C.55D.255答案 D解析 ∵x －2y ＋2＝0，∴y ＝12x ＋1，而b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，c a ＝255. 3.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B.x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析 由已知c ＝5，b ＝1，故椭圆的方程为y 26＋x 2＝1.4.已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________. 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的取值范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23].5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∵e ＝c a ＝4a ＝13，∴a ＝12，从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.40分钟课时作业一、选择题1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25 D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 2＋y 24＝1在扁圆程度上( ) A.C 1较扁 B.C 2较扁C.C 1与C 2的扁圆程度一样D.不能确定 答案 B解析 ∵C 1的离心率e 1＝45，C 2的离心率e 2＝32，且e 1<e 2，∴C 2较扁.3.椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 24＋y 2＝2B.x 2＋y 24＝1C.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 D.4x 2＋y 2＝1 答案 C解析 由题意知2b ＝2，且a 2＋b 2＝5，得a ＝2且b ＝1，由于椭圆焦点所在的位置不定，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1.4.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 B解析 如图，|OF 1|＝c ，|OB |＝b ， 则|BF 1|＝a ，设原点到l 的距离为d ，则ad ＝bc ， ∴d ＝bc a，又d ＝14×2b ，则bc a ＝12b ，∴e ＝c a ＝12.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A 解析 由e ＝33得c a ＝33.①∵△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义， 得4a ＝43，得a ＝ 3.代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.6.在△ABC 中，|AB |＝|BC |，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e 等于( )A.34B.37C.38D.318答案 C解析 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2， ∴|AC |＝53x ， 由条件知，|AC |＋|BC |＝2a ，|AB |＝2c ，∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. 7.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a 答案 D解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，|F 1P 50|＝a ，50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .二、填空题8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围是________. 答案 (2，4]解析 ∵e ＝1－b 2a 2＝ 1－1a 2， ∴0< 1－1a 2≤32，得1<a ≤2，∴2<2a ≤4.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________.答案 5－12解析 ∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∴∠BAO ＝∠FBO ，∴tan ∠BAO ＝tan ∠FBO ，即b a ＝c b ，得b 2＝ac ，∴a 2－c 2＝ac ，即e 2＋e －1＝0，∵0<e <1，∴e ＝5－12. 10.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________.答案 6 解析 由题意，得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204). 因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时， OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6. 三、解答题11.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，若椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质.解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④离心率e ＝35. 12.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程. 解 如图，∵AF 2→·F 1F 2→＝0，∴AF 2⊥F 1F 2.∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴b 2＝12a 2. 设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ， ∴A (c ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y ＝b 2a. ∵△AOF 2的面积为22，∴2AOF S △＝12cy ＝2 2. 即12c ·b 2a＝2 2. ∵c a ＝22，∴b 2＝8， ∴a 2＝2b 2＝16，16813.设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2→＝2F2B→，AF1→·AB→＝32，求椭圆的方程.解(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0).其中c＝a2－b2，设B(x，y).由AF2→＝2F2B→⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B(3c2，－b2).将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2. ①又由AF1→·AB→＝(－c，－b)·(3c2，－3b2)＝32⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1. ②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.32。