镇江市2017届高三一模数学答案及评分标准

2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f （x ）=（x +l ）lnx ﹣ax +a （a 为正实数，且为常数） （1）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式（x ﹣1）f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．20．己知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，设数列{b n }满足b n =（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值．四.选做题本题包括A ，B ，C ，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ．求∠DAC 的度数与线段AE 的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M 对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M={6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m （x ）在[1，+∞）递增，m （x ）≥m （1）=0， 故a ≤0，而a 为正实数，故a ≤0不合题意； ②0＜x ＜1时，只需a ≥（x +1）lnx ， 令n （x ）=（x +1）lnx ，（0＜x ＜1），则n′（x ）=lnx ++1，由（1）n′（x ）在（0，1）递减， 故n′（x ）＞n （1）=2，故n （x ）在（0，1）递增，故n （x ）＜n （1）=0， 故a ≥0，而a 为正实数，故a ＞0．20．己知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，设数列{b n }满足b n =（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，化为： =2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n ﹣1．数列{b n }满足b n =，可得b 1，b 2，b 3，利用数列{b n }是等差数列即可得出t ．（3）根据（2）的结果分情况讨论t 的值，化简8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m ，即可得出a 1． 【解答】（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，∴=a n +1，即=2，∴数列{}是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n•4n ﹣1．∵b n =，∴b 1=，b 2=，b 3=，∵数列{b n }是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t 2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n }是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n ==，S n =，∵对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，∴×﹣a 14n 2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n ==，S n =，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，∴×﹣a 14n 2=16×，∴n =4m ，∴a 1=．∵a 1为正整数，∴=k ，k ∈N *．∴满足条件的所有整数a 1的值为{a 1|a 1=2，n ∈N *，m ∈N *，且=k ，k ∈N *}．四.选做题本题包括A ，B ，C ，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ．求∠DAC 的度数与线段AE 的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．（2）a2k﹣1∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．。

5 20功和功率Ⅱ25功能关系Ⅱ
6 34万有引力定律及其应用Ⅱ32向心力Ⅱ
多
7 42电场线 电势能 等势面Ⅰ 43电场强度Ⅱ44电势差Ⅱ
选 题
8
60洛伦兹力Ⅱ29圆周运动 线速度 角速度Ⅰ50电源电动势与内 阻Ⅰ53闭合电路欧姆定律Ⅱ 40带电粒子在复合场中的运动Ⅱ
9
15牛顿第二定律及其应用Ⅱ30向心加速度Ⅰ32向心力Ⅱ 35曲线运动Ⅰ
较难题
题号
1 2 6 7 10 12-A 12-C 13 3 4 8 11 14 5 9 15
常见模型生活化 1
2飞镖 3水壶 4钳形电流测量仪
试 8自行车速度计
14抽夹纸
卷
3 实验选修基础化
针对主干知识，没有在冷 僻的地方下手，考的都是 学生平时重点复习的地方。
特点
似曾相识有变化 2
5计阻力竖直上抛
9弹簧挂小球回摆
15 “轨迹圆”动起来
4 知识覆盖合理化
一、苏南一模试卷分析
针对主干知识，没有在冷 僻的地方下手，考的都是 学生平时重点复习的地方。
特点
似曾相识有变化 2
5计阻力竖直上抛
9弹簧挂小球回摆
15 “轨迹圆”动起来
4 知识覆盖合理化
苏南一模的考点总数和种类数 均比高考卷多，体现了模考的 主要意义是帮助学生查漏补缺、 复习高考考试内容。
主要内容
苏南一模试卷分析 本校一模得失总结 二轮复习安排交流
题型小计 总分值 总得分率
61 71.6%
36 63.6% 23 25.7%
二、本校一模得失总结
优 势 ① B等级所达比例超过去年同期水平；
② 平均分在同类学校中略占优势； ③ 平时训练较多的常规题得分率比较高。

2017届高三数学一模试卷（常州市有答案和解释）2017年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大�}共14小败，每小�}5分，共70分.不需要写出解答过程 1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= ． 2．若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= ． 3．函数f（x）= 的定义域为． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为． 7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的�Ｂ饰�． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线� =l的右焦点，则双曲线的离心率为． 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为． 10．在平面直角坐标系xOy 中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A 点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且• =1，则实数λ的值为． 12．已知sinα=3sin（α+ ），则tan（α+ ）= ． 13．若函数f（x）= ，则函数y=|f（x）|�的零点个数为． 14．若正数x，y满足15x�y=22，则x3+y3�x2�y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A�B= （1）求边c的长；（2）求角B的大小． 16．如图，在斜三梭柱ABC�A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，�）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值． 19．己知函数f（x）=（x+l）lnx�ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，求a 的取值范围． 20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，设数列{bn}满足bn= （1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲] 21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长． [选修4-2：矩阵与变换] 22．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（�1，2）变换成（�2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M 的另一个特征值． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分 25．如图，已知正四棱锥P�ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = ．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N�PC�B的余弦值． 26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn （1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（�1） tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省常州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大�}共14小败，每小�}5分，共70分.不需要写出解答过程 1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}， M={x|x2�6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}．故答案为：{6，7}． 2．若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= ．故答案为：． 3．函数f（x）= 的定义域为{x|x＞且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24 【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24． 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45�20�10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是= ∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P�ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P�ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= ．在直角三角形POA 中，PO= = =1．所以VP�ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= ．故答案为：． 7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的�Ｂ饰�．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的�Ｂ剩�【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的�Ｂ�p= ．故答案为：． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线� =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线� =l的右焦点为（2，0），即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2．故答案为：2． 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =（a1q）（q3）2=8× =2．故答案为：2． 10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为x�y�1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my�4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=�2y2，y1+y2=�，y1y2=�联立解得m=1，∴直线l的方程为x�y�1=0，故答案为：x�y�1=0． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且• =1，则实数λ的值为�或1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足 = + ，∴ � =λ，∴ =λ；又 = � =（ +λ）� = +（λ�1），∴ • =λ •[ +（λ�1） ] =λ• +λ（λ�1） =λ×2×1×cos60°+λ（λ�1）×22=1，整理得4λ2�3λ�1=0，解得λ=�或λ=1，∴实数λ的值为�或1．故答案为：�或1． 12．已知sinα=3sin （α+ ），则tan（α+ ）= 2 �4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan（α+ ）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+ ）=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= ．又tan =tan（�）= = =2�，∴tan（α+ ）= = = =� =2 �4，故答案为：2 �4． 13．若函数f（x）= ，则函数y=|f（x）|�的零点个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g （x）=lnx�，x≥1时函数是连续函数， g（1）=�＜0，g（2）=ln2� =ln ＞0， g（4）=ln4�2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx�，有2个零点．（结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|�的零点个数为：4个．故答案为：4． 14．若正数x，y满足15x�y=22，则x3+y3�x2�y2的最小值为 1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2），求出y3�y2≥�y，当且仅当y= 时取得等号，设f（x）=x3�x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x�y=22，可得y=15x�22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2），其中y3�y2+ y=y（y2�y+ ）=y（y�）2≥0，即y3�y2≥�y，当且仅当y= 时取得等号，设f（x）=x3�x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2�2x=x（3x�2），当x= 时，f（x）的导数为×（�2）= ，可得f（x）在x= 处的切线方程为y= x�．由x3�x2≥ x�⇔（x�）2（x+2）≥0，当x= 时，取得等号．则x3+y3�x2�y2=（x3�x2）+（y3�y2）≥ x��y≥ � =1．当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A�B= （1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2�b2=6c，b2+c2�a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2�b2=8．由正弦定理可得： = = ，又A�B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin ．代入可得�16sin2B= ，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2�b2=6c，b2+c2�a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2�b2=8．由正弦定理可得： = = ，又A�B= ，∴A=B+ ，C=π�（A+B）= ，可得sinC=sin ．∴a= ，b= ．∴�16sin2B= ，∴1��（1�cos2B）= ，即cos2B�= ，∴�2 �T ，∴ =0或 =1，B∈ ．解得：B= ． 16．如图，在斜三梭柱ABC�A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1 （1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C 是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E 是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥B C． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S= ，∴a= �，∴l= � + （0＜α＜）；（2）l′=h ，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴ 时，l取得最小值 m． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，�）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2�c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x�）�，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆 + =l （a ＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2�c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x�）�，则，整理得：（2k2+1）x2�（4 k2+4 k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k（x1+x2）�2 k�2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k（x1�）�]x2+[k（x2�）�]x1=2kx1x2�（ k+ ）（x1+x2）=�， kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1． 19．己知函数f（x）=（x+l）lnx�ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x ＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x�1）[（x+1）lnx�a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx�ax+a，f′（x）=lnx+ +1�a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），g′（x）= ，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x�1）f（x）≥0恒成立，即（x�1）[（x+1）lnx�a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx+ +1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx+ +1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n （x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0． 20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，设数列{bn}满足bn= （1）求证：数列{ }为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，化为： =2× ，即可证明．（2）由（1）可得： = ，可得=n •4n�1．数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn�a14n2=16bm，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2�nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： = ，∴ =n •4n�1．∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，∴ × �a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：� = ＞0，无解，舍去．②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn�a14n2=16bm成立，∴ × �a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= ．∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲] 21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是． [选修4-2：矩阵与变换] 22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（�1，2）变换成（�2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（�1，2）换成（�2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ�6）（λ�4）�8=λ2�10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点（�1，2）换成（�2，4）．则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= ．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ�6）（λ�4）�8=λ2�10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2�2x�2y�2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（ + + ）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12 ∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号．∴ + + 的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分 25．如图，已知正四棱锥P�ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = ．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N�PC�B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O�xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N�PC�B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的实用精品文献资料分享交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O�xyz．则A（1，�1，0），B（1，1，0），C（�1，1，0），D（�1，�1，0），… 设P（0，0，p），则 =（�1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =（），=（），∴ =（�1，1，�）， =（0，，�），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ= = = ．θ=30°，∴异面直线MN与PC 所成角为30°．（2） =（�1，1，�）， =（1，1，�）， =（，�），设平面PBC的法向量 =（x，y，z），则，取z=1，得 =（0，，1），设平面PNC的法向量 =（a，b，c），则，取c=1，得 =（，2 ，1），设二面角N�PC�B的平面角为θ，则cosθ= = = ．∴二面角N�PC�B的余弦值为． 26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn （1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（�1） tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin = ，即可得出．（2）a2k�1+a2k=（�1） tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（1）an=sin tannθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0；当n=2k�1为奇函数时，an= •tannθ=（�1）k�1tannθ=（�1） tannθ．（2）a2k�1+a2k=（�1） tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为�tan2θ．∴S2n= = sin2θ•[1+（�1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。

2017年江苏省镇江市中考数学试卷一、填空题（每小题2分，共24分）1．（2分）3的倒数是．2．（2分）计算：a5÷a3=．3．（2分）分解因式：9﹣b2=．4．（2分）当x=时，分式x−52x+3的值为零．5．（2分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是．6．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于（结果保留π）．7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF=．8．（2分）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=．9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=°．10．（2分）若实数a满足|a﹣12|=32，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点．11．（2分）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为．12．（2分）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+19m2+2的值等于．二、选择题（每小题3分，共15分）13．（3分）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收，其中1100000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108B．1.1×109C．1.1×1010D．11×10814．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．15．（3分）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a16．（3分）根据下表中的信息解决问题：数据3738394041频数845a1若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个17．（3分）点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ：PB=1：n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1、S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3、S 4的两部分（如图），下列四个等式： ①S 1：S 3=1：n ②S 1：S 4=1：（2n +1） ③（S 1+S 4）：（S 2+S 3）=1：n④（S 3﹣S 1）：（S 2﹣S 4）=n ：（n +1） 其中成立的有（ ）A ．①②④B ．②③C ．②③④D ．③④三、解答题（本大题共11小题，满分81分） 18．（8分）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（√3﹣2）0（2）化简：x （x +1）﹣（x +1）（x ﹣2）19．（10分）（1）解方程组：{x −y =42x +y =5（2）解不等式：x3＞1﹣x−22．20．（6分）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图． （1）集训前小杰射击成绩的众数为 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．21．（6分）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A考查的概率是；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；（3）他们三人都参加实验A考查的概率是．22．（6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．23．（6分）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．25．（6分）如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数y=kx（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．（1）k=；（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=32，点P是反比例函数y=kx（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P 的坐标为（，）．26．（8分）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即DCAD=ADAC），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O 不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx （b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．28．（11分）【回顾】如图1，△ABC 中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC 的面积等于 ． 【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD （如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=√6+√24，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH （如图4），也推出sin75°=√6+√24，请你写出小明或小丽推出sin75°=√6+√24的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5） （1）点E 在AD 上，设t=BE +CE ，求t 2的最小值；（2）点F 在AB 上，将△BCF 沿CF 翻折，点B 落在AD 上的点G 处，点G 是AD 的中点吗？说明理由．2017年江苏省镇江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题2分，共24分） 1．（2分）（2017•镇江）3的倒数是 13． 【考点】17：倒数．【分析】根据倒数的定义可知．【解答】解：3的倒数是13．故答案为：13．【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（2分）（2017•镇江）计算：a 5÷a 3= a 2 ． 【考点】48：同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：a 5÷a 3=a 5﹣3=a 2． 故填a 2．【点评】本题考查同底数幂的除法法则．3．（2分）（2017•镇江）分解因式：9﹣b 2= （3+b ）（3﹣b ） ． 【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（3+b ）（3﹣b ）， 故答案为：（3+b ）（3﹣b ）【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．（2分）（2017•镇江）当x= 5 时，分式x−52x+3的值为零．【考点】63：分式的值为零的条件．【分析】根据分式值为零的条件可得x ﹣5=0且2x +3≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0， 解得：x=5， 故答案为：5．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．5．（2分）（2017•镇江）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是 23．【考点】X4：概率公式．【分析】让奇数的个数除以数的总数即可得出答案．【解答】解：图中共有6个相等的区域，含奇数的有1，1，3，3共4个，转盘停止时指针指向奇数的概率是46=23．故答案为：23．【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=mn ．6．（2分）（2017•镇江）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于 10π （结果保留π）． 【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧=πrl是解决问题的关键．7．（2分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF= 1.5．【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】由直角三角形的性质求出CD=3，中由三角形中位线定理得出EF的长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，∴CD=12AB=3，∵过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，∴EF是△ACD的中位线，∴EF=12CD=1.5；故答案为：1.5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是关键．8．（2分）（2017•镇江）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=4．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2﹣4ac=0，据此即可求得．【解答】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案是：4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（2分）（2017•镇江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=120°．【考点】MC：切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．【解答】解：∵AC与⊙O相切，∴∠BAC=90°，∵∠CAD=30°，∴∠OAD=60°，∴∠BOD=2∠BAD=120°，故答案为：120．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠BOD=2∠BAD是解此题的关键．10．（2分）（2017•镇江）若实数a 满足|a ﹣12|=32，则a 对应于图中数轴上的点可以是A 、B 、C 三点中的点 B ．【考点】29：实数与数轴．【分析】由|a ﹣12|=32，可求出a 值，对应数轴上的点即可得出结论．【解答】解：∵|a ﹣12|=32，∴a=﹣1或a=2． 故答案为：B ．【点评】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出a 值是解题的关键．11．（2分）（2017•镇江）如图，△ABC 中，AB=6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD′E′，点D 的对应点D′落在边BC 上．已知BE′=5，D′C=4，则BC 的长为 2+√34 ．【考点】R2：旋转的性质；JA ：平行线的性质．【分析】根据旋转可得BE=BE'=5，BD=BD'，进而得到BD=BC ﹣4，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到BD BA =BE BC ，即BC−46=5BC，即可得出BC 的长．【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'， ∵D'C=4，∴BD'=BC ﹣4，即BD=BC ﹣4， ∵DE ∥AC ，∴BD BA =BE BC ，即BC−46=5BC， 解得BC=2+√34（负值已舍去）， 即BC 的长为2+√34．故答案为：2+√34．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．12．（2分）（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+19m2+2的值等于9．【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+19 m2+2=3m﹣1+193m−1+2=3m﹣1+193m+1=9m2−1+19 3m+1=9m2+18 3m+1=9(3m−1)+183m+1=9(3m+1) 3m+1=9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．二、选择题（每小题3分，共15分）13．（3分）（2017•镇江）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收，其中1100000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108B．1.1×109C．1.1×1010D．11×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：1100000000用科学记数法表示应为1.1×109，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（3分）（2017•镇江）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据组合体的形状即可求出答案．【解答】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，故选（C）【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断，本题属于基础题型．15．（3分）（2017•镇江）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=﹣2 x ，∴反比例函数y=﹣2x的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴a＜b＜0，故选A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质．16．（3分）（2017•镇江）根据下表中的信息解决问题：数据3738394041频数845a1若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】W4：中位数；V7：频数（率）分布表．【分析】直接利用a=1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案．【解答】解：当a=1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是38；当a=2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38；当a=3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38；当a=4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38；当a=5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38；当a=6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5；故该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个．故选：C．【点评】此题主要考查了中位数以及频数分布表，正确把握中位数的定义是解题关键．17．（3分）（2017•镇江）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE 分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：①S1：S3=1：n②S1：S4=1：（2n+1）③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1）其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知S1S1+S2=（1n+1）2，S3=n2S1，S3 S3+S4=（nn+1）2，求出S2，S3，S4（用S1，n表示），即可解决问题．【解答】解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，∴S1S1+S2=（1n+1）2，S3=n2S1，S3S3+S4=（nn+1）2，整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1，∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确，∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确，∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错误， 故选B ．【点评】本题考查平行四边形的性质．相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本大题共11小题，满分81分）18．（8分）（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（√3﹣2）0 （2）化简：x （x +1）﹣（x +1）（x ﹣2）【考点】4B ：多项式乘多项式；2C ：实数的运算；4A ：单项式乘多项式；6E ：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零指数幂，可得答案． （2）原式去括号合并得到最简结果即可． 【解答】解：（1）原式=4+1﹣1=4；（2）原式=x 2+x ﹣x 2+x +2=2x +2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（10分）（2017•镇江）（1）解方程组：{x −y =42x +y =5（2）解不等式：x 3＞1﹣x−22．【考点】C6：解一元一次不等式；98：解二元一次方程组． 【分析】（1）用加减消元法求出方程组的解．（2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为1即可得解．【解答】解：（1）{x −y =4①2x +y =5②，①+②得：3x=9， x=3，代入①得：3﹣y=4， y=﹣1．则原方程组的解为{x=3y=−1．（2）去分母得，2x＞6﹣3（x﹣2），去括号得，2x＞6﹣3x+6，移项、合并得，5x＞12，系数化为1得，x＞12 5．【点评】此题主要考查了二元一次方程组合解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤和解方程组的方法上解题得关键．20．（6分）（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．（1）集训前小杰射击成绩的众数为8；（2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩；（3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W5：众数．【分析】（1）根据众数的定义可得；（2）根据加权平均数的定义可得答案；（3）由（2）中答案可得答案．【解答】解：（1）集训前小杰射击成绩的众数为为8环，故答案为：8；（2）小杰集训前射击的平均成绩为8×6+9×3+10×110=8.5（环），小杰集训后射击的平均成绩为8×3+9×5+10×210=8.9（环）；（3）由集训前后平均环数的变化可知，小杰这次集训后的命中环数明显增加． 【点评】本题主要考查众数和平均数及条形统计图，熟练掌握众数和平均数的定义是解题的关键．21．（6分）（2017•镇江）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A 和B 两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查．（1）小丽参加实验A 考查的概率是 12；（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验A 考查的概率是18． 【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】（1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验A 考查的概率是12； （2）画出树状图，结合树状图得出结论；（3）由每人选择实验A 考查的概率为12，利用概率公式即可求出三人都参加实验A 考查的概率．【解答】解：（1）小丽参加实验A 考查的概率是12．故答案为：12．（2）画树状图如图所示．∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A 考查有1种，∴小明、小丽都参加实验A 考查的概率为14．（3）他们三人都参加实验A 考查的概率是12×12×12=18．故答案为：18．【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解题的关键是：（1）根据可参加的实验考查的个数，求出小丽参加实验A考查的概率；（2）画出树状图；（3）套用概率公式求出三人都参加实验A考查的概率．22．（6分）（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE 于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【考点】L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．【解答】（1）证明：∵∠A=∠F，∴DE∥BC，∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，∴∠DMF=∠2，∴DB∥EC，则四边形BCED为平行四边形；（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN=∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=DE=2．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．23．（6分）（2017•镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m）参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．【解答】解：作AE⊥CD于E，∵AB=15m，∴DE=AB=15m，∵∠DAE=45°，∴AE=DE=15m，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE AE，则CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm，∴AB=CE+DE=11+15=26m．答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．24．（6分）（2017•镇江）如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm ．点D 在AC 上，AD=1cm ，点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿C→B→A→C 的路径匀速运动．两点同时出发，在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了2cm ，并沿B→C→A 的路径匀速运动；点Q 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D 点处再次相遇后停止运动，设点P 原来的速度为xcm/s ．（1）点Q 的速度为 43x cm/s （用含x 的代数式表示）． （2）求点P 原来的速度．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】（1）设点Q 的速度为ycm/s ，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AC=√AB 2+BC 2=√32+42=5，求得CD=5﹣1=4，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设点Q 的速度为ycm/s ，由题意得3÷x=4÷y ，∴y=43x ， 故答案为：43x ； （2）AC=√AB 2+BC 2=√32+42=5，CD=5﹣1=4，在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度为（x +2）cm/s ，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65（cm/s），答：点P原来的速度为65cm/s．【点评】本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．25．（6分）（2017•镇江）如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数y=kx（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．（1）k=3；（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=32，点P是反比例函数y=kx（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（32，92）．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入y=kx中可求出k的值；（2）先利用反比例函数的中心对称性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代入y=3x求出m得到B（3，1），通过确定直线AB的解析式得到D（4，0），接着利用对称性确定E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线BC的解析式为y=x﹣2，然后判断点E 是否直线BC 上；（3）直线AB 交y 轴于M ，直线BP 交y 轴于N ，如图2，先确定M （0，4），计算出BM=3√2，BE=√2，EF=12，再证明△BMN ∽△BEF ，通过相似比计算出MN=32，从而得到N （0，112），则利用待定系数法得到直线BN 的解析式为y=﹣32x +112，然后通过解方程组{y =3x y =−32x +112得P 点坐标． 【解答】解：（1）∵A （1，3）在反比例函数y=k x的图象上， ∴k=1×3=3；（2）点B 、E 、C 在同一条直线上．理由如下：∵直线OA 与反比例函数y=3x（k ≠0）的图象的另一支交于点C ， ∴点A 与点C 关于原点对称，∴C （﹣1，﹣3），∵B （m ，1）在反比例函数y=3x的图象上， ∴1×m=3，解得m=3，即B （3，1），把A （1，3）代入y=﹣x +b 得﹣1+b=3，解得b=4，∴直线AB 的解析式为y=﹣x +4，当y=0时，﹣x +4=0，解得x=4，则D （4，0），∵点E 与点D 关于直线x=3对称，∴E （2，0），设直线BC 的解析式为y=px +q ，把B （3，1），C （﹣1，﹣3）代入得{3p +q =1−p +q =−3，解得{p =1q =−2， ∴直线BC 的解析式为y=x ﹣2，当x=2时，y=x ﹣2=0，∴点E 在直线BC 上，即点B 、E 、C 在同一条直线上；（3）直线AB 交y 轴于M ，直线BP 交y 轴于N ，如图2，当x=0时，y=﹣x +4=4，则M （0，4），而B （3，1），E （2，0），F （32，0）， ∴BM=√32+(1−4)2=3√2，BE=√(3−2)2+12=√2，EF=2﹣32=12， ∵OM=OD=4，∴△OMD 为等腰直角三角形，∴∠OMD=∠ODM=45°，∵点E 与点D 关于直线x=3对称，∴∠BED=∠BDE=45°，∴∠BMN=∠BEF=135°，∵∠ABP=∠EBF ，∴△BMN ∽△BEF ，∴MN EF =BM BE ，即MN 12=3√2√2，解得MN=32， ∴N （0，112）， 设直线BN 的解析式为y=ax +n ，把B （3，1），N （0，112）代入得{3a +n =1n =112，解得{a =−32n =112， ∴直线BN 的解析式为y=﹣32x +112， 解方程组{y =3x y =−32x +112得{x =3y =1或{x =23y =92， ∴P 点坐标为（23，92）． 故答案为3，23，92．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．26．（8分）（2017•镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即DCAD=ADAC），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆；（2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；（3）先证明△CDB∽△CBA得到CB2=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到AD2=CD•AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF 为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形．【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；（2）BD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD•CA，∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2=CD•AC，∵AD=CB，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中{∠A=∠CBD AD=BC∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四边形CDEF为矩形，∴四边形DEFC是正方形．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆周角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分割的定义；会作线段的垂直平分线．27．（8分）（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC 分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于14；（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O 不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx （b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离；（2）令y=0得到x2+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=﹣b，然后列出OE•AE关于b 的函数关系式，利用配方法可求得b 的OE•AE 的最大值，以及此时b 的值，于是可得到抛物线的解析式；（3）过D 作DG ⊥MN ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t ，DG=FH=2，然后由点D 的坐标可得到点N 的坐标，最后将点N 的坐标代入抛物线的解析式可求得t 的值．【解答】解：（1）当t=12时，B （4，12）．将点B 的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴抛物线的解析式y=x 2﹣x ．∴y=（x ﹣12）2﹣14． ∴D （12，14）． ∴顶点D 与x 轴的距离为14． 故答案为：14． （2）将y=0代入抛物线的解析式得：x 2+bx=0，解得x=0或x=﹣b ，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b ）=4+b ．∴OE•AE=﹣b （4+b ）=﹣b 2﹣4b=﹣（b +2）2+4，∴OE•AE 的最大值为4，此时b 的值为﹣2，∴抛物线的表达式为y=x 2﹣2x ．（3）过D 作DG ⊥MN ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ．∵△DMN ≌△FOC ，∴MN=CO=t ，DG=FH=2．。