2014-2015年江西省吉安市高一上学期数学期末试卷和解析

2014-2015学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设M={x|x＜4}，N={x|x2＜4}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M⊆C R N D．N⊆C R M2．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x3．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）5．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a14=16，a4=2，则S11的值为（）A．15 B．33 C．55 D．996．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线l1：x+y=0，l2：kx﹣y+1=0，若l1到l2的夹角为60°，则k 的值是（）A．或0 B．或0 C．D．8．（5分）下列函数图象中不正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．4910．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣11．（5分）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a n=（n∈N*），b n=（n∈N*）．考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a n}为等比数列；④数列{b n}为等差数列．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于第象限．14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．15．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，归纳推理可得：（x））=．当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设=x，=y，记y=f（x），则f（1）=；函数f（x）的值域为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．18．（12分）设命题P：关于x的不等式：|x﹣4|+|x﹣3|≥a的解集是R，命题Q：函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求a 的取值范围．19．（12分）S n是等差数列{a n}的前n项和，a5=11，S5=35．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a an（a是实常数，且a＞0），求{b n}的前n项和T n．20．（12分）定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．22．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+3在x∈[2，+∞）上有解，求实数t的取值范围．2014-2015学年江西省吉安一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设M={x|x＜4}，N={x|x2＜4}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M⊆C R N D．N⊆C R M【解答】解：N={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，M={x|x＜4}，根据数轴易知N⊊M．故选：B．2．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故选：A．3．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）a＜（）b”，则根据指数函数的单调性的性质可知a＞b，当a，b由负值或等于0时，log2a＞log2b不成立．若log2a＞log2b，则a＞b＞0．此时“（）a＜（）b”成立．∴“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）【解答】解：设=（x，y），由两个向量的夹角公式得cos180°=﹣1==，∴x﹣2y=15 ①，∵=3②，由①②联立方程组并解得x=3，y=﹣6，即=（3，﹣6），故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a14=16，a4=2，则S11的值为（）A．15 B．33 C．55 D．99【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a14=16=2a8，可得a8=8，根据a8+a4=2a6，求出a6=5，故S11==11•a6=55，故选：C．6．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．7．（5分）已知直线l1：x+y=0，l2：kx﹣y+1=0，若l1到l2的夹角为60°，则k 的值是（）A．或0 B．或0 C．D．【解答】解：由已知方程可得直线l1和l2的斜率分别为，k，由夹角公式可得tan60°=，即=，解得k=或k=0故选：A．8．（5分）下列函数图象中不正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A，B两个函数图象分别为指数函数和对数函数图象，正确；选项C中函数解析式加了绝对值，即对数函数y=|log2x|与y=log2x图象0＜x＜1时的图象关于x轴对称，C正确；D为偶函数，图象错误．故选：D．9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．49【解答】解：根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75在74的基础上再乘以7，所以末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选：B．10．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．11．（5分）函数f（x）=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3][﹣，+∞）D．[﹣3，]【解答】解：求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，则a=设g（x）=，则g′（x）=令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，g（）=﹣∴g（x）的最大值为g（）=﹣，最小值为g（1）=﹣3∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3当f′（x）≥0时，a≥g（x）≥g（）=﹣∴a≤﹣3或a≥﹣故选：C．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a n=（n∈N*），b n=（n∈N*）．考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{a n}为等比数列；④数列{b n}为等差数列．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：（1）对于任意实数a，b∈R，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（0×0）=2f（0），f（0）=0，f（1×1）=2f（1），f（1）=0，故①f（0）=f（1）正确；（2）∵f[（﹣1）×（﹣1）]=﹣2f（﹣1），f（1）=﹣2f（﹣1）=0，f（﹣1）=0∴f（﹣x）=（﹣1）×f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故②不正确；（3）根据f（ab）=af（b）+bf（a），得到：f（2）=2f（22）=2•22，f（23）=3×23，f（24）=f（22×22）=4×24，归纳得：f（2n）=n×2n，（n∈N*）．∴a n==2n，∴==2=常数（n∈N*）．③数列{a n}为等比数列正确；∵b n===n，（n∈N*）．b n+1﹣b n=n+1﹣n=1=常数，（n∈N*）．∴④数列{b n}为等差数列正确；所以①③④正确，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于第Ⅲ象限．【解答】解：===对应点坐标（），在第Ⅲ象限．故答案为：Ⅲ14．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．15．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，归纳推理可得：（x））=．当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1【解答】解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n（x））=∴f n（x）=f（f n﹣1故答案为：16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设=x，=y，记y=f（x），则f（1）=1；函数f（x）的值域为[，4] ．【解答】解：如图，建立直角坐标系；设点P（a，b），则﹣2≤a≤﹣1；∴=（a+2，b），=（1，2）；=（﹣a，﹣b），=（﹣a，2﹣b）；又∵=x，∴，即，（其中0≤x≤1）；∴•=（﹣a，﹣b）•（﹣a，2﹣b）=a2﹣b（2﹣b）=（x﹣2）2﹣2x•（2﹣2x）=5x2﹣8x+4；即y=f（x）=5x2﹣8x+4，其中0≤x≤1；∴当x=1时，y=f（1）=5﹣8+4=1；当x=﹣=时，y取得最小值f（）=，当x=0时，y取得最大值f（0）=4；∴f（x）的值域是．故答案为：1，．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1∴函数f（x）的最小正周期为T==π，当2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），即﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）时，函数单调增．∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．（Ⅱ）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴0≤sin（2x﹣）+1≤+1，∴f（x）函数在区间[，]上的取值范围为[0，+1]．18．（12分）设命题P：关于x的不等式：|x﹣4|+|x﹣3|≥a的解集是R，命题Q：函数y=lg（ax2﹣2ax+1）的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求a 的取值范围．【解答】解：P真⇒a≤1Q真⇒ax2﹣2ax+1＞0恒成立（1）当a=0时，1＞0恒成立，∴（2）⇔0＜a＜1∴0≤a＜1∴若P真而Q假，则a＜0或a=1，若Q真而P假，则0≤a＜1∴所求a的取值范围是a≤1．19．（12分）S n是等差数列{a n}的前n项和，a5=11，S5=35．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a an（a是实常数，且a＞0），求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：a1+4d=11（1分），a1+2d=7（3分）解得：a1=3，d=2（5分）∴a n=2n+1（6分）（Ⅱ）∵a n=2n+1∴∴，∵a≠0∴{b n}是等比数列（7分）b1=a3，q=a2（8分）∴（1）当a=1时，b1=1，q=1，T n=n（9分）（2）当a≠1时，（12分）综上：（13分）20．（12分）定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．（1）求f（x）在[﹣2，2]上的解析式；（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？【解答】解：（1）设x∈（﹣2，0），则﹣x∈（0，2）∵x∈（0，2）时，=∴由函数f（x）为奇函数可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴∵f（0）=0，∵周期为4且为奇函数，f（﹣2）=﹣f（2）=f（2）∴f（﹣2）=f（2）=0（2）设0＜x 1＜x2＜2令则==∵0＜x1＜x2＜2∴g（x1）＜g（x2）∴函数g（x）在（0，2）单调递增，且g（x）＞0∴f（x）在（0，2）单调递减（3）由（2）可得当0＜x＜2时，单调递减故由奇函数的对称性可得，x∈（﹣2，0）时，当x=0时，f（0）=0∵关于方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解∴21．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．【解答】解：根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，（2分）解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）所以两切线所夹劣弧长为．（5分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，（6分）和圆x2+y2=4联立，得到，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，（7分）因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，所以有，，（8分）代入直线方程得，．（9分）同理，设，联立方程有，代入消元得到（4+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣16=0，因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，代入得到．（11分）若x1=1，则t2=12，此时显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有，（13分）所以k MQ=k NQ，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）．综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）22．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+3在x∈[2，+∞）上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，从f（0）=a2=1且a＞0可得a=1，又，解得，∴f（x）=x3﹣x2+6x+1．（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，要使f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+3在x∈[2，+∞）上有解，只需f min（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+3，即3＜m3﹣mlnm﹣mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，也即mt ＜m 3﹣mlnm 对任意m ∈（0，2]恒成立，即t ＜m 2﹣lnm 对任意m ∈（0，2]恒成立，设h （m ）=m 2﹣lnm ，m ∈（0，2]，则t ＜h （m ）min ， h′（m ）=m ﹣==，令h′（m ）=0，得m=1或m=﹣1（舍），当m ∈（0，2]时，h′（m ）与h （m ）的变化情况如下表：∴m=1时，h （m ）min=h （m ）极小值=， 所以t ＜，即实数t 的取值范围为t ＜．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

2014-2015学年江西省鹰潭市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1．（5.00分）已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是（）A．{0，}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}2．（5.00分）下列函数中既是偶函数，又是区间[﹣1，0]上的减函数的是（）A．y=cosx B．y=﹣|x﹣1|C．y=ln D．y=e x+e﹣x3．（5.00分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C． D．4．（5.00分）要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5.00分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．6．（5.00分）已知最小时x 的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．（5.00分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（）A．B．C．D．8．（5.00分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）9．（5.00分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数的图象大致是（）A． B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]11．（5.00分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜012．（5.00分）若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f （x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5.00分）已知向量，则向量在向量方向上的投影为．14．（5.00分）已知函数，则f（2+log23）的值为．15．（5.00分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于．16．（5.00分）函数f（x）=+ax，则f（2015）+f（﹣2015）=．三、解答题（本大题共6小题，70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17．（10.00分）设实数集R为全集，A={x|0≤2x﹣1≤5}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B及A∪B；（2）若B∩（∁R A）=B，求实数a的取值范围．18．（10.00分）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||=||，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．19．（10.00分）函数f（x）=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b，x，值域为[﹣5，1]，求a，b的值．20．（12.00分）已知：=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）．设函数f（x）=﹣（x∈R）求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若﹣=，且，求α．21．（14.00分）已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上，对于任意的x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（），且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f（x）=ln是否满足这些条件；（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；（3）若f（﹣）=1，试解方程f（x）=﹣．22．（14.00分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M ≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f （x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a+，g（x）=．（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2014-2015学年江西省鹰潭市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1．（5.00分）已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是（）A．{0，}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}【解答】解：∵x2+1≥1，∴0＜y=（）x2+1≤（）1=，∴A={y|0＜y≤}．则满足A∩B=B的集合B可以{x|0＜x＜}．故选：C．2．（5.00分）下列函数中既是偶函数，又是区间[﹣1，0]上的减函数的是（）A．y=cosx B．y=﹣|x﹣1|C．y=ln D．y=e x+e﹣x【解答】解：A．y=cosx，由图象可知该函数在[﹣1，0]上是增函数，所以该选项错误；B．y=﹣|x﹣1|，令y=f（x），f（﹣x）=﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+1|≠f（x），所以该函数不是偶函数，所以该选项错误；C.，令y=f（x），f（﹣x）=，所以该函数不是偶函数，所以该选项错误；D．y=e x+e﹣x，令y=f（x），该函数定义域为R，f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），所以该函数是偶函数；y′=e x﹣e﹣x，∵x∈[﹣1，0]，∴x≤﹣x，e x≤e﹣x，∴y′＜0，∴该函数在[﹣1，0]上是减函数，∴该选项正确．故选：D．3．（5.00分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：如图所示，∵两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，∴四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC．∴∠OBA=．∵∠COB=∠OAB+∠OBA．∴∠COB=．∴向量+与﹣的夹角为．故选：C．4．（5.00分）要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：==，只需将函数的图象，向左平移个单位长度得到函数=的图象．故选：A．5．（5.00分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，故选：C．6．（5.00分）已知最小时x 的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【解答】解：∵=（2，2），=（4，1），=（x，0），∴=（x﹣2，﹣2），=（x﹣4，﹣1），∴•=（x﹣2）（x﹣4）+（﹣2）×（﹣1）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，∴当x=3时，•的值最小．故选：B．7．（5.00分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T==2，过P作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP=在直角三角形中有sin∠APD=，cos∠APD=；cos∠BPD=，sin∠BPD=∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）==cosθ=∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴解得0＜a≤．故选：A．9．（5.00分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故在[1，+∞）上为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．10．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．11．（5.00分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．12．（5.00分）若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D （其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f （x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，0）【解答】解：g（x）是（﹣∞，0）上的正函数；∴存在区间[a，b]⊆（﹣∞，0），x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]；g（x）在[a，b]上单调递减；∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（b），f（a）]=[b2+m，a2+m]；∴；∴a2﹣b2=b﹣a；∴a+b=﹣1；∴a=﹣b﹣1；由a＜b＜0得﹣b﹣1＜b＜0；∴；m=a﹣b2=﹣b2﹣b﹣1；设f（b）=﹣b2﹣b﹣1，对称轴为b=；∴f（b）在上单调递减；∴；∴实数m的取值范围为（﹣1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5.00分）已知向量，则向量在向量方向上的投影为﹣．【解答】解：设的夹角为θ∵∴=﹣4，∴cosθ=∴||cosθ==故答案为：﹣14．（5.00分）已知函数，则f（2+log23）的值为．【解答】解：∵2+log23∈（3，4），∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23）===×=故答案为15．（5.00分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π16．（5.00分）函数f（x）=+ax，则f（2015）+f（﹣2015）=2．【解答】解：函数f（x）=+ax，则f（2015）+f（﹣2015）=+2015a+﹣2015a=+=+=2．故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17．（10.00分）设实数集R为全集，A={x|0≤2x﹣1≤5}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B及A∪B；（2）若B∩（∁R A）=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）已知A={x|≤x≤3}…（1分）当a=﹣4时，B={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}…（2分）∴A∩B={x|≤x＜2}…（4分）A∪B={x|﹣2＜x≤3}…（6分）（2）由（1）可知C R A={x|x＜或x＞3}…（7分）由B∩（C R A）=B，即B⊆C R A…（8分）当B=∅时，即a≥0时成立…（9分）当B≠∅，即a＜0时，则B={x|﹣＜x＜}…（10分）则，解得0＞a≥﹣…（11分）综上a的取值范围是：a≥﹣…（12分）18．（10.00分）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||=||，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα=cosα，∴tanα=1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，19．（10.00分）函数f（x）=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b，x，值域为[﹣5，1]，求a，b的值．【解答】解：∵函数f（x）=2asin2x﹣2asinxcosx+a+b=a（1﹣cos2x）﹣asin2x+a+b=﹣2asin（2x+）+2a+b，又x，∴≤2x+≤，﹣≤sin（2x+）≤1．当a＞0时，有，解得a=2，b=﹣5．当a＜0时，有，解得a=﹣2，b=1．综上可得，当a＞0时，a=2，b=﹣5；当a＜0时，a=﹣2，b=1．20．（12.00分）已知：=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）．设函数f（x）=﹣（x∈R）求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若﹣=，且，求α．【解答】解：====（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为（2）由得∴∴函数f（x）的单调增区间为，（k∈Z）（3）∵，∴∴，∴∵，∴，，∴或，∴或（13分）21．（14.00分）已知函数f（x）定义在（﹣1，1）上，对于任意的x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（），且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f（x）=ln是否满足这些条件；（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；（3）若f（﹣）=1，试解方程f（x）=﹣．【解答】解：（1）由＞0可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），又f（x）+f（y）=ln+ln=ln（•）=ln=ln=f（）又当x＜0时，1﹣x＞1+x＞0∴＞1∴ln＞0故f（x）=ln满足这些条件．（2）这样的函数是奇函数．令x=y=0，∴f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0令y=﹣x，∴f（﹣x）+f（x）=f（0）=0∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）在（﹣1，1）上是奇函数．这样的函数是减函数．∵f（x）﹣f（y）=f（x）﹣f（y）=f（）当﹣1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f（）＞0，即f（x）﹣f（y）＞0∴f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）∵f（﹣）=1∴f（）=﹣1原方程即为2f（x）=﹣1即f（x）+f（x）=f（）=f（）∴f（x）在（﹣1，1）上是减函数∴=∴x2﹣4x+1=0解得x=2又∵x∈（﹣1，1）∴x=2﹣22．（14.00分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M ≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f （x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a+，g（x）=．（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数g（x）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，即，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=﹣1．…（4分）（2）由（1）得：g（x）=，∵函数g（x）=在区间（1，+∞）上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上的值域为[﹣2，﹣1]，∴|g（x）|≤2，故函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．…（8分）（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．∴﹣3≤f（x）≤3，∴﹣4﹣≤a≤2﹣，∴﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣在[0，+∞）上恒成立．…（10分）设t=2x，t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，则h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，…（12分）∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．∴实数a的取值范围为[﹣5，1]．…（14分）。

云南省景洪市第三中学2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题 时间：120分钟 总分：150分姓名： 班级： 得分：第一卷一．选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{} ,3,2,4,3,1==B A 则B A ⋂等于（ ）A.{}2B.{}4,1 C.{}3 D.{}4,3,2,1 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. x x y ||= 与 1=y B. 1-=x y 与 {1,11,1>-<-=x x x x yC. 2x y = 与 x x y 3=D.123++=x x x y 与 x y = 3. 327-的值是（ ）A. 3B. -3C. 3±D. -94. 函数313-=x y 的定义域为（ ）A. [)+∞,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,31 C. [)+∞-,1 D. (]1,-∞- 5. 函数2x y -=的单调递增区间为（ ）A ．]0,(-∞B ．),0[+∞C ．),0(+∞D ．),(+∞-∞6．下列函数是偶函数的是（ ）A. x y =B. 322-=x yC. 21-=x y D.]1,0[,2∈=x x y7.函数()33--=xxf x的一个零点所在区间是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)10、如图的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台11、有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( ) A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对12、已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A ．32a2B ．34a2C ．64a2 D ．6a213. 圆锥的表面积公式（ ）A. rl r S ππ+=2B. rl r S ππ222+=C. rl S π=D. Rl rl R r S ππππ+++=2214.一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ）A.π332 B ．π16 C ．π316D ．π24第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

KMNC'B'A'D'D CBAMN D E B'A'C'CBA郑州一中2014—2015学年上期期末学业水平测试高中一年级 数学 参考答案一、选择题CBCBD CDCBA AB 二、填空题13:26 14: 7 15: 20x y -+= 16: 23三、解答题 17. 依题意得()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ 且()()f x f x -=- 即：332121x x k k -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭33202112x x x k k ⋅⇒+++=--()321221x xk -⇒=-32k ⇒= 18. 令()22222f x x px p p =-+++，则()()22022110f p p p =++=++>由A +=∅R I 知()f x 没有正实根（Ⅰ）若A =∅,即()f x 无实数根，则()f x 的判别式小于零()2244220p p p ⇒-++<1p ⇒>-（Ⅱ）若A ≠∅,即()f x 有实数根但是非正，则由(1)知1p ≤-且对称轴不能在y 轴右侧，即0p ≤1p ⇒≤- 综上所述: R p ∈均满足条件.19．直三棱柱'''ABC A B C -中, ,D M 分别为,''AB A B 的中点//'DB A M ⇒且'DB A M =⇒四边形'DBMA 为平行四边形 '//A D MB ⇒又'A D ⊄面MNCB ,MB ⊂面MNCB '//A D ⇒面MNCB 同理: '//A E ⇒面MNCB又'''A E A D A = ⇒平面'//A DE 平面MNCB 20．（Ⅰ）在正方形''''A B C D 中，△''D A M ≌△''A B N (SAS)''''''''90NA B D MA A D M D MA ⇒∠+∠=∠+∠= ''D M A N ⇒⊥又在正方体中'AA ⊥面''''A B C D ,'D M ⊂ 面''''A B C D''D M AA ⇒⊥又'''AA A N A = ⇒'D M ⊥面'AA N（Ⅱ） 连接','AB A B 交于点K ,连接DK .由//'AD B N 知,,,'A D N B 共面,AD ⊥面''AD ABB A ⊥AD BK ⇒⊥又'AB BK ⊥，'AD AB A = ⇒BK ⊥面'ADB N⇒BK DK ⊥且BDK ∠即为直线DB 与平面ADN 所成的角设正方体棱长为a ，则2BD a =,22BK a =，212sin 22aBK BDK BD a ∠===30BDK ⇒∠= 即直线DB 与平面ADN 所成的角为30.21．设()2,M t t 为抛物线上任意一点,直线l 的一般式为: 220x y --=则点M 到直线l 的距离为: ()2222212t t d --=+-21152485t ⎛⎫---⎪⎝⎭=21152485t ⎛⎫-+⎪⎝⎭= 1585≥358= 当14t =时,等号成立.即所求的最小距离为358. 20. （Ⅰ）设点M 的坐标为(),x y ,则()2222312x y x y +=-+22660x y x ⇒+-+=()2233x y ⇒-+= 即点M 的轨迹方程为: ()2233x y -+=（Ⅱ）M 的轨迹为圆心在()3,0,半径为3的圆. 由图易知l 的斜率存在.∵l 过点()1,0Q -,∴设l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到l 的距离为2301k k k-++由垂径定理知()2222302321k k k ⎛⎫-+⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭221621k k ⇒=+217k ⇒=77k ⇒=±于是l 的方程为()717y x =+或()717y x =-+.。