平行四边形的判定1

A ︵ 3 B 2 1 4 ︶ C D
证明： 连结AC. ∵ AD＝BC,AB＝DC,AC=AC 这个命题还有其 ∴△ABC≌△ADC（SAS） 他证方法吗？ ∴∠1＝∠2,∠3＝∠4 ∴ AD ∥ BC, AB∥ DC ∴四边形ABCD是平行四边形
命题3： 一组对边平行，另一组对边相等的四边形 A D D 是平行四边形
平行四边形判定定理1
命题1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC 求证：四边形ABCD是平行四边形
B C A D
平行四边形
两组对边分别平行
Hale Waihona Puke 只要求AB∥DC△ABC ≌△CDA
连结AC
关系角
平行四边形判定定理2
命题2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中， AD＝BC，AB＝DC 求证：四边形ABCD是平行四边形
5.5平行四边形的判定(1)
濮院桐星学校 潘铁丰
大家好，我是大雄。 刚刚又闯祸了……
刚刚我不小心打碎了胖虎家的一块平 行四边形玻璃，只留下包含三个顶点的 半块玻璃，现在我想把它补全，那该怎 么办呢？请同学们帮帮我！！！
A D
B
C
平行四边形 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 的判定方法 （也即定义）

的四边形 是平行四 边形
例1 已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB， CD的中点。 A 求证：（1）四边形AEFD是平行四边形 E （2）EF//AD//BC 证明：(1) 在 ABCD中,AB = DC B
∵点E、F分别是AB、CD的中点 ∴AE∥DF ,AE=1/2AB,DF=1/2DC ∴AE=DF ∴ 四边形AEFD是平行四边形 (2) ∴ AD∥EF ∴EF//AD//BC

定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
归纳小结
A
D
O
B
C
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
AD∥BC AB∥DC
四边形ABCD是平行四边形
A
D
O
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
AD = BC AB = DC
四边形ABCD是平行四边形
A
D
O
B
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
AD∥BC AD = BC
四边形ABCD是平行四边形
例1 已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为AD 和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB（平行四边形的Байду номын сангаас边相等），
AD∥CB（平行四边形的定义）.
∵E，F 分别是AD和CB的中点，
GH=1/2CD，GH∥CD. ∴EF∥GH，EF=GH. ∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
平行四边形的判定方法： 定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课后作业
1.完成课本P142-143 习题6.3， 2.完成练习册本课时的习题.
声明
A B
D
解：AD∥BC或AB=CD C
3. □ ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分
别是OA、OB、OC、OD的中点。四边形EFGH是平 行四边形吗？为什么？
答：四边形EFGH是平行四边形. 理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. 又∵点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ∴EF=1/2AB，EF∥AB.

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD .解：连接BD 交AC 于点O .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .所以四边形DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1,所以四边形ABCF 是平行四边形.同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图1 图2 A B C D EF 图3别例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

A D E B C F
AD ∥ BC
AB ∥ DC∥ EF
DE ∥ CF
如下图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相 交于点O,这个四边形必须具备哪些条件才 能成为一般的平行四边形?(看谁写的多) D A
0 B C
例如:(1)AB∥CD,AD∥BC
(2) (3) (4) (5) (6)
已知：四边形ABCD的 对角线AC、BD 相交于 点O，并且AO = CO ， BO =DO 。 B 求证：四边形ABCD是 平行四边形。 A
O
D C
证明：？
数学语言： ∵AO=CO ，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形
方法 一 两组对边分别平行的四边形是平 行四边形。 定义
方法 二 边
方法 三 角 方法 四 对角线
A D
证明：？
数学语言表示为： ∵AB=CD ，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四 边形
B
C
方法 一 两组对边分别平行的四边形是平 行四边形。 定义
方法 二 边
两组对边分别相等的四边形 是平行四边形
探究2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知：四边形ABCD,∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形
方法 一 两组对边分别平行的四边形是平 行四边形。 定义
方法 二 边
方法 三 角 方法 四 对角线 方法 五
两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 两条对角线互相平分的四边 形是 平行四边形。 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形
如图，AB =DC=EF, AD=BC，DE=CF, 则图中有哪些互相平行的线段？
18.1.2 平行四边形的判定