【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第七章第4讲知能训练轻松闯关1．(2015·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是( )A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：选C．借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C．2．(2015·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D．若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B．若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C．故选D．3．(2015·大连市双基测试)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D．对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确．4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D．由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B ．由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥平面BCD ．又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG ．∴四边形EFGH 是梯形．6． 如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．解析：在平面ABD 中，AM MB ＝ANND，∴MN ∥BD ．又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴MN ∥平面BCD ． 答案：平行7．(2015·汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行．解析：①为假命题；②为真命题；在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题；在④中，m ，n 也可能异面，故为假命题．答案：②8．(2015·湖南长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ＝________．解析：∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ ．又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ ．∴PQ PM ＝PD AP＝2，即PQ ＝2PM ．又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a ．答案：223a9． 如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别为棱A 1B 1，D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD 1A 1．证明：因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1， EH ⊄平面BCC 1B 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1， 所以EH ∥平面BCC 1B 1．又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG ， 所以EH ∥FG ，即FG ∥A 1D 1．又FG ⊄平面ADD 1A 1，A 1D 1⊂平面ADD 1A 1， 所以FG ∥平面ADD 1A 1．10． 如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC ．证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ． 又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ．在Rt △PAB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM ．(2)连接DB 交AC 于点F ，∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB ．取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则DG ∥FM ． 又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC ． 连接GN ，则GN ∥MC ， ∴GN ∥平面AMC ．又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ． ∵DN ⊂平面DNG ， ∴DN ∥平面AMC ．1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是对角线AB 1，BC 1上两点，且B 1M MA ＝C 1NNB，求证：MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．证明：如图所示，在平面AA1B 1B 内，作MK ∥A 1B 1交BB 1于点K ，因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，MK ⊄平面A 1B 1C 1D 1，所以MK ∥平面A 1B 1C 1D 1连接KN ，由MK ∥A 1B 1可知B 1M MA ＝B 1K KB， 又B 1M MA ＝C 1N NB ，所以B 1K KB ＝C 1NNB，所以KN ∥B 1C 1， 因为B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，KN ⊄平面A 1B 1C 1D 1，所以KN ∥平面A 1B 1C 1D 1．又MK ，KN 是平面MNK 内两条相交的直线，所以平面MNK ∥平面A 1B 1C 1D 1， 因为MN ⊂平面MNK ，所以MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．2． 如图，斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1． 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1． 由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，∴点O 为A 1B 的中点． 在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1．又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1．∴A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1． (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ． 因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1． ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD ． 又∵A 1OOB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1．3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，如图． (1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明A 1E ＝EF ＝FC ．解：(1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E．又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC．因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F．在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF．同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，所以A1E＝EF＝FC．。
1 【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第7篇 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算课时训练 理
【选题明细表】 知识点、方法 题号 空间直角坐标系 3、4 空间向量的计算 1、2、5、7、10、13、15 共线、共面向量定理的应用 6、8 综合问题 11、12、14
基础过关 一、选择题 1.(2014青岛一模)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( C ) (A)a∥c,b∥c (B)a∥b,a⊥c (C)a∥c,a⊥b (D)以上都不对 解析:∵c=2a, ∴a∥c, 又a²b=(-2,-3,1)²(2,0,4)=-4+0+4=0, ∴a⊥b. 故选C. 2.(2014银川质检)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( A )
(A)2, (B)-, (C)-3,2 (D)2,2 2
解析:由题意知, 解得或 3.(2014山东潍坊月考)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( A )
(A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 解析:设P(0,0,z), 依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),
则E(1,1,),
于是=(0,0,z),=(-1,1,), cos<,>===. 解得z=±2, 由题图知z=2,故E(1,1,1).
4.(2015福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中
点,则||为( A ) 3
(A)a (B)a (C)a (D)a 解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(a,0,0),C1(0,a,a), N(a,a,). 设M(x,y,z). ∵点M在AC1上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z) ∴x=a,y=,z=. ∴M(,,), ∴||= =a. 故选A. 5.(2014北京东城一摸)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 专题讲座六 知能训练轻松闯关1．如图是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，侧视图为一直角三角形，俯视图为一直角梯形，则此几何体的体积是( )A ．12B ． 2C ．22D ．1解析：选A ．由三视图可知该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上、下底长分别为1、2，高为1，顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点，四棱锥的高为1，因此该几何体的体积为13×12×(1＋2)×1×1＝12．2．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 63＝18，若a ij ＝2 016，则i ＋j ＝( )1 2 4 3 5 76 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 … A ．77 B ．78 C ．79 D ．80解析：选D ．观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，…，依次类推，第2n 行有2n 个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，…，依次类推，前2n (n ∈N *)行(包括第2n 行)共有2＋4＋6＋…＋2n ＝（2＋2n ）n 2＝n 2＋n (个)偶数，第2n 行的最后一个数为2n 2＋2n ，当n ＝32时，2n 2＋2n ＝2 112，故 2 016应在第64行．又2 112－2 0162＝48，所以2 016应在第64行从左往右数第64－48＝16(个)数，所以i ＋j＝64＋16＝80．3．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过点B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝________．解析：数列{a n }的奇数项满足a 1＝1，a 3＝－1，a 5＝2，a 7＝－2，…，可得a 4k －3＝k ，a 4k－1＝－k ；偶数项满足a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，a 8＝4，…，可得a 2k ＝k ．所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝a 4×504－3＋a 2×1 007＋a 4×504－1＝504＋1 007－504＝1 007．答案：1 0074．(2015·山东青岛八中调研)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f ′(x )为f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是________．解析：由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．由于f (－2)＝1，f (4)＝1， ∴－2<2a ＋b <4．∴a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧0<2a ＋b <4，a >0，b >0，作出点(a ，b )的可行域．(如图中阴影部分)b ＋3a ＋3可以看作动点(a ，b )与点C (－3，－3)连线的斜率．故b ＋3a ＋3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，735．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯； (2)(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)2×2列联表如下：(3)K 2＝30×（8－128）12×18×20×10＝10>6．635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．6．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对(1)以车速为轴，刹车距离为轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5 m ，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：(1)(2)依据图象，设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将表中的前三组数值代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0，∴函数的解析式为y ＝0．002x 2＋0．01x (0≤x ≤140)． 经检验，表中的其他各组值也符合此解析式．(3)当y ＝46．5时，即0．002x 2＋0．01x ＝46．5， ∴x 2＋5x －23 250＝0，解得x 1＝150，x 2＝－155(舍去)， ∴推测刹车时的速度为150 km/h ．∵150>140，∴发生事故时，汽车超速行驶．。
