沪教版(五四制)八年级数学上17.1 一元二次方程的概念.docx

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式： （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式：_________。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解 （2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解 （3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：_________________0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=（240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程_____________实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点 （4）因式分解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。

步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。

注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。

沪教版初二上第十七章《一元二次方程》全章复习讲义【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.把握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.把握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，同时未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一样式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判定一个方程是否为一元二次方程时，第一观看其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．差不多思想降次一元一次方程一元二次方程−−−→2．差不多解法直截了当开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，依照方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直截了当开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系假如一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其能够解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情形；(2)依照参系数的性质确定根的范畴；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用专门多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是查找等量关系.3.解决应用题的一样步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (依照题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题确实是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x|m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.专门是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三： 【变式】若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 依照题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得 因此当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，(3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式， 可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x ； (2)x2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】 (1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范畴是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既能够是一元一次方程，也能够是一元二次方程，因此必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范畴.【总结升华】依照判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x1、x2，依照题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=，而222121212()2x x x x x x +=+-，因此有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=， 解那个方程得110m =， 22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<，当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>，因此符合条件的m 的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m 的值，通过判别式去验证m 值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范畴；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?假如存在，求出k 的值；假如不存在，请说明理由．【答案】(1)依照题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 因此1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．假如方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 因此不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才动身，又通过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原先的方向连续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提早了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时. 依照题意，得54(4)2040460x x x x ++=-+ 解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2差不多上原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

《一元二次方程的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握一元二次方程的定义和标准形式。

2. 理解一元二次方程的根的概念及其求解意义。

3. 学会通过一元二次方程的判别式判断方程的根的情况。

二、作业内容作业内容主要围绕一元二次方程的概念展开，具体包括：1. 预习部分：学生需预习一元二次方程的定义和标准形式，并尝试举出几个一元二次方程的实例。

2. 理解与掌握：学生需深入理解一元二次方程的根的概念，包括实根和虚根，并掌握其求解方法。

3. 判别式学习：学生需学习一元二次方程的判别式，并能够通过判别式判断一元二次方程的根的情况（有实根、无实根等）。

4. 练习与巩固：完成一定量的一元二次方程练习题，包括定义判断、根的求解以及判别式的应用等。

5. 拓展延伸：学生可尝试探索一元二次方程在实际生活中的应用，如物理中的抛物线运动等。

三、作业要求1. 预习部分要求学生对一元二次方程的定义和形式有清晰的认识，并能准确举出实例。

2. 理解与掌握部分要求学生能够准确阐述一元二次方程根的概念，并能正确求解。

3. 判别式学习部分要求学生在理解判别式的基础上，能够熟练应用判别式判断一元二次方程的根的情况。

4. 练习与巩固部分要求学生在完成练习题的过程中，注重思路的梳理和方法的总结。

5. 拓展延伸部分鼓励学生进行探索性学习，尝试将所学知识应用于实际问题中。

四、作业评价1. 教师将对预习部分进行课堂抽查，评价学生对一元二次方程定义和形式的掌握情况。

2. 通过课堂小测验或课后作业，评价学生对一元二次方程根的理解和求解能力。

3. 通过作业练习，评价学生对判别式的理解和应用能力。

4. 拓展延伸部分的评价将结合学生的探索性学习和实际应用能力进行综合评价。

五、作业反馈1. 教师将对作业进行批改，及时反馈学生的作业情况。

2. 对于普遍存在的问题，教师将在课堂上进行讲解和指导。

3. 对于个别学生的问题，教师将通过个别辅导或线上解答等方式给予帮助。

八年级第一学期复习讲义教案1、一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2、一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ）其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项3、方程的解能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根4、一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）例1、把方程8)1(2)1(3++=-x x x 化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项6、已知a 是方程0120072=+-x x 的一个根，求12007200622++-a a a 的值一、填空题1、若关于x 的方程m mx x -=-122有一个根为1-，则=m2、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程3、若方程22343x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是4、关于x 的一元二次方程12)1(2=-+mx x m 的一个根是3，则=m5、一元二次方程02=++c bx ax ，若1=x 是它的一个根，则=++c b a ，若0=+-c b a ，则方程必有一个根为二、解答题1、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+-+k kx x k ，问：（1）k 为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根（2）k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项2、已知方程02=++c bx ax ，当a ，b ，c 满足什么条件时：。