2019-2020学年云南省曲靖市陆良县高三(上)第一次摸底数学试卷试题及答案(理科)(9月份)

曲靖市2023-2024学年高三年级第一次教学质量监测数学参考答案一、选择题题号12345678答案DCDCBABC二、选择题题号9101112答案ACBCABCACD三、填空题题号13141516答案()31，⎪⎭⎫ ⎝⎛81131，7550（2分）,650（3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.特别说明：所标示的得分点，仅仅作为评分参考，具体阅卷需要请阅卷题组长组织讨论制定相对科学合理又方便于评分操作的评分细则.17.解：（1）b C a c 2cos 2-= ，由正弦定理得：()C A C A B C A C +-=-=sin 2cos sin 2sin 2cos sin 2sin ,C A C sin cos 2sin -=∴,0sin ≠C ，故21cos -=A .又()π，0∈A ，32π=∴A .…………………………………5分（2）由题意知，31===CD BD AD ，.0cos cos ,=∠+∠∴=∠+∠ADB ADC ADB ADC π ，故在ADC ∆和ADB ∆中，由余弦定理得：，02261022=-+-c b 即16322=+c b ，①在ABC ∆中，由余弦定理得：1622=++bc c b .②联立①②，解得774=c ，即774=AB .……………………………10分18.解：（1）n a S n n -=2 ，()()21211≥--=∴--n n a S n n ，两式相减，得121+=-n n a a ，故()()21211≥+=+-n a a n n .又当1=n 时，1211-=a a ，故11=a ，∴数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故n n n a 22211=⨯=+-，所以12-=nn a .…………………………………6分（2）()()121121*********---=--=+=+++n n n n nn n n n a a a b ，121112112171313111121--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=∴++n n nn n b b b T .由2024202312111>--+n ，得202411211<-+n ，2024121>-∴+n ，解得10≥n ，故n 的最小值是10.…………………………………12分19.解：（1）221==n p ，，即采用3局2胜制，故X 的所有可能取值为2,3，()212121222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()21212121213212212=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C C X P ，X ∴的分布列为：X 23P2121X ∴的数学期望()25213212=⨯+⨯=X E .…………………………………6分（2）当采用3局2胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为ξ，则甲最终获胜的概率：()()()()p p p p p C p P P P 2313221222-=⋅-⋅⋅+==+==ξξ.当采用5局3胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为η，则甲最终获胜的概率：()()()()()().101561154323222422333+-=⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅+==+=+==p p p p p p C p p p C p P P P P ηηη23P P > ，即()()p p p p p 2310156223->+-,0145223>-+-∴p p p ，即()()01212>-⋅-p p 121<<∴p .…………………………………12分20.解：（1）证明：由题意可知，BCE ∆为等边三角形，在图2中，取BE 的中点为F ，连接AF F C ，1，则BE F C ⊥1，且31=F C .在图1中，取BE 的中点为F ，则2160===∠AB BF ABF ，，，由余弦定理得，3=AF ，21212AC F C AF =+∴，故AF F C ⊥1，又F BE AF = ，ABED F C 平面⊥∴1，又E BC F C 11平面⊂，ABED E BC 平面平面⊥∴1.…………………………………5分（2）满足题设条件的点P 存在.如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()().32323023230100230030001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛，，，，，，，，，，，，，，，，，C F E B AD 由（1）知，平面EB C 1的一个法向量为()031321，，-==AF n ，设()101≤≤=λλDC DP ，则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+=λλλλλ3232233323230231，，，，，，DC BD BP ，又()013，，--=BE ，设平面PEB 的一个法向量为()z y x n ，，=2，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022BE n BP n ，得()132--=λλλ，，n .由二面角1C EB P --的大小为45，得()22142322=-+--λλλλ，解得[]1031，∈=λ，所以在棱1DC 上存在点P ，使得二面角1C EB P --的大小为45，此时36311==DC DP .…………………………………12分21.解：（1）设()()2211y x B y x A ，，，，则⎪⎩⎪⎨⎧==22212122py x py x ，()()()2121212y y p x x x x -=-+∴，故p x x x x y y 2212121+=--，由题意，得124=p，所以2=p ，所以抛物线E 的方程为y x 42=.…………………………………4分（2）由（1）知，()10，F ，易知直线2l 的斜率必存在，设直线2l 的方程为1+=kx y ，()().4433y x N y x M ，，，由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，得0442=--kx x ，440161643432-==+>+=∆∴x x k x x k ，，.且()22243214161611k k k x x kMN +=+⋅+=-+=.由42x y =，得2x y ='，所以切线PM 的方程为：()3332x x x y y -=-，即()422333x x x x y +-=，①同理，切线PN 的方程为：()422444x x x x y +-=，②联立①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===+=14224343x x y k x x x ，()12-∴，k P ，∴点P 到直线2l 的距离22212122k k k d +=++=，()()41412142123222≥+=+⋅+⋅=∴∆k k k S PMN，当且仅当0=k 时取等号，综上，PMN ∆的面积存在最小值4，此时直线2l 的方程为1=y .…………………12分22.解：（1）()()14141+='∴+='a f ax x x f ， ，由题意可知，()2141211-=+-='a f ，即，83-=∴a .…………………………………3分（2）()x f 的定义域为()∞+，0，且()x ax ax x x f 14412+=+='，∴当0≥a 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，令()0>'x f ，得a x 410-<<，令()0<'x f ，得ax 41->，所以()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a 41上单调递减.综上所述，当0≥a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a 41上单调递减.…………………………………6分（3）令()()()x g x f x F -=()12ln 2++++=x a ax x .函数()x f 的图象在函数()x g 的图象的下方，()0<∴x F 在()∞+，0上恒成立.当0≥a 时，()0321>+=a F ，不满足()0<x F 在()∞+，0上恒成立.当0<a 时，因为()()()()x ax x a ax xx F 112221++=+++='且0>x ，()()01010<'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∈>'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴x F ax x F a x 时，，，时，，，故()x F 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 10，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，a1上单调递减，()aa a F x F 11ln 1max -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴.又()0<x F 恒成立，∴()0011ln <<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a aa 恒成立.令()()0ln >+=x x x x h ，则()0111>+=+='xx x x h ，()x h ∴在()+∞,0上单调递增，又0212ln 21<+-=⎪⎭⎫⎝⎛h ，()011>=h ，∴存在唯一的⎪⎭⎫⎝⎛∈1210，x ，使()00=x h ，且当()00x x ，∈时，()0<x h ，当()∞+∈，0x x 时，()0>x h ，010x a <-<∴，即01x a -<，又()121--∈-，x ，Z a ∈,a ∴的最大值为2-.…………………………………12分。

2020年陆良县高三毕业班(9月)第一次摸底考试数学(文)试题一、单选题1．对函数()21cos cos 2f x x x x =+-的表述错误的是( ) A ．最小正周期为πB ．函数sin2y x =向左平移12π个单位可得到()f xC ．()f x 在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增D ．点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 2．已知集合{}2{1,2,3,4,},60A B xx x ==--<∣，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}12， C ．{}23， D ．{}123，， 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 的中点，O 为侧面11AA B B 的中心P 为棱1CC 上任意一点，则异面直线OP 与BM 所成的角等于（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．已知i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若201923i i z -=，则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（ ）A ．半圆柱和四棱台B ．球的1和四棱台C ．半圆柱和四棱柱D ．球的14和四棱柱6．平面区域(){},1M x y x y =+≤，(),N x y y ⎧⎪=>⎨⎪⎩，在区域M 内随机取一点，则该点落在区域N 内的概率是（ ）A ．14π-B ．1216π-C ．18π-D ．128π- 7．下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln y x =C ．sin y x =D ．21y x= 8．已知x ∈R ,则“πα=”是“()sin sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．执行如下图所示的程序框图，则输出的=SA ．920B ．940 C ．29 D ．4910．已知变量x ，y 满足120480x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则23x y z -+=的最小值是（ ）A ．181B ．127C ．19D ．911．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点1P 2⎛ ⎝⎭，则sin α的值是( )A ．12 BCD12．已知等差数列{}n a 中，482a a +=，则6a =（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1二、填空题 13．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，过F 作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于A 点，若Rt OAF ∆（O 是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________． 14．在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅的最小值为______.15．已知命题p 1：函数y ＝ln(x)，是奇函数，p 2：函数y ＝12x为偶函数，则下列四个命题：①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(⌝p 1)∨p 2；④p 1∧(⌝p 2)．其中，真命题是________．(填序号)16．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3sin 4cos a C c A =，a =．M 为 AC 上一点，MC MB =，2ABM π∠=，则ABC 的面积为_________．三、解答题17．已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222()sin cos a b c C C +-=．（1）求角C ；（2）若c =2b a -的取值范围．18．已知函数()x f x e ax =- (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，由线()y f x =在点A 处的切线斜率为-1.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值.19．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点()0,1A ，右焦点到直线2a x c = （1）求椭圆E 的标准方程（2）过点A 作两条互相垂直的直线1l ，2l 分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点30,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 20．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人．陈老师采用,A B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++（I ）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （II ）根据频率分布直方图填写下面22⨯列联表，并判断是否有0095的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.21．选修4-5：不等式选讲已知不等式|||3|6x x x 的解集为(,)m n ．（Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：16x y xy ．22．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD ==.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积.23．已知函数()log (1)a f x x a =>，若b a >，且15()()2f b f b +=，b a a b =. （1）求a 与b 的值；（2）当[0,1]x ∈时，函数22()21g x m x mx =-+的图象与()(1)h x f x m =++的图象仅有一个交点，求正实数m 的取值范围.【答案与解析】1．D先根据二倍角公式以及辅助角公式化函数为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质判断选择.因为()211cos2x 1cos cos ?sin 22226f x x x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭, 所以最小正周期为22ππ=， sin2y x =向左平移12π个单位可得到y sin 2sin 2126x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为x ,36ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以2,622x πππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即()f x 递增， 因为x 6π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心， 综上选D.本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B由一元二次不等式的解法求得集合B ，再由集合的交集运算可得选项.因为{}260{23}B xx x x x =--<=-<<∣∣，∴{1,2}A B =．故选：B ．本题考查集合的交集运算，属于基础题.3．A 取AB 的中点N ，在正方体1111ABCD A B C D -中，根据线面垂直的判定定理可得BM ⊥平面CNOP ，进而得到BM OP ⊥，即可得到答案.如图所示，取AB 的中点N ，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 的中点，O 为侧面11AA B B 的中心，P 为1CC 上任意点，故ON ABCD ⊥，且BM ∈平面ABCD ，所以BM ON ⊥,又由Rt ABM Rt BCN ∆≅∆，可得CN BM ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BM ⊥平面CNOP ，又由OP ∈平面CNOP ，所以BM OP ⊥，所以直线OP 与BM 所成的角为090，故选A .本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及线面垂直的判定定理的应用，其中解答中根据正方体的结构特征，利用线面垂直的判定定理证得BM ⊥平面CNOP 是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．D 由题意可得32z i =+，据此确定z 的值，然后确定其所在的象限即可. 因为201923i 23i 32i i iz --===+-，所以32z i =-，复数z 在复平面内对应的点为(3,2)-，位于第四象限．故选D ．本题主要考查复数的除法，共轭复数的概念，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.由几何体的三视图可知： 该几何体上面是球的14，下面是放倒的四棱柱. 故选：D本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.6．B画出两区域图形，求出面积，根据几何概型即可得解.解：区域(){},1M x y x y =+≤表示的是一个正方形区域，面积是2，(),N x y y ⎧⎪=>⎨⎪⎩表示以()0,0为圆心，12为半径的上半圆外部的区域，则在区域M 内随机取一点，则该点落在区域N 内的概率是111211-1224==-12164112M S S S ππ∆⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯半圆 ，故选B . 本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题.7．DA,C 为奇函数，排除；B 中ln y x =在(,0)-∞,()y ln x =-单调递减，排除. D. 21y x=即为偶函数，且在(),0-∞上单调增， 故选D.8．A当πα=时，()sin sin x x α+=-，当3πα=时，()sin sin x x α+=-，因此“πα=”是“()sin sin x x α+=-”的充分不必要条件故选：A点睛：注意区别：“命题p 是命题q 的充分不必要条件”与“命题p 的充分不必要条件是命题q ”9．B分析：像这种程序框图的问题，一般直接按照程序框图运行该程序即可找到输出值S.详解：运行程序如下：1,4419.24S n ==<⨯， 11,6619.2446S n =+=<⨯⨯，111,8819.244668S n =++=<⨯⨯⨯，1111,202019.2446681820S n =++++=>⨯⨯⨯⨯， 111111111119().244668182022446182040S =++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 故选B. 点睛：本题考查到了数列里的裂项相消法求和.1111()(2)22n S n n n n ==-++,裂项时，不要漏掉了后面的12.裂项相消是数列的一种重要的求和方法，是高考考查的重点，所以大家要理解掌握并灵活运用.10．A首先画出可行域，设2t x y =--，并令0t =，作出初始目标函数2y x =-表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.由不等式组表示ABC 区域，端点分别为()1,1A -，()2,0B ，()1,4C ，当直线2t y x =-过点B 时t 有最小值4-，此时23x y z -+=有最小值181， 故选：A本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 11．D根据三角函数的基本定义sin y r α=，求得结果.由题意可知：22112r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭。

高三上学期期中模拟测试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B ⋂中的元素个数为（） A.5 B.4C.3D.22．复数(2)(12)z i i =-+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.下列说法错误的是（）A.命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B.如果命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则命题q 一定是真命题C.若命题：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥D.“1sin 2θ=”是“6πθ=”的充分不必要条件 4.已知函数210()cos 0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B. ()f x 的值域为[1,)-+∞C.()f x 是周期函数D. ()f x 是增函数5.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．21 B.158 C.3116 D.29166．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A ．①② B.②③ C. ①④ D.③④7.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图像关于直线3x π=对称B.()f x 的图像关于点(,0)6π对称C.()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数D.把()f x 的图像向右平移6π个单位，得到一个奇函数的图像 8．函数3lg ||x y x =的图象大致是（）9.曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（）A.12B.13C.23D. 110.等比数列{}n a 中，公比2q =，1479711a a a a +++=，则数列{}n a 的前99项的和99S =（）A.99B.88C.77D.6611.已知1tan()42πα+=，且(,0)2πα∈-，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（）A.B.D.12.ABC ∆中，若动点D 满足22+20CA CB AB CD -=，则点D 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m =.14.已知实数,x y 满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为.15.由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图像的面积是.16.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设坐标原点为O ，若OP mOA nOB =+(,)m n R ∈，且29mn =，则该双曲线的离心率为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记∠ACD α=，∠B C D β=．（1）求证：sin 3sin AC BC βα=； （2）若,,62AB ππαβ===BC 的长．18.（本小题满分12分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及数学期望． 19．（本题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A A B C-中，点D 是棱AB 的中点，12,3B C A A ==。

2019-2020年高三摸底考试数学（理）试题 含答案(I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，{1,3,9}B =，x A ∈，且x B ∉，则x =A ．1B ．2C ．3D ．92对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．.设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若612310S S =，则39S S =A.16 B. 13 C. 14D.19 4．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]5．在5(12)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2则该几何体的体积为AB C D π 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( )A.36 B.34 C.33 D.328．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是正视图 侧视图俯视图 （第6题）A． B．C．(0,(25,)+∞ D．(25,)+∞9．若,a b 表示直线，α表示平面，且b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知, 圆222π=+y x 内的曲线sin ,[,]y x x ππ=-∈-与x 轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图),随机往圆内投掷一个点A ,则点A 落在区域Ω的概率为A ．33πB ．34π.32πC D ．31π11．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是AB ．2 CD12．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πβββ++=- C ． 1tan()41πααα-+=+ D ．1tan()41πβββ-+=+非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则（第14题）30S 为_____________.14．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ．15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为 ． 16．已知点(3,0)A -和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于,A B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>u u r u u u r，直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，||||CM CN +为定值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求a bc+的取值范围． 18．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知5(3)21P X ==． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 19．（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB 丄平面PAD,PD=AD, E 为PB 的中点,向量12D F A B=u u u r u uu r ,点H 在AD 上,且0PH AD ⋅=uuu r uuu r(I)求证 EF//平面PAD.(II)若,AD=2, AB=2, CD=2AB,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角的余弦值.20．（本题满分12分）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（第20题）（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值． 21．（本题满分12分）已知R a ∈，函数()ln (1)f x x a x =--． （Ⅰ）若11a e =-，求函数|()|y f x =的极值点； （Ⅱ）若不等式22(12)()ax a ea xf x e e+-≤-+恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，,,A B C 是圆O 上三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交圆O 于D ，过B 做直线BE 交AD 延长线于E ，使BD 平分EBC ∠.（1）求证：BE 是圆O 的切线；（2）若6AE =，4AB =，3BD =，求DE 的长.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B，且(0,P .（1）求AB 中点M 的极坐标； （2）求|PA |＋|PB |的值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x m x x =----，R ∈m ，且(1)0f x +≥的解集为[]1,0. （1）求m 的值；（2）若R ,,,,,∈z y x c b a ，且222222,x y z a b c m ++=++= 求证: 1ax by cz ++≤.25、实验班附加已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（Ⅰ）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（Ⅱ）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．B ；2．B ；3．A ；4．A ；5．D ；6．A ；7．C ；8．C 9．D ；10．B ；11．A ．12．B 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．470；14．5； 15．36； 16．81． 第16题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca ba --=，化简得222c ab b a =-+， …2分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…5分 （Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…9分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(．…12分18． 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…2分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …5分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…9分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…12分19.【答案】(Ⅰ) 取PA 的中点Q,连结EQ 、DQ,则E 是PB 的中点,∴1//,2EQ AB AB 且EQ=12DF AB =又1//,2DF AB AB ∴且DF=∴DF EQ DF EQ =且,//,∴四边形EQDF 为平行四边形, ∴//EF QD ,,EF PAD PAD ⊄⊂又平面且DQ 平面,//EF PAD 平面(2)延长DA,CB 交于点M,连接PM,则PM 为平面PAD 与平面PBC 所成二面角的交线. 因为CD AB CD AB 21,//=,所以点A,B 分别为DM,CM 的中点,所以DM=4, 在PHM RT ∆中:222MH PH PM+=,32=∴PM 222DM PM PD =+∴PD PM ⊥∴,又因为PMD CD 平面⊥,所以PM CP ⊥CPD ∠即为所求的二面角的平面角.所以在PCD RT ∆中:55522cos ===∠PC PD CPD (2) 显然向量AB 为平面PAD 的一个法向量,且)0,2,0(=AB 设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n=,(1,2,PB =,)0,2,2(-=,由,01=∙n 得到032111=-+z y x由,01=∙n 得到02211=+-y x ,令11=x ,则3,111==z y所以)3,1,1(1=n,111cos ,AB n AB n AB n ===所以平面PAD 与平面PBC (12分 ) 20． 解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ，…2分所以102+=p，2=p ．…4分故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…5分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ， 则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-， 所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …6分MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-， 即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-022*********2121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …8分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…10分于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=． 令)1(412≥+=s t s，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． （第20题）所以，d 的最小值为3． …12分21．解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …3分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…4分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*）设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则e aeax x x g 2121)('2+-+=（0>x ）xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …6分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立．…9分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a ex =1，则当1x x >时，2212e a ex ea >-； 再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ． 取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->．这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…12分22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠=,∴90GBC EBC ∠+∠=,∴OB BE ⊥. (5)分∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分 由切割线定理得：2BE DE AE =⋅278DE ∴=. ……………10分 23.由2sin 10ρθ--=，得2210x y +--=，即(224x y +=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛+- ⎝＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴32M ⎛ ⎝，∴点M的极坐标为6π⎫⎪⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分 24.(1)(1)0f x +≥，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x . 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m ，1=∴m . ……………………………5分(2) 222x a ax +≥,222y b by +≥,222z c cz +≥,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分25、（Ⅰ）2()2f x x bx c '=++，)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． 则321()33f x x x x =-+-． 故22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩其图像如图所示．当214x x -=时，x =，根据图像得： （ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当12m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当m >()g x 最大值为2m m -． ……………………………8分 （Ⅱ）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，则(1)2ln h x t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+， 当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--， ∴11t -<<，又当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<．……………………………………12分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ，∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<，又当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………12分 方法三：2()ln(1)h x x =-， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ①由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+，即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立，令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-， 则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． ………………………………12分。