典型例题_概率论

第一部分 随机事件及其概率例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。

1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C⋃⋃）；4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C++）；5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ⋃⋃或A B CA B C A B C A B C+++）6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C⋃⋃）。

例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。

解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B=“指定其中一个盒子装一只球”。

1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有nN 种。

假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有nN C 种，所以，事件A 的样本点数为nNC !n ，即事件A 的概率为nn NNn CA P !)(=2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1nC 种，其次，剩余的1N-个盒子中，1n -只球的放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1n C 1(1)n N --，即事件B 的概率为11(1)()n n nC N P B N--=注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。

设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：nnn C A P 365!)(365=，所以nnn C A P 365!1)(365-=。

类似的问题还有：将3封信随机投入4个邮筒，计算第2号邮筒恰好投入1封信的概率，请读者思考。

例3（匹配问题）某班n 个战士各有1支枪归个人保管使用的枪，这些枪外形完全一样，在一次紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率。

解：设iA =“第i 个战士拿到自己的枪”，1,2,...,in=(1)!1()!i n P A n n -==2(2)!11(),()!(1)i j nn P A A i j n n n P -===≠- 3(3)!1(),()!i j k nn P A A A i j k n P -==≠≠……121(...)!n P A A A n =1121()112121()()() (1)(...)111 (1)1111 (1)2!3!!nnnnn i i i j n i ij i j i n nn nnnnnn P A P A P A A P A A A C C C n P P n -=≠=--=-++-=-++-=-+-+-∑∑∑注：类似的问题还有：n 个同学聚会各带一件礼物，用抽签的方法分配礼物，求至少有一人抽到自己的礼品的概率。

第二部分 条件概率、独立性、全概率公式例1 某城市的一项调查表明：该市有30%的中学生视力有缺陷，7%的中学生听力有缺陷，2%的中学生视力和听力都有缺陷，问1)如果已知一个中学生的视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？ 2)如果已知一个中学生的听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？解：记A =“中学生视力有缺陷”，B=“中学生听力有缺陷”则 ()0.02(|)0.0667()0.3P A B P B A P A ==≈， ()0.02(|)0.2857()0.07P A B P A B P B ==≈例 2 设某人忘了某电话号码的最后一位数字，因而随意拨码，求他拨码不超过3次接通他所需要的电话的概率。

解： 设A =“拨码不超过3次而接通”，i A =“第i 次拨码接通”，1,2,3i=。

则112123AA A A A A A =++112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++191981310109109810=+⋅+⋅⋅=该问题与摸奖问题是关联的，设想10个人依次摸10张券，其中只有一张奖券，无放回摸取，第一、第二、…第十人摸到奖券的概率都是110。

这充分说明抓阄的合理性。

例3 假设某产品成箱包装，每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。

开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。

由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。

求：1）检验一箱产品能通过验收的概率；2）已知取到的一箱产品通过了验收，抽检到一件次品的概率； 3）检验10箱产品通过率不低于90%的概率。

解：1）设i A =“一箱内有i 件次品”，0,1,2i=，显然事件012,,A A A 互斥，构成一个完备事件组。

设事件B=“一箱产品通过验收”，C==“抽到一件正品”。

欲求()P B依题意，110(),(|) 0,1,2310i i i P A P C A i -===(|)0.98,(|)0.10P B C P B C ==运用全概率公式，得22110()()(|)0.9310()1()10.90.1.i i i i i P C P A P C A P C P C ==-====-=-=∑∑再次运用全概率公式()()(|)()(|) 0.90.980.10.10.892P B P C P B C P C P B C =+=⨯+⨯=2）()()(|)0.01(|)0.0112()()0.892P C B P C P B C P C B P B P B ===≈这说明通过了验收而抽查到次品的可能性只有约1.12%。

3）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为,(0,2,,10)k k = ，并且通过验收的概率为()0.892P B =，10箱产品的通过率为10k ，根据二项概率公式，得到因为检验10箱产品通过率不低于90%，等价于90%910kk ≥⇔≥，即9,10k =。

所求概率为1019101010(9)(10)0.892(0.892)0.1080.705P P C +=+⋅=该题目体现了全概率公式、贝叶斯公式和二项公式的综合应用。

第三部分 一维随机变量及其分布例1. （电力供应问题）有9台设备，间歇地使用电力。

设在任一时刻每台设备都以同样的概率0.3需要一个单位的电力，且各设备是否需要电力相互独立，求有3台设备同时需要供应一个单位电力的概率。

解： 设X 表示任一时刻同时需要（一个单位的电力供应）的设备数，则),(~p n B X，其中9=n，3.0=p ，于是有3台设备同时需要供应电力的概率为2668.0)3.01()3.0(}3{6339≈-==C X P例2 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可用参数为9=λ的泊松分布来描述。

为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品（设只在月底进货）？解: 设该商品每月销售该商品X 件，月底存货为a 件，那么当aX ≤时就不会脱销。

现要求a ，使95.0}{≥≤a XP ，又因)9(~P X ，即使得∑∑==-≥==ak ak kek k X P 0995.0!9}{经计算可知：∑=-<≈13995.09231.0!9k kek ，∑=->≈14995.09554.0!9k kek故只要保证存货不低于14件就能以95%以上的概率保证不脱销。

例3 设一大型设备上某元件在任何长为x 的时间内损坏（立即替换新的）数N (x )服从参数为x λ的泊松分布，（1）求该种元件使用寿命X 的密度函数。

（2）求使用寿命超过a （小时）的概率。

解 （1）先求X 的分布函数F (x )。

对任意实数x ，因为0≥X，所以，当0<x 时，{}X x ≤=∅，从而0}{)(=≤=x X P x F 。

当0≥x 时，由于}1)({}{≥=≤x N x X ，故xxex ex N P x N P x X P x F λλλ---=-==-=≥=≤=1!0)(1}0)({1}1)({}{)(0综上所述，得⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ从而X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,)(x x ex f xλλ可见，元件使用寿命X 服从参数为λ的指数分布。

（2）使用寿命超过a （小时）的概率为aaxxaeaedx edx x f a X P λλλλ-∞+--∞+=∞+-===>⎰⎰)(}{例4 设2~(,)XN μσ，求{}P X k μσ-<，k =1,2,……。

解 以k = 3为例，其它可类似计算。

{3}{33}(3)(3)33()()(3)(3)2(3)120.998610.997299.72%P X P X F F μσμσμσμσμσμσμμσμσσ-<=-<<+=+--+---=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯-==同理{}68.3%{2}95.4%P X P X μσμσ-<=-<=此例说明若2~(,)XN μσ，则X 的取值落入μ附近σ3范围内的概率相当大，几乎为1，这称为正态分布的“σ3原则”。

（现在有σ6原则）例5 设甲、乙两人独立地各进行两次射击，他们每次的命中率分别为0.4和0.5,以X 和Y 分别表示甲、乙命中次数，求(,)X Y 的分布律。

解. 由题意可知，~(2,0.4),~(2,0.5)XB Y B又因为X 和Y 相互独立，于是X 和Y 的分布律为{0,0}{0}{0}0.160.250.04P X Y P X P Y ====⋅==⨯={0,1}{0}{1}0.160.50.08P X Y P X P Y ====⋅==⨯= {0,2}{0}{2}0.160.250.04P X Y P X P Y ====⋅==⨯={1,0}{1}{0}0.480.250.12P X Y P X P Y ====⋅==⨯= {1,1}{1}{1}0.480.50.24P X Y P X P Y ====⋅==⨯= {1,2}{1}{2}0.480.250.12P X Y P X P Y ====⋅==⨯= {2,0}{2}{0}0.360.250.09P X Y P X P Y ====⋅==⨯={2,1}{2}{1}0.360.50.18P X Y P X P Y ====⋅==⨯= {2,2}{2}{2}0.360.250.09P X Y P X P Y ====⋅==⨯=第四部分 随机变量的数字特征例1一口袋中有i （ni ,...,2,1=）号球i 只，从中任意摸出一只球，求所得号码的数学期望。