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概率论常考题解析与讲解在数学领域中，概率论是一门研究随机事件发生的可能性的学科。
它有着广泛的应用领域，并且在各个科学和工程领域中都扮演着重要角色。
概率论的研究对象包括基本概率模型、随机变量、概率分布等。
在学习概率论的过程中，经典概率、条件概率、随机变量及其概率分布、大数定律和中心极限定理等是常见的考题。
本文将对这些常考题进行解析与讲解。
一、经典概率经典概率是指当随机试验的样本空间为有限个元素时，利用计数原理进行概率计算的方法。
常见的经典概率问题包括：从一副扑克牌中抽取一张牌，求出抽到红桃的概率；从一个装有红、蓝、绿三种颜色球的袋子中抽取一颗球，求出抽到红球的概率等。
解答这类问题时，首先要确定样本空间和事件空间，然后利用计数原理计算出每个事件发生的可能性，并得出概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，样本空间为52张牌，事件空间为抽到红桃的牌，分析可知红桃有13张，因此红桃的概率是13/52=1/4。
二、条件概率条件概率是指在已知某事件发生的前提下，另外一个事件发生的概率。
条件概率的计算需要利用到贝叶斯定理或全概率公式。
常见的条件概率问题包括：在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，求抽到的是红桃的概率；某疾病在人群中的患病率是1%，一个新的检测方法能够准确地检测出病人患病的概率是99%，如果一个人被检测出患病，求他真正患病的概率等。
解答条件概率问题时，需要根据题目的描述利用贝叶斯定理或全概率公式计算条件概率。
例如，在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，事件A代表抽到红桃，根据条件概率的定义，所求的是P(A|B)，其中B代表抽到的是红心。
利用贝叶斯定理可得，P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)，其中P(A)=1/4，P(B|A)=12/51，P(B)=1/2。
代入计算可得，P(A|B)=1/2。
三、随机变量及其概率分布随机变量是指对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散型或连续型的。
概率分布是描述随机变量取值与其概率之间关系的函数。
概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
概率论解题示例详解概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。
通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。
概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领域中都能看到它的身影。
本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。
示例一：抛硬币问题抛硬币是常见的概率论例题。
假设有一枚公平的硬币，正反两面出现的机会均等。
现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率是多少：1. 出现三次正面的概率2. 出现两次反面的概率3. 至少出现一次正面的概率解答：1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果，即正面和反面。
因此，出现三次正面的概率可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。
2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。
根据排列组合的原理，两次反面和一次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。
因此，出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。
3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的概率，然后用1减去该概率即可。
出现一次反面的概率可以表示为：(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。
因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。
示例二：生日悖论生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？解答：假设每个人的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。
我们可以通过计算每个人生日不相同的概率，然后用1减去该概率得到至少有两个人生日相同的概率。
第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个人的生日不能与第一个人相同，即概率为364/365。
第三个人的生日不能与前两个人相同，即概率为363/365。
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率与事件综合经典题(含详解答案)问题一：投色子小明和小王玩一个游戏，游戏规则为两个人轮流投掷一个均匀的六面色子，投到点数为6的人获胜。
若小明先投，请问小明获胜的概率是多少？解析：设小明获胜的概率为p，则小王获胜的概率为1-p。
若小明投到6，则小明获胜；若小明投到1、2、3、4、5，则轮到小王投掷。
所以小明获胜的概率为：p = 1/6 + (1-p) * 1/6 + (1-p)^2 * 1/6 + (1-p)^3 * 1/6 + ... ...化简得到：p = 1/7，即小明获胜的概率为1/7。
问题二：选球有10个编号为1到10的球，从中不放回地抽取3个，求编号之和为偶数的概率。
解析：球的编号之和为偶数有两种情况：1. 选出的三个球编号均为偶数。
2. 选出的三个球编号中有两个是奇数，一个是偶数。
情况1的概率为：C(5,3)/C(10,3) = 5/42。
情况2的概率为：C(5,2) * C(5,1)/C(10,3) = 10/42。
所以编号之和为偶数的概率为：5/42 + 10/42 = 5/21。
问题三：小球分组有10个编号为1到10的球，其中2个是红球，3个是黄球，5个是白球。
现从中任意抽取5个球，求其中恰好有3个白球的概率。
解析：从10个球中任意选出5个的组合数为：C(10,5) = 252。
从5个白球中任选出3个，从5个非白球中任选出2个的组合数为：C(5,3) * C(5,2) = 100。
所以恰好有3个白球的概率为：100/252 = 25/63。
Chap3证：由加法公式得到又P(E⋃F)≤1, 所以得证。
证：(a) 由于E=ES=E(F⋃F c)= (EF)⋃(EF c), 且(EF)(EF c)⊂ FF c=∅，所以由概率的可加性（第3条公理）得到P(E)=P(EF)+P(EF c)整理得到所需的公式。
(2) 由于P(E c F c)=P((E⋃F)c)=1-P(E⋃F), 根据加法公式得证。
解：(a) AB=∅, P(A⋃B)=P(A)+P(B)=0.5;(b) P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)(根据独立性)= P(A)+P(B)-P(A) P(B)=0.2+0.3-0.2*0.3=0.44;(c) 根据独立性，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)=0.024.(d) ABC=∅, P(ABC)=0.Chap4解：P(N1=1, N2=0)=P(次、次)=3/5*2/4=3/10;P(N1=1, N2=1)= P(次、正、次)=3/5*2/4*2/3=1/5;P(N1=1,N2=2)= P(次、正、正)=3/5*2/4*1/3=1/10;P(N1=2.N2=0)=P(正、次、次)=2/5*3/4*2/3=1/5;P(N1=2.N2=1)=P(正、次、正)=2/5*3/4*1/3=1/10;P(N1=3.N2=0)= P(正、正)=2/5*1/4=1/10;解：从而a=3/5, b=6/5.解：设一个学生成绩X, 根据马尔科夫不等式根据切比雪夫不等式设有n人参加考试，其中X i为第i个学生的成绩，它们相互独立，均值75, 方差25。
那么总成绩（注意：并不是nX）为，平均成绩那么根据切比雪夫不等式从而n 10.Chap5解：；P(X>12)=0.解：中奖数X~B(50, 0.01), 近似参数为50*0.01=0.5的泊松分布P(X≥1) =0.39；P(X=1)= 0.3；P(X≥2)= P(X≥1)- P(X=1)=0.09解：X~B(1000, 1/1000),用参数为1的泊松分布近似值1-e-1(1+1+1/2)=0.08证：令V=a+(b-a)U. 那么V在[a, b]上取值。
概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。
解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。
