第八届高等数学竞赛(理工类)试题

amc8数学竞赛试题AMC 8数学竞赛试题[介绍]AMC 8数学竞赛是一项旨在培养学生数学兴趣和解决问题能力的国际性竞赛。

在这项竞赛中，学生将面对一系列挑战性的数学问题，要求运用自己的数学知识和技能进行解答。

本文将为您介绍一些典型的AMC 8数学竞赛试题，旨在帮助阅读者更好地了解这一竞赛的题型和难度。

[难度递增的问题]1. 题目：若a、b、c为正整数，并满足a+b+c=13，那么a、b、c的可能的取值有几个？解析：这是一道简单的组合问题。

因为a、b、c都是正整数，所以它们的取值范围在1到12之间。

我们可以采用穷举法来找出满足条件的取值。

2. 题目：在数列1，3，6，10，...中，每个数都是前一个数加上一个递增的正整数得到的，求第100个数是多少？解析：这是一道关于数列的问题。

通过观察数列的规律，我们可以发现每个数都是前一个数加上一个等差数列的公差得到的。

因此，我们可以通过求解等差数列的前100项和来得到结果。

[几何题]3. 题目：如图所示，已知正方形ABCD，E为边BC的中点，F为边CD上一点，且EF与边BC平行。

若AB的边长为6，求EF的长度。

解析：这是一道关于正方形的几何题。

根据题意，我们可以通过使用相似三角形的性质来求解。

首先，我们可以得到三角形ABF与三角形ECF相似，进而得到EF与AB的长度比例。

由此，我们可以计算出EF的长度。

[排列组合题]4. 题目：某城市共有6个球队，今天有两场比赛要进行。

每场比赛中，两个球队随机配对，一共进行了3场比赛。

那么每个球队都参与比赛的可能性有多大？解析：这是一道排列组合问题。

根据题意，我们需要计算从6个球队中选择3个球队参与比赛的可能性。

利用组合数学的知识，我们得到了参与比赛的球队个数的可能情况，进而计算出所需概率。

[数学推理题]5. 题目：下面的等式成立吗？7 + 7 - 7 × 7 ÷ 7 = 0解析：这是一道数学推理题。

根据四则运算的优先级，我们需要按照从左到右的顺序逐步进行计算。

第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、)(x f 是定义域为R 的奇函数,下列结论中正确的是--------------------------（ ）（A ）0)()(>--x f x f （B ）0)()(<--x f x f（C ）0)()(≤-⋅x f x f （D ）0)()(>-⋅x f x f2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1与A 1B 所成角相等于------------------------（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）9003、2cos 12sin 122---等于--------------------------------------------------------（ ）（A ）2sin 2cos -（B ）2sin 2cos --（C ）2sin 2cos +-（D ）2sin 2cos +4、等腰直角三角形ABC 中,AB=BC=1,M 为AC 中点,沿BM 把它折为二面角,折后A 与C 的距离为1,则二面角C-BM-A 的大小为-----------------------------（ ）（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）12005、以下函数中,在区间)0,(-∞上是增函数的函数是-------------------------------（ ）（A ）)(log 5.0x y --=（B ）2)1(+-=x y （C ）21x y +=（D ）xx y -=1 6、已知},34|{Z k k M ∈π=αα=,},322|{Z k k N ∈π±π=αα=,},2|{Z k k P ∈π=αα=,则集合M 、N 、P 满足关系式------------------------（ ）（A ）)(P N M = （B ）)(P N M ⊂（C ）)(P N M ⊃ （D ）Φ=)(P N M 7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）相等 （B ）互补 （C ）相等或互补 （D ）不能确定的8、对于任意实数t ,函数n mx x x f ++=2)(都有)2()2(t f t f -=+,则有-（ ）（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<9、若函数)(1x f 和)(2x f 都是周期函数,最小正周期都是T ,对于函数+=)(1x f y )(2x f ,以下判断中,正确的是------------------------------------------（ ）（A ） 最小正周期是T （B ）有最小正周期t ,且T t <（C ）是周期函数,但可能没有最小正周期 （D ）可能是非周期函数10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）8对二、A 组填空题11、若函数22)(x x x f --=,则=+-)1()1(f f .12、函数22x y -=)1(-≤x 的反函数为 .13、矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,PA ⊥平面ABCD,PA=1,则P 点到BD 的距离等于 .14、函数3412)(++=x x x f ,则)2(1-f 的值是 . 15、函数x x y --=1的值域为 .16、若22log >a ,则a 的取值范围是 . 17、关于x 的方程x a a x log =有且仅有一个在)1,0(内的实根,那么a 的取值范围是 .18、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .19、三棱锥S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心,且二面角H-AB-C 的大小为300,则SA :AB= .20、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=6,BC=3,在线段BD 、A 1C 1上各有一动点P 、Q,在PQ 上有一点M,且PM=2MQ,则M 点轨迹图形的面积为 .三、B 组填空题21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面,若截面是等腰三角形,侧面与底面所成角为θ,则=θcos .22、若1cos sin =β⋅α,则2cos β+α的值等于 . 23、若x qx px x x f +++=234)(对一切R x ∈,都有x x f ≥)(,且1)1(=f ,则p 、q 的值分别为 .24、方程x x x =lg )(lg 的解为 .25、函数21)(2++=x x x f ,]1,[+∈n n x （n 是整数）的值域中恰有10个不同整数,则n 的值为 .第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试班级 姓名一、选择题1、集合},412|{Z k k x x P ∈+==,},42|{Z k k x x q ∈+==,则有----------（ ） （A ）Q P = （B ）Q P ⊃ （C ）Q P ⊂ （D ）∅=Q P2、方程4|cos ||sin |π=+x x 的解的情况为--------------------------------------------（ ） （A ）无解 （B ）有无数个解 （C ）有唯一解 （D ）有多于1个的有限个解3、函数x y 4sin 2=的图象在y 轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（ ）（A ）89π=x （B ）π=10x （C ）213π=x （D ）85π=x 4、如图1,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是正方形ADD 1A 1、ABCD 的中心,G 为CC 1的中点,设GF 与AB 所成的角为α,C 1E 与AB 所成的角为β,则=β+α--------------------------------------（ ）（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）1200 5、在xoy 平面内,如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上,这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上,这样的直线称为“特殊直线”,关于“特殊直线”的数目,下列各说法中正确的是---------------------------------（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）不少于3 （D ）06、三棱锥6条棱所在直线中,互相垂直的成对直线至多有----------------------（ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）9对7、函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 的图象---------------------------------（ ）（A ）关于直线x y =对称 （B ）关于直线1+=x y 对称（C ）关于直线1-=x y 对称 （D ）关于直线x y -=对称8、1l 、2l 是异面直线,以下命题中错误的是----------------------------------------（ ）（A ）存在唯一的平面与1l 、2l 都平行,且与1l 、2l 距离相等（B ）过1l 、2l 外一点能作且只能作一个平面与1l 、2l 都平行（C ）与1l 、2l 都垂直的直线有无穷多条（D ）不存在与1l 、2l 都垂直的平面9、设)(x f 是区间),(+∞-∞上的奇函数,)()3(x f x f -=+,当230≤≤x 时,x x f =)(,则)1997(f 等于--------------------------------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）199710、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体,锯12次可达到目的,请你想法尽可能少锯几次,那么至少需要锯-----------------------------------------（ ）（A ）7次 （B ）8次 （C ）9次 （D ）10次二、填空题11、y x y x lg lg )2lg(2+=-,则y x :的值等于 .A B C G C 1 D 1 E F D A 1 B 112、当1>a 时,若函数2321)(2+-=x x x f 的定义域和值域都是],1[a ,则=a . 13、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 .14、已知函数)1lg()(22+++=x x x x f ,且627.4)2(=f ,则=-)2(f .15、AA ’DB 是等腰梯形,AB=A ’D,下底BD=2,上底AA ’=4,S 、C 分别是AA ’、BD 的中点,SC=1,沿SB 、SC 、SD 折叠,使这梯形成为一个四棱锥S-ABCD 的各侧面（A 、A ’重合）,则此棱锥底面上的对角线AC 的长等于 .16、对于函数)(x f 与)(x g ,规定：当)()(x g x f ≤时,)(x f ※)(x g =)(x f ；当)()(x g x f >时,)(x f ※)(x g =)(x g .已知x x f -=3)(,21)52()(+=x x g ,则)(x f ※)(x g 的最大值为 .17、若一个圆锥中有三条母线两两垂直,则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 .18、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1与面AB 1成250角,BD 1与面A 1C 1成450角,则BD 1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 .19、平行光线照射到一个棱长为1的正方体上,在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S,则S 的最大值为 .20、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体表面上与点A 距离是332的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度是 .三、解答题21、空间从O 点出发的4条射线OA 、OB 、OC 、OD 两两所成角相等,求OA 与平面OBC 所成角的余弦值.22、已知函数c x b x a x f ++=sin sin )(2,其中a 、b 、c 是非零实数,甲、乙两人做一游戏：他们轮流确定系数a 、b 、c （如甲令1=b ,乙令2-=a ,甲再令3=c ）后,如果对于任意实数x ,0)(≠x f ,那么甲得胜；如果存在实数x ,使0)(=x f ,那么乙得胜.甲先选数,他是否有必胜策略？为什么？如果a 、b 、c 是任意实数,结论如何？为什么？。

长沙理工大学非数学专业竞赛试题一、填空题（每小题3分，共30分）1. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++ ⎪⎝⎭.2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = . 3.221ln(1)n n+∞=-∑= 4.π22π22sin d (1cos )x xx x -+=+⎰。

5. 设D 为闭区域221,x y +≤则2222()Dx y dxdy a b +=⎰⎰ 。

6. 设arcsin y x =，求()()0n y = 。

7. 交换积分的次序()110,,xx ydx dy f x y z dz -+=⎰⎰⎰。

（变换为先y 后x,z ）8.2006π0|sin |d _______.x x x =⎰22229.(,),(,)(,)d d ,(,)_____.x y a f x y f x y y xf x y x y f x y +≤=+=⎰⎰设为连续函数且则10、设111,sin (1,2,)n n x x x n +=== ，则lim n n x →∞= 。

二、（本小题10分）设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.三、（10分）设函数(,),(,)u x y v x y 在闭区域22:1D x y +≤上有一阶连续偏导数，又(,)(,)(,),(,),u u v v x y v x y u x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+=-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭f i jg i j 且在D 的边界上有(,)1,(,),u x y v x y y ≡≡求d Dσ∙⎰⎰f g 。

高数第八章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是？A. 2x + 3B. 2x^2 + 3C. 2x + 6D. x^2 + 3x答案：A3. 曲线y = x^3 - 6x + 8在点(2, -2)处的切线斜率是？A. 0B. 2C. -2D. 4答案：D4. 以下哪个选项是函数y = e^x的原函数？A. x * e^xB. e^xC. ln(x)D. x^2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(2)的值。

答案：12. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：x^3 - x^2 + x + C3. 计算定积分∫[0, 2] (2x - 1)dx。

答案：34. 求极限lim (x→0) [sin(x)/x]。

答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = ln(x)的导数。

答案：f'(x) = 1/x2. 求曲线y = x^2 - 4x + 5与直线y = 2x - 3的交点坐标。

答案：(1, -2) 和 (5, 7)3. 计算定积分∫[1, 4] (x^2 - 3x + 2)dx。

答案：(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x | [1, 4] = 40/3 - 9/2 + 8 = 25/64. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

答案：极值点为x = 1和x = 5。

5. 求函数f(x) = e^x - x^2的原函数。

答案：F(x) = e^x - (1/3)x^3 + C6. 证明函数f(x) = x^3 + 2x + 1在(-∞, +∞)上是增函数。