陕西省西安市铁一中学高三数学上学期第五次模拟考试试

高三年级模拟考试 数学（文）试题满分：150分， 考试时间：120分钟一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞2．函数1()ln(1)f x x =+ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-3．已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则 （ ）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=14．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．*1,+∞)D ．(0,+∞)5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = （ ）A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n -6.定义集合)(Y X C Y X U ⋂=*,则集合=**C B A )( ( )A. C C B A U ⋃⋂)(B. C C B A U ⋂⋂)(C. C B A C U ⋃⋂)(D. C B A C U⋂⋂)(7. 某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A .12B .C .D .8．已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为A ．60B ．55C ．50D .459．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( )A ．2 B.3 C. 2 D ．110．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．112π- B ．1π C ．21π- D ．2π二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________. 12．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________;n S =________.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________..14．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x2≤k 恒成立，求实数k 的取值范围．17.（本题满分12分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，⊥PD 底面ABCD ， E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面APD ；（Ⅱ）求证：PBD PBC 平面平面⊥.19．（本小题12分）数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足222=-n n n a S a ．（Ⅰ）求证：数列}{2n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1424-=n n S b ， 求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值．20．（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN得面积为3时,求k 的值.数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，满分50分）二、填空题: （每小题5分，满分25分） 11．430x y --=； 12．1，2n； 13．154； 14．(0,1); 15．30≤<a .三、解答题：16.解：（Ⅰ）由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2aa ＝2.（Ⅱ）记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.17．解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++，依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32. …………6分 （Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦，由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤，解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤， 18．解：（I ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且112EF CD ==， 在梯形ABCD 中，//,1AB CD AB =，∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AFBE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴//BE 平面PAD .…………6分（II ）1,AB AD PD ===2CD =，则,BD BC ⊥PBD BC 平面⊥∴PBD PBC 平面平面⊥∴，19．解：（Ⅰ）∵122=-n n n a S a ，∴当n ≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，整理得，1212=--n n S S （n≥2），又121=S ， ∴数列}{2nS 为首项和公差都是1的等差数列．∴n S n =2，又0>n S ，∴n S n =.∴n ≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式，∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n . …………6分 （Ⅱ）∵121121)12)(12(21424+--=+-=-=n n n n S b n n ， ∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1221211+=+-n n n ，212n T n∴=+的最小值为23. …………12分 20．.解： (1)由题意得22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离d =,所以△AMN的面积为1||2S MN d =⋅=由=,解得1k =±.另解（2）：310)(3213212121=-⨯⨯=-⨯⨯=x x k y y s21．解：（Ⅰ）2)(ln 1)(),,0()(xa x x f x f +-='+∞的定义域为， 令ae x xf -=='10)(得，当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数； 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数；∴111)()(,)(---===a a a e e f x f e x x f 极大值处取得极大值在，无极小值. (4)分（Ⅱ）①当21e e a <-时，即时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，()11max ()a a f x f e e --∴== ，又当,0)(,2x f e x a a --==当时,(.0)(],0(2e e x xf e x a a --∈<∈当时 ],(.0)(],0(,02e e x x f e x a a --∈<∈当时当时，).0()(1-∈a e x f ，∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点，⇔11≥-a e .解得1,1,1≥->≥a a a 所以又.②当121-≤≥-a e e a 即时，],0()(2e x f 在上是增函数， ∴2222)(],0()(eae f e x f +=上的最大值为在， 所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea 解得又1-≤a ，∴无解， 综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞. …………10分（Ⅲ）令a =1，由（Ⅰ）知，ln 11(0),ln 1x x x x x+≤>∴≤-， n n 1)11ln(≤+∴，12ln 11)111ln(≤-≤-+∴ n n 相加得：nn n n n n 121112ln 1ln 1ln )1ln(+++≤++-++=+ 。

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的倒数为()A. B.3 C. D.2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是()A. B. C. D.3.如图，，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分，，则的度数为()A.B.C.D.4.下列计算正确的是()A. B.C. D.5.在平面直角坐标系中，若将一次函数向左平移3个单位长度后，恰好经过点，则b 的值为()A.2B.3C.D.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于()A.B.C.D.7.如图，AB是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为()A.B.C.D.8.已知抛物线的顶点M关于坐标原点O的对称点为，若点在这条抛物线上，则点M的坐标为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9.在实数、、、0、中，无理数有______个.10.分解因式：______.11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______.12.如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点.若点D的坐标是，则的值为______.13.如图，，C是线段AB上一点，和是位于直线AB同侧的两个等边三角形，连接DE，若F为DE的中点，则的最小值为______.三、解答题：本题共13小题，共104分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.本小题8分计算：15.本小题8分解不等式：16.本小题8分解方程：17.本小题8分如图，在中，，，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将分为两个等腰三角形保留作图痕迹，不写作法18.本小题8分如图，点E，F在BC上，，AF与DE交于点O，且，求证：≌19.本小题8分我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数.20.本小题8分长安今西安在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等.小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园记为、华清宫景区记为、汉长安城未央宫遗址记为、杜陵遗址公园记为游玩.若劳动节当天小红一家从A ，B ，C ，D 四处景点随机任选一处去游玩，则选中B 的概率为______；若劳动节当天小红一家从A ，B ，C ，D 四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A 和D 的概率.21.本小题8分“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：活动目的测量风力发电机的塔杆高度测量工具无人机、皮尺等测量示意图说明：塔杆PD安装在斜坡CD 上且垂直于地面，用皮尺测量出CD 的长度，利用无人机分别在A 点、B点点在A 点的正上方测量出塔杆顶端P 的仰角和俯角测量数据斜坡CD的坡角CD 的长度18米AB 的长度53米点A 处测量的仰角点B 处测量的俯角请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度参考数据：，，22.本小题8分如图，深50cm 的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象.分钟后水面上升的速度为______；求直线BC 的解析式；求该容器注满水所用的时间.23.本小题8分近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为，，，四个等级，并绘制出不完整的统计图.其中B等级的成绩数据单位：分：80，86，80，82，84，86，86，89，81，根据以上信息，回答下列问题.抽取的总人数______，并补全条形统计图；在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数.24.本小题8分如图，AB为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接OD交BC于点求证：CD是的切线.若，，，求OE的长度.25.本小题8分已知抛物线为常数，与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为求抛物线的表达式；是抛物线上的点且在第二象限，过M作于N，求的最大值.26.本小题8分如图1，已知线段，平面内有一动点C，且，则BC的最小值为______.如图2，中，，，点D为BC的中点，点E为内一动点，，连接CE，过点E作，且，连接AF，求AF的长.某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在AB上有一点，连接CP，请你帮工人师傅计算CP是否存在最小值，若存在，请求出CP的最小值；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，的倒数为故选直接根据倒数的定义即可得出结论．本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、主视图为三角形，故本选项不符合题意；B、主视图为三角形，故本选项不符合题意；C、主视图为长方形，故本选项符合题意；D、主视图为圆，故本选项不符合题意．故选：找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．本题考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．3.【答案】C【解析】解：平分，，，，故选：先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式的法则，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：由题知，将点向右平移3个单位长度所得点的坐标为，则此点在函数的图象上，所以，解得故选：将点向右平移3个单位，将所得的点的坐标代入函数解析式即可．本题考查一次函数图象与几何变化，通过平移求出函数上点的坐标是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：连接AB，CD，如图，由网格图可知：，，，，，，，，∽，，，，∽，，，，故选：利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题是网格题目，利用网格线的特征，熟练应用平行线的性质和勾股定理是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：连接AD，BE，是圆的直径，，，，，，，故选：由圆周角定理得到，求出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，即可求出本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到8.【答案】C【解析】解：点点解得，故选：先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求解即可．本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点的坐标是解题的关键．9.【答案】2【解析】解：无理数有，，共2个．故答案为：无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．本题考查主要无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．10.【答案】【解析】解：，，故答案为：观察原式，找到公因式a，提出公因式后发现是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法完全平方公式要求灵活运用各种方法进行因式分解．11.【答案】10【解析】解：多边形是正五边形，正五边形的每一个内角为：，，正五边形的个数是故答案为：先求出多边形的每一个内角为，可得到，即可求解．本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．12.【答案】2【解析】解：如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，由几何意义得，，，，，点D的坐标是，，，，正方形ABCD的面积为4，，故答案为：由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形ABCD的面积为4，求出即可．本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数性质的应用，几何意义的应用是解题关键．13.【答案】【解析】解：延长AD，BE交于M，过F作直线，如图：和是等边三角形，，，，，四边形DCEM是平行四边形，为DE中点，为MC中点，在线段AB上运动，在直线l上运动，由知等边三角形ABM的高为，到直线l的距离，F到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点，连接，当F运动到与直线l的交点，即，F，B共线时，最小，此时最小值，故答案为：延长AD，BE交于M，过F作直线，推出F是到AB的距离等于的直线l上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值．本题考查轴对称-最短路线问题，涉及等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，求出F的运动路线是直线l是解题的关键．14.【答案】解：【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂的性质以及二次根式混合运算的法则计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．15.【答案】解：，，，，【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．16.【答案】解：原方程两边都乘，去分母得，去括号得：，移项，合并同类项得：，检验：当时，，故原方程的解为【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．17.【答案】解：如下图：点D即为所求．【解析】作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为所求．本题考查了复杂作图，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的判断是解题的关键．18.【答案】证明：，，即，，，在和中，，≌【解析】利用等式的性质可以证得，由等腰三角形的性质得到，根据AAS即可证得三角形全等．本题考查了全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，根据得到是证明三角形全等的关键．19.【答案】解：设这个问题中的牧童人数为x，根据题意得：，解得：答：这个问题中的牧童人数为【解析】设这个问题中的牧童人数为x，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．20.【答案】【解析】解：选中B的概率为，故答案为：；画树状图分析如下：由图可知，两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中同时选中A和D的有2种结果，所以同时选中A和D的概率为直接根据概率公式求解即可；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时选中A和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，由题意得：，米，，，设米，在中，，米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，米，米，该通信塔的塔杆PD的高度为31米．【解析】把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，根据题意可得：，米，，，设米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22.【答案】【解析】解：，故答案为：设直线BC的解析式为，将、代入，，解得：，则直线BC的解析式为当时，即，解得：答：该容器注满水所用的时间21分钟．由图象可知从3分钟到9分钟这段时间注入水10cm，根据速度=注水量时间可得；利用待定系数法即可求得；当时，即，求出x的值即可得知．本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．23.【答案】【解析】解：由图得：B等级有10人，占，，等级C的人数：人，补全条形统计图如图：故答案为：50；把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，84，85，86，86，86，中间两个数是84、85，中位数是分；B等级的众数是86分，故答案为：，86；人，答：估计学生的测试成绩不低于80分的有1200人．由图得B等级有10人，占，可求抽取的总人数m，从而可求出C等级的人数，即可补全条形统计图；根据众数、中位数的定义解答即可；用总人数乘A、B等级所占的百分比之和即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.【答案】证明：连接OC，是直径，，，，，，，，为的半径，是的切线；解：过点O作于点为的直径，，，，，，，，，，，，【解析】连接OC，证明即可；过点O作于点H，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据垂径定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：根据题意得：，解得，抛物线的表达式为；过M作轴于T，交AC于K，如图：、，，，直线AC解析式为，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，当时，的最大值为【解析】用待定系数法可得抛物线的表达式为；过M作轴于T，交AC于K，由、，可得，故，，，设，则，即得，，故，根据二次函数性质可得答案．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含的直角三角形三边关系，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．26.【答案】3【解析】解：以A为圆心，AC为半径，交AB于，则，当C与重合时，BC的值最小，，故答案为：3；连接AD，，，点D为BC的中点，，，在中，，，在中，，，，∽，，；存在，作的外接圆，圆心为E，连接AE，，过B作交PB的垂直平分线于D，交以D为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，，，是等边三角形，.，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，∽，，，，，在上运动，当P在CD上时，CP最小，在中，，的最小值为当C在线段AB上时，BC最短，从而可得答案；连接AD，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得，，进而可证∽，再由相似的性质求解即可；作的外接圆，圆心为E，连接AE，CE，BE，过B作交PB的垂直平分线于D，交以D 为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证∽，进而可得，则P在上运动，根据点圆最值求解即可；本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意找到动点的轨迹是解题的关键；。

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷一、选择题（共8小题）1．（3分）2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．22．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（）A．112°B．102°C．107°D．117°3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a4b2C．（2a2b3）3＝6a6b9D．3a2b•（﹣2a3b2）＝﹣6a5b34．（3分）如图，直线y＝ax+b经过A，B两点，直线y＝cx+d经过C，D两点，则a，b，c，d从小到大的排列顺序为（）A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜d＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜b＜d5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．2C．D．36．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D点，F边BC上一动点，过F作EF⊥CB交CA的延长线于点E，当四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等时，DF的长度为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，点B，C在⊙O上，点A在⊙O内，∠A＝∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，⊙O的半径长为（）A．2B．5C．D．8．（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m ﹣12，n），则n的值为（）A．48B．36C．24D．12二、填空题（共5小题）9．（3分）比较大小，（”＜”，“＞”或“＝”）．10．（3分）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的边AB重合，按照如图的方式叠放在一起，连接EB交HI于点K，则∠BKH的大小为．11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为a，E为对角线AC边上一点，且EA＝a，若EB＝EC＝ED＝2，则a的值为．12．（3分）如图，直线AB与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若AB＝2BC，则△ABO 的面积为．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，∠BDC＝∠BCA＝45°，∠BAC＝30°，若，则AC的长为．三、解答题（共13小题，解答题应写出必要过程）14．计算：．15．解不等式组：．16．解分式方程：．17．如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，请用尺规作图法，在射线AD上找一点E，使得∠AEC＝60°．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，G为DF的中点，分别延长AE，DC交于点H，求证：CG⊥DF．19．在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为．（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，请利用列表法或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．20．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？21．某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．数学竞赛成绩频数统计表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）请将频数分布直方图补充完整；（2）抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在组；（3）若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．小明与小亮要测量一建筑物CE的高度，如图，小明在点A处测得此建筑物最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对建筑物方向前进10m到达B处（即AB＝10m），测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，小亮在点G处竖立标杆FG，当小亮的所在位置点D，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，测得FG＝1.5m，GD＝2m．（1）求此建筑物的高度CE；（2）求小亮与建筑物CE之间的距离ED．（注：结果精确到1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈）23．一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度相同，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据：双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；（2）按小华的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳，请计算此时双层部分的长度．24．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点F，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．（1）求证：AC∥DE；（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的长．25．公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置OA，喷水口A距离水面的距离OA＝1.25米，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下．为了方便研究，以O为坐标原点，OA方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系．测得喷出的水流在离OA水平距离为0.75米的B处达到距水面的最大高度，同时经过距OA水平距离为2米，距水面的高度为0.75米的C点．（1）若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？26．提出问题如图①，⊙O与∠ABC的两边BA，BC相切于点P，Q，则BP，BQ的数量关系为．探究问题如图②，矩形ABCD的边，AB＝3，点P在AD上，连接BP，CP，求∠BPC的最大值．问题解决如图③，小明和小亮在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条AB，让一圆盘在木条AB上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条AB 的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，AC，BD，AB分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即AC++DB的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为4dm，请你帮助小明和小亮探究AC++DB的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠CBA＝∠CAB，然后再利用平行线的性质求出∠DAB＝107°，再根据对顶角性质求解即可．【解答】解：如图，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∵a∥b，∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°，∵∠2＝34°，∴∠CAB＝73°，∴∠DAB＝34°+73°＝107°，∴∠1＝∠DAB＝107°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键．3．【分析】根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故A不符合题意；B、6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a2，故B不符合题意；C、（2a2b3）3＝8a6b9，故C不符合题意；D、3a2b•（﹣2a3b2）＝﹣6a5b3，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．【分析】根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：由图可得：a＜c＜0，d＞b＞0，∴c＜a＜b＜d，故选：D．【点评】此题考查一次函数的图象，关键是根据一次函数的图象性质解答．5．【分析】根据垂直先求出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分别用三角函数求出AD、BD、DE的长，进而求出AE的长．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，∴∠C＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC＝AC sin45°＝AC＝4，在Rt△ADB中，AD＝4，∠ABD＝60°，∴BD＝AD tan30°＝AD＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，在Rt△EBD中，BD＝，∠EBD＝30°，∴DE＝BD tan30°＝BD＝，∴AE＝AD﹣DE＝．故选：C．【点评】本题考查含30度角的直角三角形，掌握此性质定理的应用，三角函数的应用是解题关键．6．【分析】由AB＝AC＝5，BC＝6，得CD＝6÷2＝3，AD⊥CB，由EF⊥CB，得AD∥EF，得△CAD∽△CEF，由四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等，得△CAD与△CEF面积比＝1：3，得CD：CF＝1：，即CD：DF＝1：（），由CD＝3，得DF＝3﹣3．【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴CD＝6÷2＝3，AD⊥CB，∵EF⊥CB，∴AD∥EF，∴△CAD∽△CEF，∵四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等，∴△CAD与△CEF面积比＝1：3，∴CD：CF＝1：，即CD：DF＝1：（），∵CD＝3，∴DF＝3﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形，解题关键是相似三角形的性质．7．【分析】延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据垂径定理求出BE＝BC＝5，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BD＝AB＝6，∠ADB＝60°，解直角三角形求解即可．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，连接OB，∵BC＝10，OE⊥BC于E，∴BE＝BC＝5，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AB＝6，∠ADB＝60°，∴DE＝BD﹣BE＝1，∵tan∠ODE＝＝，∴OE＝，∴OB＝＝2，∴⊙O的半径长为2，故选：A．【点评】此题主要考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．8．【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣12，n），可知A、B关于直线x＝﹣对称，所以A（﹣+6，n），B（﹣﹣6，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．【解答】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣12，n），∴A、B关于直线x＝﹣对称，∴A（﹣+6，n），B（﹣﹣6，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（﹣+6）2+b（﹣+6）+c＝﹣b2+36+c，∵b2＝4c，∴n＝36．故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是记住Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．二、填空题（共5小题）9．【分析】分别判断出、与3的关系，推得、的大小关系即可．【解答】解：＞3，＜3，∴＞．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是分别判断出、与3的关系．10．【分析】根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC的度数，根据正六边形的对角线，可得∠BAK的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝＝108°，由正六边形内角得，∠ABC＝＝120°，BE平分∠ABC，∠ABK＝60°，由四边形的内角和得，∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°，∴∠BKH＝180°﹣84°＝96°．故答案为：96°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式．11．【分析】根据菱形的性质得出AD＝AB＝BC＝CD＝a，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，连接BD，交AC于点O，∴AD＝AB＝BC＝CD＝a，AC⊥BD，OA＝，∵EA＝a，EB＝EC＝ED＝2，在Rt△AOD中，DO2＝AD2﹣OA2，在Rt△DEO中，DO2＝DE2﹣OE2，即AD2﹣OA2＝DE2﹣OE2，即，解得：（舍去），故答案为：1+．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．12．【分析】作AH⊥OC于H，BT⊥OC于T．设A（a，）．利用平行线分线段成比例定理，求出点B的＝S梯形AHTB，利用梯形的面积公式求解即可．坐标，再证明S△AOB【解答】解：如图，作AH⊥OC于H，BT⊥OC于T．设A（a，）．∵AH⊥OC于H，BT⊥OC于T，∴AH∥BT，∴，∵AB＝2BC，∴，∴AH＝3BT，∵AH＝∴BT＝，∴B（3a，），∵OH＝a，OT＝3a，∴TH＝2a，＝S△AOH+S梯形AHTB﹣S△OBT，S△AOH＝S△BOT，∵S△AOB＝S梯形AHTB＝（+）•2a＝，∴S△AOB故答案为：．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．13．【分析】作BE⊥CA，由∠BCA＝45°，BE⊥CA，得到CE＝BE，，进而得到点E为△CBD外接圆圆心，BE＝DE，∠EBD＝∠EDB，由BE⊥CA，AD⊥BD，得到EBAD四点共圆，∠EDB＝∠EAB＝30°，进而得到△EBD为顶角120°的等腰三角形，，在Rt△CBE和Rt △EBA中，根据三角函数，求出CE，EA的长，即可求解，【解答】解：过点B作BE⊥CA，交CA于点E，连接DE，∵∠BCA＝45°，BE⊥CA，∴CE＝BE，，∴点E为△CBD外接圆圆心，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BE⊥CA，AD⊥BD，∴EBAD四点共圆，∴∠EDB＝∠EAB＝30°，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴△EBD为顶角120°的等腰三角形，∴，在Rt△CBE中，，在Rt△EBA中，，∴，故答案为：．【点评】本题考查的是四点共圆，圆周角定理，圆周角定理的逆定理，锐角三角函数，连接辅助线得到△EBD为顶角120°的等腰三角形是解题的关键．三、解答题（共13小题，解答题应写出必要过程）14．【分析】先根据负整数指数幂、绝对值的意义和乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣5+2﹣﹣××（﹣×）＝﹣5+2﹣+4＝3﹣3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．15．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤，∴原不等式组的解集是﹣＜x．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．16．【分析】方程两边都乘（1+x）（1﹣x）得出（2x﹣1）（1﹣x）＝5﹣2x（1+x），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，＝﹣，方程两边都乘（1+x）（1﹣x），得（2x﹣1）（1﹣x）＝5﹣2x（1+x），2x﹣2x2﹣1+x＝5﹣2x﹣2x2，2x﹣2x2+x+2x+2x2＝5+1，5x＝6，x＝，检验：当x＝时，（1+x）（1﹣x）≠0，所以分式方程的解是x＝．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．17．【分析】作∠DCE＝∠BAD，交射线AD于点E，由∠ADB＝∠CDE，可得∠AEC＝∠B．结合等边三角形的性质可得∠B＝60°，则∠AEC＝60°．【解答】解：如图，作∠DCE＝∠BAD，交射线AD于点E，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠AEC＝∠B．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°．∴∠AEC＝60°．则点E即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．18．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，进而利用ASA证明△ABE与△HCE全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠HCE，∵点E为BC边的中点，∴BE＝EC，在△ABE与△HCE中，，∴△ABE≌△HCE（ASA），∴AB＝CH，∴DC＝CH，∵G为DF的中点，∴CG是△DFH的中位线，∴CG∥EH，∵DF⊥AE，∴CG⊥DF．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB＝CD解答．19．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，摸出的这个球是红球的概率为＝．故答案为：．（2）列表如下：红红白白红（红，红）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，∴两次摸出的球都是白球的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．【分析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设共有x人，y辆车，由题意得，，解得，，答：有39人，15辆车．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题的关键．21．【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，继而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，∴a＝200×0.3＝60，补全频数分布直方图如下：（2）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；故答案为：C；（3）b＝50÷200＝0.25，1500×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝825（人），答：估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数有825人．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）在Rt△CAE中，可得CE＝AE，从而BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，利用tan ∠CBE列出关于CE的方程，即可解决问题；（2）先证△FGD∽△CED，根据相似三角形的性质列出关于ED的方程，即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE，∵AB＝10m，∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，tan∠CBE＝tan53°＝＝，∴≈，解得CE≈40（m）；答：此建筑物的高度CE约为40m；（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，∴△FGD∽△CED，∴＝，即＝，解得ED≈53（m），答：小亮与建筑物CE之间的距离ED约是53m．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，三角形相似的判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出关于CE的方程求出CE的长．23．【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，再用待定系数法可得y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）根据背带的长度调为130cm得x+y＝130，即x+（﹣2x+152）＝130，即可解得答案．【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，把双层部分长度为2cm，单层部分长度为148cm和双层部分长度为8cm，单层部分长度为136cm代入得：，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）根据题意得：x+y＝130，∴x+（﹣2x+152）＝130，解得x＝22，∴双层部分的长度为22cm．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．24．【分析】（1）连接OE，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到OE⊥AC，利用圆的切线的性质定理得到OE⊥DE，再利用同垂直与第三条直线的两直线互相平行的性质解答即可；（2）利用等腰三角形的性质，平行线的性质和圆周角定理得到∠EAC＝∠DEC，∠AEB＝∠D，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴，∴OE⊥AC．∵DE为⊙O的切线，∴OE⊥DE．∴AC∥DE；（2）解：由（1）知：，∴AE＝EC＝6，∠EAC＝∠ECA，∵AC∥DE，∴∠DEC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠DEC．∵AC∥DE，∴∠D＝∠ACB．∵∠ACB＝∠AEB，∴∠AEB＝∠D，∴△EAF∽△DEC，∴，∴，∴AF＝．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．25．【分析】（1）依据题意，顶点的横坐标为0.75，故可设解析式为y＝a（x﹣0.75）2+k，又过A（0，1.25），C（2，0.75），进而可得方程组，求出a，k后得抛物线的解析式，再y＝0，求出x的值即可得解；（2）依据题意，当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，可设y＝﹣（x﹣m）2+n，把点（0，1.25），（3，0）代入抛物线解析式计算可得解析式，进而可以得解．【解答】解：（1）由题意，顶点的横坐标为0.75，∴可设解析式为y＝a（x﹣0.75）2+k．又过A（0，1.25），C（2，0.75），∴．∴．∴抛物线为y＝﹣（x﹣0.75）2+．令y＝0，∴0＝﹣（x﹣0.75）2+．∴x＝2.5或x＝﹣1（舍去）．∴水池的半径至少为2.5米．（2）由题意，可设y＝﹣（x﹣m）2+n，把点（0，1.25），（3，0）代入抛物线解析式得，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣）2+．∴水池的半径为3m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据顶点式求出二次函数的解析式是关键．26．【分析】（提出问题）：连接OP，OQ，OB，因为BA，BC是⊙O的切线，则∠BPO＝∠BQO＝90°，根据HL证明△BPO≌△BQO，则BP＝BQ.（探究问题）：过B，C作⊙O与AD相切于点E，交PC于F，连接BF，OB，OC，OE，CE，连接EO 并延长交BC于点G，则∠BEC＝∠BFC＝∠BPF+∠PBF，推出∠BPC≤∠BEC，因为⊙O与AD相切于点，所以OE⊥AD，则OG⊥BC，设OG＝m，则OB＝OE＝EG﹣OG＝AB﹣OG＝3﹣m，在Rt△EGO 中，利用勾股定理求出m＝1，则∠BOG＝60°，所以∠BOC＝120°，则∠BEC＝60°即∠BPC的最大（问题解决）：如图，连接OC，OE，OA、OD，OB，根据BA，AC，BD是⊙O的切线，得出∠ACO ＝∠AEO＝∠OEB＝∠ODB＝90°，又因为OC＝OE＝OD，则△ACO≌△AEO（HL），△BEO≌△BDO （HL），所以AC＝AE，BD＝BE，∠COA＝∠EOA.∠DOB＝∠EOB，得出AC+BD＝AE+BE﹣AB﹣4，所以AC++DB＝4+.因为•∠COD′，所以当∠COD最小时，的长取到最小值，又根据∠COD＝360°﹣（∠COE+∠DOE）＝3600﹣2（∠EOA+∠EOB）＝3600﹣2∠AOB，则当∠AOB最大时，∠COD最小，因为OE＝OC＝2，所以点O在直线NM上运动，作△AOB的外切圆⊙O，则⊙O与直线NM相切于点O，连接O0′，AO′，则有OO⊥AB，所以∠AOE＝60°，则∠AOB＝120°，所以∠COE+∠BOE＝2（∠AOE+∠BOE）＝240°，则∠COD最小值为120°，则最小值＝×120＝π，则AC++DB最小值为4+π．【解答】（提出问题）：连接OP，OQ，OB，∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BPO＝∠BQO＝90°，∵OP＝0Q，OB＝OB，∴△BPO≌△BQO（HL），∴BP＝BQ.（探究问题）：过B，C作⊙O与AD相切于点E，交PC于F，连接BF，OB，OC，OE，CE，连接EO 并延长交BC于点G，∴∠BEC＝∠BFC＝∠BPF+∠PBF，∴∠BPC≤∠BEC，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∴OG⊥BC，设OG＝m，则OB＝OE＝EG﹣OG＝AB﹣OG＝3﹣m，在Rt△EGO中，＝（3﹣m）2，∴∠BOG＝60°，∴∠BOC＝120°∴∠BEC＝60°即∠BPC的最大值为60°．（问题解决）：如图，连接OC，OE，OA、OD，OB，∵BA，AC，BD是⊙O的切线，∴∠ACO＝∠AEO＝∠OEB＝∠ODB＝90°，∵OC＝OE＝OD，∴△ACO≌△AEO（HL），△BEO≌△BDO（HL），∴AC＝AE，BD＝BE，∠COA＝∠EOA．∠DOB＝∠EOB，∴AC+BD＝AE+BE﹣AB﹣4∴AC++DB＝4+.∵•∠COD′，∴当∠COD最小时，的长取到最小值，又∵∠COD＝360°﹣（∠COE+∠DOE）＝3600﹣2（∠EOA+∠EOB）＝3600﹣2∠AOB，∴当∠AOB最大时，∠COD最小，∵OE＝OC＝2，∴点O在直线NM上运动，作△AOB的外切圆⊙O，则⊙O与直线NM相切于点O，连接O0′，AO′，则有OO⊥AB，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠COE+∠BOE＝2（∠AOE+∠BOE）＝240°，∴∠COD最小值为120°，∴最小值＝×120＝π，∴AC++DB最小值为4+π．【点评】本题考查圆的综合，圆与直线的位置关系，全等三角形的判定，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用。

高三年级模拟考试 数学（文）试题满分：150分， 考试时间：120分钟一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 2．函数1()ln(1)f x x =++ （ ）A ．[2,0)(0,2]- B ．(1,0)(0,2]- C ．[2,2]- D ．(1,2]-3．已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则 （ ）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=14．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．*1,+∞)D ．(0,+∞) 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ）A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n - 6.定义集合)(Y X C Y X U ⋂=*,则集合=**C B A )( ( )A. C C B A U ⋃⋂)(B. C C B A U ⋂⋂)(C. C B A C U ⋃⋂)(D. C B A C U⋂⋂)(7. 某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A .12B .C .D .8．已知等差数列{}n a 的公差0d <, 若462824,10a a a a ⋅=+=,则该数列的前n 项和n s 的最大值为A ．60B ．55C ．50D .459．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B.3 C. 2 D ．1 10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OAOB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．112π- B ．1π C ．21π- D ．2π二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________. 12．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________;n S =________.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.. 14．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求实数k 的取值范围．17.（本题满分12分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，⊥PD 底面A B C D ， E 为PC 中点，底面A B C D 是直角梯形.0//,90,AB CD ADC ∠=1,AB AD PD ===2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面APD ； （Ⅱ）求证：P B D P B C 平面平面⊥.19．（本小题12分）数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足222=-n n n a S a ．（Ⅰ）求证：数列}{2n S 为等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1424-=n n S b ， 求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值．20．（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN,求k 的值.数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，满分50分）二、填空题: （每小题5分，满分25分） 11．430x y --=； 12．1，2n； 13．154； 14．(0,1); 15．30≤<a . 三、解答题：16.解：（Ⅰ）由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.（Ⅱ）记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.17．解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++，依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32. …………6分 （Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦，由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤， 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤， 18．解：（I ）取PD 的中点F ，连结,E F A F ，因为E 为PC 中点，∴//EF CD ，且112E F C D ==， 在梯形A B C D 中，//,1A B C D A B =，∴//,,EF AB EF AB =四边形ABEF 为平行四边形，∴//,BE AFBE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴//BE 平面PAD .…………6分（II ）1,AB AD PD ===2CD =，则,BD BC ⊥PBD BC 平面⊥∴PBD PBC 平面平面⊥∴，19．解：（Ⅰ）∵122=-n n n a S a ，∴当n≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，整理得，1212=--n n S S （n≥2），又121=S ， ∴数列}{2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴n S n =2，又0>n S ，∴n S n =.∴n≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式，∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n . …………6分（Ⅱ）∵121121)12)(12(21424+--=+-=-=n n n n S b n n ， ∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1221211+=+-n nn ， 212n T n∴=+的最小值为23.…………12分 20．.解： (1)由题意得2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k-=+. 所以由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离d =,所以△AMN的面积为21||||212k S MN d k =⋅=+.由2||123k k =+,解得1k =±.另解（2）：310)(3213212121=-⨯⨯=-⨯⨯=x x k y y s21．解：（Ⅰ）2)(ln 1)(),,0()(x a x x f x f +-='+∞的定义域为，令a e x x f -=='10)(得，当)(,0)(,),0(1x f x f e x a >'∈-时是增函数； 当)(,0)(,),(1x f x f e x a <'+∞∈-时是减函数；∴111)()(,)(---===a a ae ef x f e x x f 极大值处取得极大值在，无极小值. …………4分（Ⅱ）①当21e e a <-时，即时1->a ，由（Ⅰ）知),0()(1a e x f -在上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，()11max ()a a f x f e e --∴== ，又当,0)(,x f e x a -==当时,(.0)(],0(2e e x x f e x a a --∈<∈当时 ],(.0)(],0(,02e e x x f e x a a --∈<∈当时当时，).0()(1-∈a e x f ，∴1)()(=x g x f 与图象的图象在],0(2e 上有公共点，⇔11≥-a e .解得1,1,1≥->≥a a a 所以又.②当121-≤≥-a e e a 即时，],0()(2e x f 在上是增函数，∴2222)(],0()(e ae f e x f +=上的最大值为在， 所以原问题等价于.2,1222-≥≥+e a ea解得又1-≤a ，∴无解， 综上，实数a 的取值范围是[)1,+∞. …………10分 （Ⅲ）令a =1，由（Ⅰ）知，l n 11(0),l n 1x x x x x+≤>∴≤-， n n 1)11ln(≤+∴，12ln 11)111ln(≤-≤-+∴ n n 相加得：nn n n n n 121112ln 1ln 1ln )1ln(+++≤++-++=+ 。