北京市石景山区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题

2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个、1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）A、B、C、D、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）A、B、2 C、D、3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为（）A、100°B、120°C、130°D、150°4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长为（）A、B、C、D、5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函数的图象可能是（）A、B、C、D、6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是（）A、m＞1B、m＜1C、m＞1且m≠0D、m＜1且m≠07、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）A、B、C、D、8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（本题共16分,每小题2分）9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为 、10、如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上、若∠ADE=∠C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC= 、11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm 、若点C 、D 是的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2、12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根据图中的数据,如果要使坡面BC 的坡度达到1:1.2,那么立柱AC 的长为 米、13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是、14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于、15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:、16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、下面是小美的设计（如图2）、作法:（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2、则、请回答,成立的理由是:①；②、三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、若a=2,sin,求b和c、20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由、21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是、23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F、（1）求证:△ADF∽△DCE；（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、24、（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1,﹣2）、（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时,求y的取值范围、25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、（1）求证:∠ABC=∠AED；（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）、（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、（1）当点P在线段AC上时,如图1、①依题意补全图1；②若EQ=BP,则∠PBE的度数为,并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个、1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）A、B、C、D、【分析】根据比例的性质,可得答案、【解答】解:A、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故A不符合题意；B、由比例的性质,得xy=12与3x=4y不一致,故B不符合题意；C、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故C不符合题意；D、由比例的性质,得3x=4y与3x=4y一致,故D符合题意；故选:D、【点评】本题考查了比例的性质,利用比例的性质是解题关键、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）A、B、2 C、D、【分析】本题需先根据已知条件,得出BC的长,再根据正切公式即可求出答案、【解答】解:∵∠C=90°,AB=,AC=2,∴BC=1,∴tanA==、故选:A、【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义,在解题时要根据在直角三角形中,正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键、3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为（）A、100°B、120°C、130°D、150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题、【解答】解:∵∠AOD=2∠ACD,∠ACD=25°,∴∠AOD=50°,∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°,故选:C、【点评】本题考查圆周角定理,邻补角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型、4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长为（）A、B、C、D、【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D 为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长、【解答】解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=2,∵OC⊥AB,∴D为AB的中点,则AB=2AD=2=2=4、故选:B、【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解本题的关键、5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函数的图象可能是（）A、B、C、D、【分析】由a＞0,b＜0,c＜0,推出﹣＞0,可知抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,由此即可判断、【解答】解:∵a＞0,b＜0,c＜0,∴﹣＞0,∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,故选:C、【点评】本题考查二次函数的图象,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是（）A、m＞1B、m＜1C、m＞1且m≠0D、m＜1且m≠0 【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出:方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围,此题得解、【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,∴△=22﹣4m＞0,∴m＜1、∴m＜1且m≠0、故选:D、【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式,利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键、7、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）A、B、C、D、【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,再过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,AC=4﹣1=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,得出AA′=2,然后根据平移规律即可求解、【解答】解:∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1,m）,B（4,n）,∴m=（1﹣2）2+1=1,n=（4﹣2）2+1=2,∴A（1,1）,B（4,2）,过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,∴AC=4﹣1=3,∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,∴AC•AA′=3AA′=6,∴AA′=2,即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3、故选:B、【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题关键、8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）A、B、C、D、【分析】当点N在AD上时,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时,MN长度不变,可得后半段函数图象为一条线段、【解答】解:设∠A=α,点M运动的速度为a,则AM=at,当点N在AD上时,MN=tanα×AM=tanα•at,此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2,∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分,当点N在DC上时,MN长度不变,此时S=×at×MN=a×MN×t,∴后半段函数图象为一条线段,故选:C、【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图、函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力、二、填空题（本题共16分,每小题2分）9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为4:9、【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方解答、【解答】解:因为两个相似三角形的周长比为2:3,所以这两个相似三角形的相似比为2:3,所以这两个相似三角形的面积比为4:9；故答案为:4:9、【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方、10、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上、若∠ADE=∠C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC=1、【分析】只要证明△ADE∽△ACB,推出=,求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,∴△ADE∽△ACB,∴=,∴=,∴AE=3,∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1,故答案为1、【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型、11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm、若点C、D是的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是cm2、【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点,通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中,可发现阴影部分正好是扇形AOB的,先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度,半径是3的扇形的面积皆可、【解答】解:S扇形OAB=,S阴影=S扇形OAB=×π=π、故答案为:【点评】此题考查扇形的面积问题,通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形,再求算扇形的面积即可、利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法、12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根据图中的数据,如果要使坡面BC的坡度达到1:1.2,那么立柱AC的长为2.5米、【分析】由坡度的概念得出=,根据AB=3可得AC的长度、【解答】解:根据题意知=,∵AB=3,∴=,解得:AC=2.5,故答案为:2.5、【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是熟练掌握坡度的定义、13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5、【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标,结合图象确定出所求x的范围即可、【解答】解:根据图象得:当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5,故答案为:﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,弄清数形结合思想是解本题的关键、14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于5、【分析】连接CD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD,求出圆的半径的长,再利用勾股定理列式进行计算即可得解、【解答】解:如图,∵∠C=90°,点D为AB的中点,∴AB=2CD=10,∴CD=5,∴BC=CD=5,在Rt△ABC中,AC===5、故答案为:5、【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,求出圆的半径的长是解题的关键、15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、【分析】根据对应点C与点F的位置,结合两三角形在网格结构中的位置解答、【解答】解:△ABC向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF,所以,过程为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、故答案为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、【点评】本题考查了几何变换的类型,平移、旋转,准确识图是解题的关键、16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、下面是小美的设计（如图2）、作法:（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2、则、请回答,成立的理由是:①平行线分线段成比例定理；②等底共高、【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得、【解答】解:由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C,依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C,再由△ABC1,△AC1C2与△AC2C等底共高知,故答案为:①平行线分线段成比例定理；②等底共高、【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图,解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系、三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案、【解答】解:原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=、【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键、18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、【分析】把解析式化为顶点式即可、【解答】解:∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22,∴二次函数的顶点坐标为（5,﹣22）、【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a（x﹣h）2+k中,顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h、19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、若a=2,sin,求b和c、【分析】先根据sinA=知c==6,再根据勾股定理求解可得、【解答】解:如图,∵a=2,sin,∴c===6,则b===4、【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理、20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由、【分析】（1）根据题意画出树状图,即可解决问题；（2）根据树状图,利用概率公式即可求得小红获胜的概率,由概率相等,即可判定这个游戏公平；【解答】解:（1）树状图如右:则小红获胜的概率:=,小丁获胜的概率:=,所以这个游戏比较公平、【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率,解题的关键是学会正确画出树状图,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平、用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比、、21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H,设AH=xm,根据正切的概念表示出CH、BH,根据题意列出方程,解方程即可、【解答】解:如图,作AH⊥BN于H,设AH=xm,∵∠ACN=45°,∴CH=AH=xm,∵tanB=,∴BH=x,则BH﹣CH=BC,即x﹣x=100,解得x=50（+1）、答:这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键、22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是（﹣2,0）或（6,0）、【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解:（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,∴2+b=0,∴b=﹣2,∴y=x﹣2,当x=3时,y=1,∴B（3,1）,代入y=中,得到k=3,∴反比例函数的解析式为y=、（2）∵△PAB的面积是2,∴•PA•1=2,∴PA=4,∴P（﹣2,0）或（6,0）、【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F、（1）求证:△ADF∽△DCE；（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB,即∠DAF=∠CDE,再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°,据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=,据此求得DC=9,再根据平行四边形的性质可得答案、【解答】解:（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠DAF=∠CDE,又∵CE ⊥AD 、DF ⊥BA,∴∠AFD=∠DEC=90°,∴△ADF ∽△DCE ；（2）∵AD=6、且E 为AD 的中点,∴DE=3,∵△ADF ∽△DCE,∴=,即=,解得:DC=9,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD=9、【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、24、（5分）二次函数y=x 2﹣2mx +5m 的图象经过点（1,﹣2）、（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x ≤1时,求y 的取值范围、【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得、【解答】解:（1）把点（1,﹣2）代入y=x 2﹣2mx +5m 中,可得:1﹣2m +5m=﹣2,解得:m=﹣1,所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣,（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6,∴当x=﹣1时,y取得最小值﹣6,由表可知当x=﹣4时y=3,当x=﹣1时y=﹣6,∴当﹣4≤x≤1时,﹣6≤y≤3、【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键、25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、（1）求证:∠ABC=∠AED；（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC,进而得出答案；（2）首先得出DC的长,即可得出FC的长,再利用已知得出BC的长,结合勾股定理求出答案、【解答】（1）证明:连接DC,∵AC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠BCD=90°,∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B, ∴∠BCA=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠ABC,∴∠ABC=∠AED；（2）解:连接BF,∵在Rt△ADC中,AD=,tan∠AED=,∴tan∠ACD==,∴DC=AD=,∴AC==8,∵AF=6,∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2,∵∠ABC=∠AED,∴tan∠ABC==,∴=,解得:BD=,故BC=6,则BF==2、【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识,正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键、26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）、（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解:（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3、（2）如图,易知抛物线的顶点坐标为（1,4）、观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时,t=3,当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时,t=2,∴满足条件的t的值为2＜t＜3、【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会寻找特殊点解决问题,属于中考常考题型、27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、（1）当点P在线段AC上时,如图1、①依题意补全图1；②若EQ=BP,则∠PBE的度数为45°,并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP；②依据题意得到DP=EP,再根据四边形内角和求得∠BPE=90°,根据BP=EP,即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD,PE,依据△CPD≌△CPB,可得DP=BP,∠1=∠2,根据DP=EP,可得∠3=∠1,进而得到∠PEB=45°,∠3=∠4=22.5°,△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、【解答】解:（1）①作图如下:②如图,连接PD,PE,易证△CPD≌△CPB,∴DP=BP,∠CDP=∠CBP,∵P、Q关于直线CD对称,∴EQ=EP,∵EQ=BP,∴DP=EP,∴∠CDP=∠DEP,∵∠CEP+∠DEP=180°,∴∠CEP+∠CBP=180°,∵∠BCD=90°,∴∠BPE=90°,∵BP=EP,∴∠PBE=45°,故答案为:45°；（2）思路:如图,连接PD,PE,易证△CPD≌△CPB,∴DP=BP,∠1=∠2,∵P、Q关于直线CD对称,∴EQ=EP,∠3=∠4,∵EQ=BP,∴DP=EP,∴∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠5=∠BCE=90°,∵BP=EP,∴∠PEB=45°,∴∠3=∠4=22.5°,在△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用,解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理、28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,推出直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,求出直线MN的解析式,利用方程组求出点N的坐标,观察图象即可解决问题、【解答】解:（1）如图1中,∵A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,∴点A,B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（,0）或（﹣2,1）,∵tan∠BAO==,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴∠BAC=∠ABC′=120°,故答案为120、（2）如图2中,设直线y=4交y轴于F（0,4）,∵C（0,）,∴CF=3,∵且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,∴∠CDF=∠CD′F=60°,∴DF=FD′=3•tan30°=3,∴D（3,4）,D′（﹣3,4）,∴直线CD的解析式为y=x+,或y=﹣x+、（3）如图3中,∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,∴直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,易知b=±2,∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2,由,解得或,∴N（﹣1,3）,N′（3,1）,由解得或,∴N1（﹣3,1）,N2（1,﹣3）,观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为:﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3、【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题、。

石景山区第一学期期末考试 高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分 π=T ……………7分 （Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄面面 1//BC A DE ∴面 ……4分（Ⅱ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1A CB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B ==………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-， 解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤.…………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2a =，又因为2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<， 由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <.所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数. 由题意知，3lg 2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②, 由①得3-1lg>-lg 20134n （），解得27.4n <,由②得3lg>-lg20134n，解得26.4n .即数列{}nb最多有26项.…………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2023-2024学年北京市石景山区高三上学期期末数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则()A.5B.C.D.3.展开式中含的项的系数为()A.8B.C.4D.4.已知向量，若，则()A. B.1 C.2 D.5.已知为等差数列的前n项和，若，则()A.24B.26C.28D.306.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.7.设函数，则()A.2B.5C.7D.108.在中，，则()A. B. C. D.9.设函数，则是()A.偶函数，且在区间单调递增B.奇函数，且在区间单调递减C.偶函数，且在区间单调递增D.奇函数，且在区间单调递减10.在正方体中，点P在正方形内不含边界，则在正方形内不含边界一定存在一点Q，使得()A. B.C.平面D.平面平面ABC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数的定义域为__________.12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________.13.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：并整理得到如右频率分布直方图，则图中的t值为__________，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________每组成绩用中间值代替14.已知命题p：若，则能说明p为假命题的一组的值为__________，__________.15.在数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则k的最大值是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

石景山区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A ．（￢p ）∨qB ．p ∨qC ．p ∧qD ．（￢p ）∧（￢q ）2． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．4D ．23． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 4． 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5． 已知椭圆（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞87． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >9． 若函数是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．C ．（0，2）D ．10．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2，则的值为（ ）A ．﹣2或﹣1B ．1或2C ．±2或﹣1D ．±1或212．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 二、填空题13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________．14．已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为 ．15．函数f （x ）=（x ＞3）的最小值为 ．16．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．17．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．18．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．三、解答题19．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？21．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；第二种方式可截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求tan tan AB的值；（Ⅱ）若a =4B π=，求ABC ∆的面积．23．已知=（sinx ，cosx ），=（sinx ，sinx ），设函数f （x ）=﹣．（1）写出函数f （x ）的周期，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）求f （x ）在区间[π，]上的最大值和最小值．24．已知函数，且． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．石景山区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）3一、选择题13．214．．15．12．16．﹣6．17．1918．2．三、解答题19．20．21．22．23．24．。