2010年全国高考文科数学试题及答案-新课标

2010年普通高等学校招生全国统一考试四川卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B ) =P (A )+P (B ) 24s R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)kkn kn P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}3,5,6,8A =,集合{}4,5,7,8B =,则A B 等于（ ）A . {}3,4,5,6,7,8B . {}3,6C . {}4,7D .{}5,8 2.函数2log y x =的图象大致是（ ）A. B. C . D .3.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）A .1B . 2C . 4D . 84.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。

为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）A .12,24,15,9B .9,12,12,7C .8,15,12,5D .8,16,10,65. 函数2()1f x x m x =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（ ）A.2m =-B.2m =C.1m =-D.1m =6. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=( )A.8B.4C. 2D.17. 将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. sin(2)10y x π=- B.sin(2)5y x π=-C. 1sin()210y x π=-D.1sin()220y x π=-8. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱9、由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A .36 B. 32 C .28 D .24 10.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.02⎛ ⎝⎦ B.10,2⎛⎤⎥⎝⎦C.)1,1 D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、设0a b >>，则211()a aba ab ++-的最小值是（ ）A .1B . 2C .3D 412、如图1，半径为R 的球O 的直径A B 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段A C 、A D 分别与球面交于点M ，N ，那么M 、N 两点间的球面距离是( )A. 17arccos 25RB. 18arccos 25RC.13R πD. 415R π图1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13.42()x x-的展开式中的常数项为 .（用数字作答）14. 直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB = . 15. 如图2，二面角l αβ--的大小是60︒，,AB B l α⊂∈，AB 与l 所成的角为30︒，则AB 与平面β所成角的正弦值是 .16. 设S 为实数集R 的非空子集，若对任意的,x y S ∈,都有,,x y x y xy S +-∈,则称S 为封闭集，下列命题：① 集合{},S a b =+为整数为封闭集；② 若S 为封闭集，则一定有0S ∈； 图2 ③ 封闭集一定是无限集；④ 若S 为封闭集，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页, 满分150分, 考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 31=.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A ，B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A ，B 独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集=R U ，集合{}240M x x =-≤ ，则U M =ð （ ）A.{}22x x -<<B.{}22x x -≤≤C.{}22x x x <->或D. {}22x x x ≤-≥或2. 已知2i i(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a （ ）A. -1B. 1C. 2D. 33. 函数)13(log )(2+=xx f 的值域为 （ ）A.(0,)+∞B.[)0,+∞C.(1,)+∞D.[)1,+∞4. 在空间，下列命题正确的是 （ ） A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行5.设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22()xf x x b b=++为常数，则(1)f -=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 36. 在某项体育比赛中，七位裁判为一位选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为（ ） A. 92，2 B. 92 ，2．8C. 93，2D. 93，2．87. 设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为21812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件9. 已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为 （ ） A.1x = B.1x =-C.2x =D.2x =-10. 观察2'()2x x =，4'3()4x x =,(cos )'sin x x =-. 由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()()g x f x 为的导函数，则()g x -= （ ）A.()f xB.()f x -C.()g xD.()g x -11.函数22xy x =-的图象大致是 （ ）ABCD12. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),()m v p q ==⋅a b ，令a ⊙ .mq np =-b 下面说法错误的是 （ ） A. 若a 与b 共线，则a ⊙0=bB. a ⊙=b b ⊙aC. 对任意的,()λλ∈R 有a ⊙(λ=b a ⊙)bD. (a ⊙222)()||||2+⋅=b a b a bD.2222()()a b a b ab +⋅=e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.13.执行右图所示流程框图，若输入4x =，则输出y 的值为____________________． 14. 已知,x y +∈R ，且满足134x y +=，则xy 的最大值为____________________．15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,， 若2cos sin ,2,2=-==B B b a ，则角A 的大小为 .16.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos cos (0)f x x x x ωωωω=π-+＞的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令*21()1n n b n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m +＜的概率. 20. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ABCD ⊥平面,PD ∥MA ,E G F ,,分别为MB ，PB PC ,的中点，且2AD PD M A ==． （Ⅰ）求证：平面EFG PDC ⊥平面;（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．21. （本小题满分12分） 已知函数1()11().a f x nx ax a x-=-+-∈R（Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．22. （本小题满分14分） 如图，已知椭圆12222=+by ax (0)a b >>过点（1，22），离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和,C D O ,为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF ，2PF 斜率分别为1k 2k ,．（ⅰ）证明：12132k k -=；（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使得直线O A O B O C O ,,,的斜率O A O BO COk kkk ,,,满足0O A O B O C O D k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案评分说明： 1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13.54-14.3 15.6π 16.22(3)x y -+=4三、解答题17. 本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分12分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知21)42sin(22)(++=πx x f ，所以21)44sin(22)2()(++==πx x f x g .当60π≤≤x 时，2444πππ≤+≤x ，所以1)44sin(22≤+≤πx .因此 1()2g x ≤≤，故()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为1． 18. 本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力. 解：（Ⅰ）设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d . 由于a 3=7，a 5+ a 7=26， 所以 a 1+2d =7，2a 1+10d =26，解得 a 1=3，d =2.由于 a n = a 1+（n -1）d ，S n = 12n (a 1+ a n ),所以a n =2n +1, S n =n 2+2n . （Ⅱ）因为a n =2n +1，所以 a n 2-1=4n （n +1），因此1111()4(1)41n b n n n n ==-++. 故 T n =b 1+ b 2+…+ b n = 14(1-12+ 12-12+…+1n-11n +)=14(1-11n +)=4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)n n +.19. 本小题主要考察古典概型、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个. 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2, 1和3两个.因此所求事件的概率为13.（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m , n ）有： （1,1），（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1），（3,2）, （3,3） （3,4）,（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.又满足条件n ≥ m +2 的事件为（1,3），（1,4），（2,4），共3个，所以满足条件n ≥ m +2 的事件的概率为1316P =.故满足条件n <m +2 的事件的概率为.20. 本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力，满分12分. （Ⅰ）证明：由已知,,MA ABCD PD MA ⊥平面∥ 所以PD ABCD ∈平面. 又BC ABCD ⊂平面， 所以P D D C ⊥.因为四边形ABCD 为正方形， 所以B C D C ⊥. 又=PD D C D ⋂， 因此BC PDC ⊥平面.在P B C 中，因为G , F 分别为PB ，PC 的中点， 所以G F P C ∥， 因此GF PDC ⊥平面. 又GF EFG ⊂平面，所以EFG PDC ⊥平面平面．（Ⅱ）解：因为PD ABCD ⊥平面,四边形ABCD 为正方形，不妨设=1M A ， 则 ==2P D A D， 所以1=3P -A B C D A B C D V S 正方形·8=3P D .由于DA MAB ⊥面，且P D M A ∥所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥 322212131V MAB -P =⨯⨯⨯⨯=，所以4:1V V ABCD -P MAB -P =：.21. 本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.满分12分.解：（Ⅰ）当=-=)(1x f a 时，2ln 1,(0,).x x x x++-∈+∞所以)('x f 222,(0,)x x x x+-=∈+∞，因此，）（12=f即曲线()2(2)) 1.y f x f =在点（，处的切线斜率为 又,22ln )2(+=f所以曲线()2(2))(ln 22)2,y f x f y x =-+=-在点（，处的切线方程为ln 20x y -+=即.（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xa ax x x f ，所以211)('xa a xx f -+-=221xa x ax-+--=，),0(+∞∈x .令,1)(2a x ax x g -+-=(0,).x ∈+∞（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时，所以当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递.（2）当0a f x '≠时,由()=0，即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==-.①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当110,1102a a<<->>时(0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增；1(1,),()0x h x a ∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增； 当12a =时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a-上单调递增；函数1()(1,)f x a-+∞在上单调递减，22. 本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力.（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，2），e =2.所以221112ab+=，2c a=．又222a b c =+，所以11a b c ===，.故所求椭圆方程为2212xy +=．（Ⅱ）（ⅰ）证明：方法二:1,1,,P 00200100-=+=x y k x y k y x 则）（设因为点P 不在x 轴上，所以00≠y .又200=+y x ， 所以22241313100000021==-=--+=-y y y x y x y x k k ）（.因此结论成立.（ⅱ）解：设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，(,)D D D x y ．12,1,0,0,022222--=+≠≠≠k k k k k x x OD OC D c ，故1222122()11O A O B O C O D k k k k k k k k +++=-+--2212112222122(1)(1)k k k k k k k k -+-=---121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---.若0O A O B O C O D k k k k +++=，须有12k k +=0或12k k =1．① 当12k k +=0时，结合（ⅰ）的结论，可得2k =－2，所以解得点P 的坐标为（0，2）；② 当12k k =1时，结合（ⅰ）的结论，可得2k =3或2k =－1（此时1k =－1，不满足1k ≠2k ，舍去 ），此时直线CD 的方程为3(1)y x =-，联立方程2x y +=得54x =，34y =因此53 (,)44 P．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，（54，34）.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

【教师简评】本试卷整体上明显比去年加大了难度，整套题对程度中等的学生来说有比较有难度，估计最后的考试分数不会特别理想。

试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

体现了“稳中求变，深化能力”的主导思想。

知识分布还是比较广的，题的形式稳定，延续以前试题格式。

本套试卷基础与能力并重，前6题都是常见题，在考场上能够稳定学生情绪，第10、11、12三题是较为综合性的试题，这是近几年来全国1套试卷难度最大的，填空题难度不算大。

主观题试题类型都是常规题，难度和运算量仍然不小。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12(D) 2 【答案】C【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：(6)给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。