1.1 空间几何体基础解答题
一．解答题（共24小题）
1．（2009?奉贤区二模）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用
此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？
2．如图，ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．
（1）判断四边形MNA′C′的形状；
（2）求四边形MNA′C′的面积．
3．圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积．4．（2016?嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．
（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；
（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
5．（2011秋?台州期末）已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．（Ⅰ）求圆锥的侧面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．
6．已知等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体．（1）当∠A=60°时，求此旋转体的体积；
（2）比较当∠A=60°、∠A=45°时，两个旋转体表面积的大小．
7．如图所示，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，若BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？
8．（2013秋?临海市校级月考）如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹．）
9．（2013秋?老城区校级月考）如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（1）试判断该几何体是什么几何体；
（2）画出其侧视图（尺寸不作严格要求），并求该平面图形的面积．
10．（2012?黄浦区二模）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去一个角后所得的几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如图所示．请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）
（2）若截面△MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V．
11．（2016?普陀区一模）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
12．（2016?崇明县二模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=6，三棱柱ABC ﹣A1B1C1的体积为18．
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小．
13．（2016?静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P﹣ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积．
14．（2016春?华蓥市期末）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
15．（2016春?双鸭山校级期末）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16π
，OA=2，∠AOP=120°．试求三棱锥A1﹣APB的体积．
16．（2016春?虹口区期中）如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
（3）若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．
17．（2014春?鄂州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点
（1）证明：四边形EFBD是一个梯形；
（2）求三棱台CBD﹣C1FE的体积．
18．（2013?普陀区一模）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？
19．（2013秋?东昌区校级期中）如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积．
20．（2010?徐汇区校级模拟）斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．21．（2009秋?开平市期末）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
22．（2007?杨浦区二模）（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）当异面直线AD1与EC所成角为60°时，请你确定动点E的位置．
（2）求三棱锥C﹣DED1的体积．
23．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积．
（1）如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=．
（2）如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=．
24．已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积．
1.1 空间几何体基础解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共24小题）
1．（2009?奉贤区二模）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用
此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？
【分析】利用体积求出底面面积，然后求出V B﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．
【解答】解：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
V ABC﹣A1B1C1=S△ABC?AA1
=?AC?BC?4=10，得：AC?BC=5（4分）
V B﹣ADEC=S△ADEC?BC
=?（AD+CE）?AC?BC=2.5（4分）
此容器最多能盛水：V ABC﹣A1B1C1﹣V B﹣ADEC=7.5（L）．（4分）
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．
2．如图，ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．
（1）判断四边形MNA′C′的形状；
（2）求四边形MNA′C′的面积．
【分析】（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得MN∥A′C′∥AC，且MN= A′C′=AC，进而可判断四边形MNA′C′的形状；
（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）∵ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，M，N分别是CD和AD的中点．
∴AC=a，MN∥A′C′∥AC，且MN=A′C′=AC=，
故四边形MNA′C′为梯形；
（2）由长方体ABCD﹣A′B′C′D′的高为2a，
故梯形的高为=a，
故四边形MNA′C′的面积S=（+a）×a=a2．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，梯形面积的求法，难度不大，属于基础题．
3．圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积．
【分析】由题意知，截面为等腰梯形，求出上下底边长及高即可．
【解答】解：由题意知，截面为等腰梯形，
上底边长为2×=8；
下底边长为2×=16；
梯形的高为=；
故截面面积S=×（8+16）×=12（cm2）．
【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．
4．（2016?嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．
（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；
（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
【分析】（1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．
【解答】解：（1）设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣x，0＜x＜2．
∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．（0＜x＜2）．
（2），
∴当x=1时，S圆柱侧取最大值2π，
此时，r=1，所以．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．
5．（2011秋?台州期末）已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．
（Ⅰ）求圆锥的侧面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．
【分析】（I）先利用正视图正三角形的性质，计算圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得圆锥的侧面积；
（II）利用圆锥的体积计算公式，先算小圆锥的体积，再用大圆锥的体积减小圆锥的体积，即可得圆台的体积，进而得两部分体积之比
【解答】解：（Ⅰ）由题意得圆锥底面半径r=1，母线长l=2．∴S侧=πrl=2π．
（Ⅱ）设圆锥的高为h，则h=，r=1，
∴小圆锥的高h′=，小圆锥的底面半径r′=，
∴．．
∴V圆台=V圆锥﹣V小圆锥=Sh﹣S′h′==．
∴．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积计算公式，圆锥的体积计算公式，圆台体积的计算方法，求分割几何体的体积之比的计算方法，属基础题
6．已知等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体．（1）当∠A=60°时，求此旋转体的体积；
（2）比较当∠A=60°、∠A=45°时，两个旋转体表面积的大小．
【分析】过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，结合圆锥的侧面积公式和体积公式，可得答案．
【解答】解：过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，
（1）当∠A=60°时，
∵AB=2，
故CD=，
此时旋转体的体积V=π（DA+DB）=πAB=2π；
（2）当∠A=60°，AC=BC=2，
旋转体的表面积=2×（π××2）=4，
当∠A=60°，AC=BC=，
CD=1，
旋转体的表面积=2×（π×1×）=2π．
【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积表面积公式，难度不大，属于基础题．
7．如图所示，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，若BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？
【分析】设AF=x，结合菱形的边长相等及勾股定理，可得菱形BED1F的边长为，进而可得BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形．
【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
BC1=AD1=，
设AF=x，则﹣x=，
解得：x=，
即菱形BED1F的边长为﹣=，
则BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，
其面积为：．
【点评】本题考查的知识点是平行投影，其中分析出BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，是解答的关键．
8．（2013秋?临海市校级月考）如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹．）
【分析】在OABC的等腰梯形中，作出EC⊥OA于E，BA⊥OA于F，利用斜二测画法画出直观图．
【解答】解：
【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤．
9．（2013秋?老城区校级月考）如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（1）试判断该几何体是什么几何体；
（2）画出其侧视图（尺寸不作严格要求），并求该平面图形的面积．
【分析】（1）根据空间几何体的正视图和俯视图即可判断该几何体的直观图．
（2）根据空间几何体的结构，即可得到该几何体的侧视图．
【解答】解：（1）由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．
（2）侧视图（如图）
其中AB=AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，
即是棱锥的高，，
所以侧视图的面积为．
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图，比较基础．
10．（2012?黄浦区二模）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去一个角后所得的几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；（主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如图所示．请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内）
（2）若截面△MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V．
【分析】（1）根据三视图的定义可画出该几何体的三视图
（2）由正三角形△MNH是的边长，先求出截掉的三棱锥的棱长和体积，用正方体的体积减掉小三棱锥的体积即可
【解答】解（1）
（2）设原正方体中由顶点B1出发的三条棱的棱长分别为B1M=x，B1N=y，B1H=z．
结合题意，可知，，解得．
因此，所求几何体的体积=
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式是关键
11．（2016?普陀区一模）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；
（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1=cm．
∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×（122×30﹣×122×16）=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2，
圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，
圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．
故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．
故制造50个这样的笼具总造价为：元．
答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．
【点评】本题考查了圆柱，圆锥的表面积和体积计算，属于基础题．
12．（2016?崇明县二模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=6，三棱柱ABC ﹣A1B1C1的体积为18．
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BC1与AA1所成角的大小．
【分析】（1）通过三棱柱的体积求出底面积，通过三角形的面积求出，然后求解三棱柱的表面积．
（2）说明∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角通过解三角形求解即可．
【解答】解：（1）因为三棱柱的体积为，AA1=6．S△ABC?AA1=18．
从而，因此．…（2分）
该三棱柱的表面积为．…（4分）
（2）由（1）可知
因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，…（8分）
在Rt△BC1C中，，所以∠BC1C=．
异面直线BC1与AA1所成的角…（12分）
【点评】本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．
13．（2016?静安区二模）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P﹣ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积．
【分析】正六棱锥P﹣ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积．
【解答】解：设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA=OP=2，∴OM=，
∴S底=6××2×=6．
∴V=×6×2=4．…6分
∵PM==．…8分
∴S侧=6××2×=6．…12分．
【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面是大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．
14．（2016春?华蓥市期末）如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
【分析】（1）利用S表面积=2S底+S侧，求圆柱的表面积；
（2）求出三棱锥、圆柱的体积，即可求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
【解答】解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．
（1）圆锥的高h==2，
又∵h′=，
∴h′=h．∴=，∴r=1．
∴S表面积=2S底+S侧=2πr2+2πrh′
=2π+2π×=2（1+）π．…（6分）
（2）所求体积
=…（12分）
【点评】本题考查圆柱的表面积、三棱锥、圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（2016春?双鸭山校级期末）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16π
，OA=2，∠AOP=120°．试求三棱锥A1﹣APB的体积．
【分析】利用侧面积公式计算AA1，计算出AP，BP代入棱锥的体积公式即可得出三棱锥A1﹣APB的体积．
【解答】解：S圆柱侧=2π?OA?AA1=4π?AA1=16π，
∴AA1=4，
∵∠AOP=120°，OA=OP=2，
∴AP=2，BP==OA=2．
∴V===．
【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
16．（2016春?虹口区期中）如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
（3）若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．
【分析】（1）代入面积公式和体积公式计算即可；
（2）三棱锥的高为定值，边AB为定值，故当C到直线AB的距离取得最大值时，底面积最大，故棱锥的体积最大；
（3）反向延长AB至C′，使得AC=AC′，则C′D为CE+DE的最小值．
【解答】解：（1）圆柱的侧面积S侧=2πrh=2π×1×2=4π．
圆柱的体积V=πr2h=π×12×2=2π．
（2）三棱锥P﹣ABC的高h=2，底面三角形ABC中，AB=2，点C到AB的最大值等于底面圆的半径1，
∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值等于××2=．
（3）将△PAC绕着PA旋转到PAC′使其共面，且C′在AB的反向延长线上．
∵PA=AB=2，，，BC′=3，
由余弦定理得：，
∴CE+ED的最小值等于．
【点评】本题考查了圆柱的结构特征，面积与体积计算，属于基础题．
17．（2014春?鄂州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点
（1）证明：四边形EFBD是一个梯形；
（2）求三棱台CBD﹣C1FE的体积．
【分析】（1）利用梯形定义证明，EF∥BD，显然DE、BF不平行；
（2）利用棱台的体积公式计算，分别计算上下底面积，CC1为高．
【解答】（1）证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E、F分别是两条棱的中点，
∴EF∥B1D1，由B1D1∥BD，∴EF∥BD，显然DE、BF不平行，
∴四边形EFBD是一个梯形；
（2）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点，
∴C 1E=C1F=1，=C1E×C1F=
S△CBD==2，CC1=2，
V CBD﹣C1FE==．
【点评】本题考查线线平行，及棱台的体积计算，掌握基本定理及公式是关键，属基础题．
18．（2013?普陀区一模）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？
【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；
（2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量．
【解答】解：（1）∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，
∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，
∴两个半球的体积之和为cm3…（2分）
而cm3…（2分）
∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…（4分）
（2）根据题意，上下两个半球的表面积是
cm2…（6分）
而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…（8分）
∴1个“浮球”的表面积为m2
因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2…（10分）
∵每平方米需要涂胶100克，
∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）…（12分）
答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…（13分）
【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．
19．（2013秋?东昌区校级期中）如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积．
【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可．
【解答】解：图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积，
得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，
半球的表面积为．
圆柱的底面半径为2，高为4，
∴圆柱的底面积为π×22=4π，
圆柱的侧面积为2π×2×4=16π，
∴该几何体的表面积为8π+4π+16π=28π．
【点评】本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．比较基础．
20．（2010?徐汇区校级模拟）斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．
【分析】（1）先判断斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．
（2）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．
【解答】解：（1）∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，
∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．
∴
（2）过A1作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A1D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则
AD=，A1D=，∴AO=，A1O=
∴V=×a=
【点评】本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法，属于立体几何的基础题．
o' x' C A 《空间几何体》单元测试题 一．选择题（共10小题，每小题5分） 1、下列命题正确的是（ ） A 、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B 、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； C 、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； D 、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。 2、圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 3、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（ ） A 、原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ’ 轴，长度不变； B 、原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ’ 轴，长度变为原来的 2 1； C 、在画与直角坐标系xoy 对应的x ‘o ’y ’时， x ’o ’y ’必须是?45 D 、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。 4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为?45，腰和上底长均为1的 等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A 、2221+ B 、2 2 1+ C 、21 + D 、22+ 5、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）. ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 6、如果两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A 、8:27 B 、2:3 C 、4:9 D 、2:9 7如图是长宽高分别为3、2、1在A 处， C '处有一小虫被蜘蛛网粘住，则蜘蛛沿正 方体表面从A 点爬到点 C '的最短距离为（ ） A 、31+ B 、102+ C 、23 D 、32
」、 知识回顾 （1） ___________________________________________________ 棱柱、棱锥、棱台的表面积 =侧面积+ ___________________________ ； （2） 圆柱：r 为底面半径，I 为母线长 侧面积为 ________________ 表面积为 __________________ 圆锥：r 为底面半径，I 为母线长 侧面积为 ________________ 表面积为 __________________ 圆台：r' r 分别为上、下底面半径，I 为母线长 侧面积为 ________________ 表面积为 ______________________________ （3）柱体体积公式： _______________________ L 锥体体积公式： _________________________ L 台体体积公式： _________________________ L （S' S 分别为上、下底面面积，h 为高） 二、 例题讲解 题1：如图⑴所示，直角梯形ABCD 绕着它的底 边AB 所在的直线旋转一周所得的几何体的表面 积是 _______________ 体积是 _________________ 。 图（1） 题2：若一个正三棱柱的三视图如图（2）所 示, 求这个正三棱柱的表面积与体积 图（2） （S 为底面积，h 为 高） B 严 3 ■*! C
题3:如图（3）所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形， 且. ADE ， BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2,则该多面体的体积为（ ） 2、如图⑷，在正方体 ABCD -A I B I C I D I 中, 棱长为2，E 为A i B i 的中点，贝U 三棱锥E - AB i D i 的体积是 _______________. 3、已知某几何体的俯视图是如图（5）所示的矩形，正 视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形. （1） 求该几何体的体积V; （2） 求该几何体的侧面积S O （选做题）4、如图（6），一个圆锥的底面半径为2cm ， 高为6cm ，在其中有一个高为XCm 的内接圆柱。 .3 3 1、若圆柱的侧面积展开图是长为 6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为 C . D . 3 图 （3） F 图 （4）
空间几何体知识点 第一章空间几何体复习 基础知识 （一）空间几何体的结构 一、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE -A B C D E 或用对角线的端点字母。 几何特征：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形; ③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P -A B C D E 几何特征：①侧面、对角面都是三角形； ②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P -A B C D E 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行； ③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形
（5）圆锥' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥，截面和底面之间的部分。定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 知识拓展 1. 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱； 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体； 侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体； 棱长都相等的长方体叫做正方体，其中长方体对角线的平方等于同一顶点 上三条棱的平方和. 2. 特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱 锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体. 3. 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台 各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高 4. 球心与球的截面圆心的连线垂直于截面 5. 规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面 上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱. 定义：用一个平行于
必修空间几何体试题及 答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
必修2第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ） ：2：3 ：3：5 ：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) :27 B. 2:3 :9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及 体积为： πcm 2，12πcm 3 πcm 2，12πcm 3 πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2，则此球的体积为 （ ） A.33 4cm π B. 386cm π C. 36 1cm π D. 366cm π 8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B ．212cm π C ．216cm π D ．220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 A 1 B 1
第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图
（数学2必修） 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A 3 B . 23 C . 33 D . 33．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A 3 B 32 C ．23 D 33 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 主视图 左视图 俯视图
顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。 （1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？ 2．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 新课程高中数学训练题组 （数学2必修）第一章 空间几何体 [综合训练B 组] 一、选择题
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
空间几何体单元测试卷答案 一、选择题 （每小题5分， 共30分） 1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 、 填空题 （每小题5分， 共 20 分) 7. 球 8. R 9. . 2 10. 50cm 2 三、 解答题 （共3小题，共 50分） 11. 解：（1）设正四棱柱的底面边长为 a ，高为h , 由题意 2a 2 + h 2= 81 ① ............................................................................ 2 分 2a 2 + 4ah = 144 即 a 2 + 2ah = 72 ② ........................ 4 分 ①X 8 —②X 9 得 7a 2— 18ah + 8h 2= 0 即（7a — 4h ） （ a -2h ）= 0, ......... 6 分 因此7a — 4h = 0或a = 2h ,由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故 满足这些条件的正四棱柱有 2个. .................................. 8分 （2）由（1）得，正四棱柱的底面边长 a 和高h 满足7a = 4h 或a = 2h , 当7a = 4h 时，代入①可求得 a = 4, h=7;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=42X 7=112(cm 3). 当a = 2h 时，同理可得 r 30 360 … 八 当x = cm 时，S 取到最大值 cm 2. ............................................... 16分 7 7 2 3 1 13.解：(1)依题意，可得—r - 108 ① ................................ 3分 3 6 且-r 3 r 2h 108 ② ................... 6分 3 3 r 27 ,.?? r 3 (cm)；代入②可求得 h 10 (cm).…9分 （2）若将试管垂直放置，并注水至水面离管口 4cm 处，此时水的体积为 2 3 2 2 2 12分 a = 6, h=3;此时正四棱柱的体积为 V=a 2h=62X 3=108(cm 3). 12.解：如图SAB 是圆锥的轴截面，其中 SO = 12, OB = 5. 设圆 锥内接圆柱底面半径为 0Q = 乂，由厶SO 1CSOB , SO 1 _ SO O 1C OB ,SO 1 = SO OB OO 1 = SO — SO 1= 12—玛, 5 则圆柱的表面积 19分 S = S 侧+ 2S 底=2 n x + 2 n x 2 = 2 n 7 2 12x — X 5 由①得 16分
空间几何体测试题 （满分100分） 一、选择题（每小题6分，共54分） 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 3.对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ．2 倍 D ．12倍 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． D 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 7．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ） A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 8．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9 9.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为 （ ） A ．1:( 2 -1) B ．1:2 C ．1: 2 D ．1:4 二、填空题（每小题5分，共20分） 10.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________. 主视图 左视图 俯视图
11．右面三视图所表示的几何体是 ． 12．已知，ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD 且AB>CD ，绕AB 所在的直线旋转一周所 得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体. 13．正方体1111ABCD A BC D - 中， O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为____________ 三、解答题（每小题13分，共26分） 14．将圆心角为0 120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 15. （如图）在底半径为2，母线长为4 求圆柱表面积。 正视图 侧视图 俯视图
第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
人教A必修2第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为： A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 选择题答题表 A B 1 正视图侧视图府视图
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：
高中数学 -《空间几何体》单元测试题 参考公式： 球的体积公式34 ,3 V R π= 球，其中R 是球半径． 锥体的体积公式V 锥体 1 3Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式V 台体1 ()3 h S SS S ''=++，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是 台体的高． 一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） （A ）2倍 （B ） 1 2 倍 （C ）2倍 （D ）2倍 2.下面哪一个不是正方体的平面展开图（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 3.已知棱台的体积是76cm 3，高是6cm ，一个底面面积是18cm 2，则这个棱台的另一个底面面积为（ ） （A ）8cm 2 （B ）7cm 2 （C ）6cm 2 （D ）5cm 2 4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后剩下的几何体的体积是（ ） （A ） 67 （B ）56 （C ）45 （D ）2 3 6.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的2倍，圆锥的高与底面半径 之比为（ ） （A ）4：3 （B ）1：1 （C ）2：1 （D ）1：2 7.圆柱的侧面展开图是矩形ABCD,母线为AD ，对角线AC=8cm ，AB 与AC 成角为30o ，则圆柱的表面积为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．
高一数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A . 3 B . 23 C . 33 D . 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ．3:1 B ．3:2 C ．2:3 D ．3:3 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 （ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时， 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC . 3. 空间图形是由点、线、面组成的 为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号表示：ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延 伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这 个公共点的直线 符号表示：A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图 形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：P b a = ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , (6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , 5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形. 6. 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?．
) C A B D ) ( ) 5 6 1 C B D 6 ) A i C B D 4 2 3: 9 A. 4 () .6 6 A.— 3 班别 第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 座号 姓名 成绩 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ A. 1 : 3 B. 1 : 1 C. 2 : 1 D. 3 : 1 A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 选择题 1、图（1） （本大题共10小题， 每小题5分, 是由哪个平面图形旋转得到的（ 的面积之比为（ A. 、3 B. 2 、3 C. 3 .3 D. 4 3 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V 和 V 2,贝U V 1： V 2= 5、如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 cm ）,则该几何体的表面积及体积为: 共 50 A.1 : 2: 3 B.1 : 3: 52: 4 D1 10、如右图为一个几何体的 府视图 8、 一个体积为8cm 3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A . 8 cm 2 B . 12 cm 2 C . 16 cm 2 D . 20 cm 2 9、 一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ C 1 B A C B 正视图 侧视图 .3 (D)32 2 3 n cm , 12 n cm D.以上都不正确 6 cm 2 ,则此球的体积为 三视图，其中府视图为 正三角形，A 1B 1=2, AA 1=4,则该几何体的表面积为 (A)6+ , 3 (B)24+ , 3 (C)24+2 7、一个球的外切正方体的全面积等于 3 cm 丄cm 3 3 cm 3 cm B.15 2 A.24 n cm, 3 12 n cm 2 C.24 n cm, 3 36 n cm
空间立体几何基础练习题 1、如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点. ⑴求证： //GH 平面CDE ；⑵求证： BD ⊥平面CDE . 2、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，E 是SD 的中点． （Ⅰ）求证：//SB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：AC BE ⊥． 3、长方体1111ABCD A B C D -中11,2AB AA AD ===.点 E 为ＡＢ中点. (I)求三棱锥1A ADE -的体积；(II)求证：1A D ⊥平面11ABC D ；（III ）求证：1BD // 平面1A DE .
4、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥；（Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 5、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PA 、BC 的中 点，且PD=AD=2。 （1）求证：MN ∥平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（3）求三棱锥P-ABC 的体积。 6、四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，AB AC =, 1,2==CD BC ．并且侧面ABC ⊥底面 BCDE ， （Ⅰ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：FG ∥面ABC ； （Ⅱ）若M 为BC 中点,求证：DM AE ⊥. A B C D E F G A B C D E M G F
空间几何体知识点总结 一、空间几何体的结构特征 1．柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 注：棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 圆锥的性质： ①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②轴截面是等腰三角形； 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。