§1．3．2函数的极值与导数（1课时）
【学情分析】：
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：
（1）理解极大值、极小值的概念.
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】：
极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤
教学
环节
教学活动设计意图
创设情景
观察图 3.3-8，我们发现，t a
=时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()
h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t a
=附近函数()
h t的图像，如图3.3-9．可以看出()
h a
'；在t a
=，当t a
<时，函数()
h t单调递增，()0
h t'>；当t a
>时，函数()
h t单调递减，()0
h t'<；这就说明，在t a
=附近，函数值先增（t a
<，()0
h t'>）后减（t a
>，()0
h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()
h t'先正后负，且()
h t'
连续变化，于是有()0
h a
'=．
对于一般的函数()
y f x
=，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
利用教材
在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，
并描述在x=1点及其附近导数的正负：
f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0
f=；
y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0
f x<；
y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0
f x>；
提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？
不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值
②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，
并描述在x=4点及其附近导数的正负：
学生模仿完成
考虑到极值
与最值容易
混淆，学生
对已有知识
的同化易接
受，我们以
§3.3.1中
的例1引出
极值的概
念，具体直
观，同时对
极值与最值
区分是一目
了然的。
概念抽象y=f(x)在定义域上可导，
①若'()0
f a=，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0
f x<；在x=a附近的右侧
满足'()0
f x>，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值
②若'()0
f b=，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0
f x>；在x=b附近的右侧
满足'()0
f x<，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值
由具体函数
图像抽象上
升到一般极
值概念
函数极值概念强化练习概念判断练习：
（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值
（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的
（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值
（４）函数的极值点，导数一定为零
（５）导数为零的点一定是函数的极值点
答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错
深化学生对
函数极值的
概念，以及
函数取极值
与
'()0
f a=
的逻辑关系
极值概念理解的总结提高（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极
小值，如下图所示，
1
x是极大值点，
4
x是极小值点，而)
(
4
x
f>)
(
1
x
f，如下图
f(x 2)f(x 4)
f(x 5)
f(x 3)
f(x 1)
f(b)
f(a)
x 5
x 4x 3x 2
x 1b a
x
O
y
如何
判别f (x 0)是
极大、
极小值
填空：
（1）若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数________，则0x 是)
(x f 的极值点，)(0x f 是极值，
（2）如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的_______点，)
(0x f 是_______； （3）如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的_______点，)
(0x f 是_______.
让学生总结判断极值的方法。
（１）异号；（２）极大值；极大值； （３）极小值；极小值
例题精讲
１、看图识极值（点）
f(x 2)f(x 4)
f(x 5)
f(x 3)
f(x 1)
f(b)
f(a)
x 5
x 4
x 3
x 2
x 1b a
x
O
y
说出极值点与相应的极值
２、求函数的极值（点）
例1．
（课本例4）求()3
1
443
f x x x =-+的极值 解： 因为()31443
f x x x =-+，所以()'2
4(2)(2)f x x x x =-=-+。
令()'
0f
x =，得2,2x x ==-
下面分两种情况讨论： （1）当()'
f
x >0,即2x >，或2x <-时；
（2）当()'
f x <0,即22x -<<时. 当x 变化时， ()'
f
x ，()f x 的变化情况如下表：
x
(),2-∞ —2
(-2,2)
2
()2,+∞
加强
对极值（点）的函数图像理解与认识
