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高中数学教案 3.2 函数的极值与导数

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§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图

创设情景

观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大ta附近函数()ht的图像，如图3.3-9．可以看出()ha；在ta，

当ta时，函数()ht单调递增，()0ht；当ta时，函数()ht单调递减，()0ht；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，()0ht）后减（ta，

()0ht）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()ht先正后负，且()ht

连续变化，于是有()0ha．

对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 利用教材在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念 ①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：

f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0f；

y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0fx； y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0fx； 提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？ 不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值 ②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负： 学生模仿完成

考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以§3.3.1中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。

概念抽象 y=f(x)在定义域上可导， ①若'()0fa，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0fx；在x=a附近的右侧满足'()0fx，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值 ②若'()0fb，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0fx；在x=b附近的右侧满足'()0fx，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值 由具体函数图像抽象上升到一般极值概念

函数极值概念强化练习 概念判断练习： （１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值 （２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的 （３）函数某区间上的极大值一定大于极小值 （４）函数的极值点，导数一定为零 （５）导数为零的点一定是函数的极值点 答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错

深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与

'()0fa的逻辑关系 极值概念理解的总结提高

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf，如下图 f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)

f(b)f(a)

x5x

4x

3

x2x1baxO

y

如何判别f(x0)是极大、极小值 填空： （1）若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数________，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值， （2）如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______； （3）如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的_______点，)(0xf是_______. 让学生总结判断极值的方法。 （１）异号；（２）极大值；极大值； （３）极小值；极小值

例题精讲

１、看图识极值（点） f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)

f(b)f(a)

x5x

4x

3

x2x1baxO

y

说出极值点与相应的极值 ２、求函数的极值（点） 例1．（课本例4）求31443fxxx的极值 解： 因为31443fxxx，所以'24(2)(2)fxxxx。 令'0fx，得2,2xx 下面分两种情况讨论： （1）当'fx>0,即2x，或2x时；（2）当'fx<0,即22x时. 当x变化时， 'fx，fx的变化情况如下表： x ,2 —2 (-2,2) 2 2, 加强对极值（点）的函数图像理解与认识 f(x)=13x3-4x+42-2xO

yy + 0 － 0 +

y ↗ 极大值283 ↘ 极小值43 ↗

因此，()极大值fx=28(2)3f； ()极小值fx=4(2)3f。

函数31443fxxx的图像如图所示。 对教材例1的处理方式： 要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。

例2、求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表

x ,1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1,

y － 0 － 0 + 0 +

y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

例3、 设32()fxaxbxcx，在1x和1x处有极值，且(1)f=－1,求a，b，c的值，并求出相应的值。 解：2'()32fxaxbxc，∵1x是函数的极值点，则－1,1是方程'()0fx的

根，即有211313baca⇒03bca，又(1)1f，则有1abc，由上述三个方程可知12a，0b，32c，此时，函数的表达式为313()22fxxx，∴233'()22fxx，令'()0fx，得1x，当x变化时，'()fx，()fx的变化情

况表： x ,1 -1 (-1,1) 1 1,

通过例题与练习加深对极大、极小值概念的理解，以及熟悉求函数极值的方法与步骤 y + 0 － 0 +

y ↗ 极大值1 ↘ 极小值 －1 ↗

由上表可知， 13(1)122极大值f，13(1)122极大值f

拓展练习、若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf有极值34， （1）求函数的解析式； （2）若函数kxf)(有3个解，求实数k的取值范围．

解：baxxf23 （1）由题意：3442820122bafbaf

解得431ba  所求解析式为44313xxxf

（2）由（1）可得：2242xxxxf 令0xf，得2x或2x 当x变化时，xf、xf的变化情况如下表： x 2, 2 2,2 2 ,2

xf  0 — 0 

xf 单调递增↗

3

28 单调递减↘ 34 单调递增

↗

因此，当2x时，xf有极大值328

当2x时，xf有极小值34 y=k 函数44313xxxf的图象大致如图：

由图可知：32834k 34

32822

yx0

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高中数学《导数》教案

高中数学《导数》教案

高中数学《导数》教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率1.2 导数的计算法则介绍导数的四则运算法则举例说明导数的计算过程1.3 导数的应用解释导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等给出实际问题，让学生应用导数进行解答第二章：导数的性质与单调性2.1 导数的性质介绍导数的单调性、连续性、可导性等基本性质证明导数的性质2.2 函数的单调性解释函数的单调性及单调区间利用导数判断函数的单调性2.3 单调性的应用给出实际问题，让学生利用单调性进行解答解释单调性在实际问题中的应用，如最大值、最小值等第三章：导数与曲线的切线3.1 导数与切线的关系解释导数在某一点的含义，即函数在该点的切线斜率给出切线方程的求法3.2 利用导数求曲线的切线举例说明如何利用导数求曲线的切线方程给出实际问题，让学生求曲线的切线方程3.3 切线的应用解释切线在实际问题中的应用，如求解函数零点、不等式等给出实际问题，让学生利用切线进行解答第四章：导数与函数的极值4.1 函数的极值概念解释函数的极值及极值点强调极值与导数的关系4.2 利用导数求函数的极值介绍求函数极值的方法，即导数为零和不存在的点举例说明如何利用导数求函数的极值4.3 极值的判断与应用解释极值在实际问题中的应用，如最大值、最小值等给出实际问题，让学生利用极值进行解答第五章：导数与其他数学概念的联系5.1 导数与积分的关系解释导数与积分的联系，即导数是积分的逆运算举例说明导数与积分的应用5.2 导数与极限的关系解释导数与极限的联系，即导数的极限是函数在该点的值举例说明导数与极限的应用5.3 导数与其他数学概念的联系强调导数与微分方程、泰勒展开等数学概念的联系给出实际问题，让学生利用导数与其他数学概念进行解答第六章：利用导数解决实际问题6.1 应用导数解决线性增长和减少问题解释如何利用导数解决线性函数的增长和减少问题给出实际问题，让学生应用导数解决6.2 应用导数解决曲线的凹凸问题解释如何利用导数解决曲线的凹凸问题给出实际问题，让学生应用导数解决6.3 应用导数解决实际问题案例分析分析实际问题，让学生理解导数在解决实际问题中的应用第七章：利用导数进行优化7.1 解释优化问题的概念解释优化问题及目标函数强调利用导数解决优化问题的方法7.2 利用导数解决线性优化问题解释如何利用导数解决线性优化问题给出实际问题，让学生应用导数解决7.3 利用导数解决非线性优化问题解释如何利用导数解决非线性优化问题给出实际问题，让学生应用导数解决第八章：利用导数解决不等式问题8.1 解释不等式问题的概念解释不等式问题及解集强调利用导数解决不等式问题的方法8.2 利用导数解决单变量不等式问题解释如何利用导数解决单变量不等式问题给出实际问题，让学生应用导数解决8.3 利用导数解决多变量不等式问题解释如何利用导数解决多变量不等式问题给出实际问题，让学生应用导数解决第九章：利用导数解决函数图像问题9.1 解释函数图像问题的概念解释函数图像问题及解决方法强调利用导数解决函数图像问题的方法9.2 利用导数解决函数单调性问题解释如何利用导数解决函数单调性问题给出实际问题，让学生应用导数解决9.3 利用导数解决函数极值性问题解释如何利用导数解决函数极值性问题给出实际问题，让学生应用导数解决第十章：利用导数解决实际应用问题案例分析10.1 分析实际应用问题分析实际应用问题，让学生理解导数在解决实际问题中的应用强调导数在实际问题中的重要性10.2 让学生进行实际问题案例分析让学生分组讨论，分析实际应用问题让学生汇报他们的分析和解决方法10.3 总结总结本节课的重点内容强调导数在解决实际问题中的重要性鼓励学生在日常生活中发现并解决实际问题重点和难点解析一、导数的基本概念难点解析：理解导数的几何意义，即函数图像在某一点的切线斜率。

高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值

高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值

高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值高中数学备课教案：函数与导数的求极值与最值导读：本教案将介绍高中数学中函数与导数的求解方法，特别是在求取函数的极值与最值时的应用。

通过明确的步骤和实例演算，帮助学生掌握解题的技巧与方法。

一、函数的极值与最值概述函数的极值与最值是函数中的关键概念之一，它们对于函数的特性和性质的研究具有重要意义。

在数学中，极大值和极小值统称为极值。

极大值是指函数在某一区间内取得的最大值，而极小值则是函数在某一区间内取得的最小值。

二、求解函数极值与最值的基本方法1. 导数法求极值使用导数法求解函数极值的基本步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）将导数置为零，得到关于自变量的方程；（3）解方程得到关键点；（4）利用关键点和区间端点进行函数值的比较，确定极值。

2. 导数法求最值求解函数最值的方法与求解极值类似，但在步骤（4）时需要根据函数的单调性进行判断，进而确定函数的最值。

三、实例演算现通过实例来演算函数的极值与最值的求解过程。

例1：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在闭区间[-1, 3]上求函数的极值和最值。

解：（1）求导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；（2）令导数等于零：3x^2 - 6x + 2 = 0；（3）解方程得到关键点：x = 1 ± √3；（4）利用关键点和区间端点进行比较：将x = -1, 1 ± √3, 3代入函数f(x)，得到函数值：f(-1) = 7，f(1 - √3) ≈ -2.732，f(1 + √3) ≈ 0.732，f(3) = 31；因此，函数在x = -1和x = 3处取得极大值，极大值为7和31；函数在x = 1 - √3处取得极小值，极小值为-2.732；函数在x = 1 + √3处取得极大值，极大值为0.732。

通过以上实例演算，我们可以看出，通过求导数、解方程和比较函数值的方式，可以得到函数的极值和最值。

函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案

函数的极值与导数教案教案标题：函数的极值与导数教案目标：1. 了解函数的极值概念及其与导数的关系。

2. 掌握求函数极值的方法和应用。

3. 培养学生的分析和解决问题的能力。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾函数的概念和图像表示。

2. 提问：你们对函数的极值有什么了解？导入（10分钟）：1. 通过一个简单的例子引出函数的极值概念。

2. 解释函数的极大值和极小值的定义。

3. 引导学生思考函数极值与导数的关系。

讲解（15分钟）：1. 解释导数的定义和作用。

2. 介绍函数极值与导数的关系，即函数在极值点处的导数为0。

3. 解释为什么导数为0的点可能是极值点。

示范（15分钟）：1. 通过一个具体的例子演示如何求函数的极值。

2. 使用导数的方法计算极值点，并验证结果的正确性。

3. 强调求解极值时要注意区间的选择和边界条件。

练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生独立完成。

2. 鼓励学生尝试不同类型的函数和问题。

3. 提供适当的提示和指导。

总结（5分钟）：1. 回顾本课所学的内容，强调函数极值与导数的关系。

2. 概括求解函数极值的方法和步骤。

3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。

拓展（5分钟）：1. 提供一些拓展问题，让学生思考更复杂的情况。

2. 引导学生探索其他与函数极值相关的概念和应用。

教学辅助工具：1. 教材或课件，用于讲解和示范。

2. 白板或黑板，用于演示计算过程和解题思路。

3. 练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

教学评估：1. 在练习环节中观察学生的解题过程和答案。

2. 提供及时的反馈和指导，纠正学生的错误或不完整的理解。

3. 鼓励学生在课后继续思考和实践相关问题。

教案扩展：1. 可以引入更复杂的函数类型，如三角函数、指数函数等。

2. 可以探讨函数的凹凸性和拐点等相关概念。

3. 可以引导学生在实际问题中应用函数的极值概念，如最优化问题等。

函数的极值与导数的教案

函数的极值与导数的教案

函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。

3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。

七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。