振动理论 第二章 习题解答

第二章习题 2—1 一重块100WN，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/kNcm。在图示位置时，每个弹簧已有初压力010FN。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？

W

k k 题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520FLcmcmk 设重块将下落h m，则： 221

2.[()]WhkhLL

于是： 4hcm 2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为 G，两端

固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12ll和。 解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J

恢复力矩： 12ppGIGIll 由动静法得

120ppGIGIJll



因此

2-4 一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。



122124412123221232p

pGIllJlldIfdGllfJll







且由以上各式得线长为l， 两线相距为2a。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。

解：AB杆绕重心摆动，则： 22

22

cos200: 2 123303 = 13: 22JaWaFTTllJFaWaJlmmJbbWamlbagblagfbl惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa其中 : 则 : 即 :

又有则 :

固有频率 2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N·c㎡，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

a a  l

A B W b b



F

T T  (a)

(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度

33()2348lmg

mgl

EIEI

3148lmgEIk

（a） 图可以看作弹簧和杆的并联 11348eEIkkkkl

弹簧质量系统的固有频率1112ekfm 已知EI=2E10 N·c㎡, K=5kN/cm, W=4kN 代入数据得111.14fHz （b） 图可以看作弹簧和杆的串联 121*e

kkkkk

 所以2212ekfm

代入数据得24.82fHz 2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试

求系统的相对阻尼系数。 【解】 由（2-33）式得

15()5162TAeeA

两端取对数，得 1210ln25()1T

则：22222ln2ln210110010.0221 2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。

解：系统运动时的受力如上所示 由动静法原理可得：

0002222xlbkxlacxmbxlbkaxlaclxmA

令22lcaCe ， 22lkbKe 则mwCe2 ，mklbWmKWe2 振动频率： 242222222421211cabkmlmlmklbwmlacWWd 2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40dcmlcm剪切弹性模量628*10/GNcm

。圆盘饶对称轴的转动惯量为10JkN·cm·2s,并在

5sin2Mt(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。

2-11 解：惯性力矩 J••

恢复力矩 2pGIl

微分方程 25sin2pGIJtl•• 所以，振幅 252(2)pBGIJl

已知2,40dcmlcm ，628*10/GNcm，10JkN·cm·2s, 代入数据得 0.0672Brad 2—12 已知一弹簧系统，质量块重NW196，弹簧刚度cmNk/20，作用在质量块上

的力为tF19sin16，而受阻力为vR56.2。RF、的单位均为N，t的单位为vs，的单位为scm/。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。 解： 系统运动方程为： tFkxxcxm00sin 系统的稳态响应：

222002)2()1()sin()(

tkFtx

其中：9.11968.910201920 4002cmc

)12arctan(2 忽略阻力时，即，,0c 则 00，

放大因子：383.0211222）（）（ 则系统的响应为：ttkFtx19sin306.0sin)(002 （2）考虑阻力时，则：cmsNc/56.2 164.0rad

放大因子： 28.0)2()1(1222 75.0

则系统的响应为：)75.019sin(224.0)sin()(002ttkFtx 2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为12s，弹簧刚度为30/kNcm，黏性阻尼系数./cNscm。求在外力20cos3()FtN作用下的振幅和相位角。 解答：由题可知： 032 ；015*30.5222*30*1.5ccmk





由于 020FN 则 0221.0.342(1)(2)FBcmk '2

2arctan()129481



2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t，0x ='0x=0和质量块上受有

F=0sinFt时的响应。 解：阻尼较小时，即1，系统响应为 0(cossin)sin()tddxeCtDtBt '00(cossin)(sincos)cos()ttddddxeCtDteCtDtBt

其中，02222/2,arctan1(1)(2)FkB 代入初始条件0x ='0x=0，解得 00sin,(sincos)BCBD 因此，系统响应为

000222/1{[sincos(sincos)sin]sin()}(1)(2)tdd

d

Fkxettt



2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg， 弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转 速n=2000r/min，求平台的振幅。

解：由公式02n得

02n=22000200//603radsrads

该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为： 200sinMxcxkxmet

式中，100,1,10,0Mkgmkgecmc

圆频率7007/100kradsM （） 频率比020079.16137 设稳态响应0sin()xBt则， 由公式2222(1)(2)meBM得，（0） 0.102Bcm 2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。

taxs0sin 题2-17图

解：系统运动微分方程为：tkakxxcxm0...sin 方程的解可表示为：)()()(21txtxtx 其中)(2tx为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：)sin()(02tBtx

将)(2tx及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：20220)()(cmkkaB 令 /0 ，则220km ，20kc ，从而得222)2()1(aB 于是得系统的稳态响应为：22202)2()1()sin()(tatx 相应地求得相位角：212arctan 2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。

m