振动理论习题答案

第二章习题2—1一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。

重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。

在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。

设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520F L cm cm k === 设重块将下落h m ，则：2212.[()]W h k h L L =+- 于是： 4h cm =2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。

轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。

圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。

解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ恢复力矩： 12p p GI GI l l +由动静法得120p p GI GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭因此2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。

()122124322p p GI l l Jl l d I f ωπωπ+===且由以上各式得线长为l ，两线相距为2a 。

试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。

解：AB 杆绕重心摆动，则：()2222c o s 200: 212330=: 2J a Wa F T T l lJ Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθϕθθθθθωωπ===+=+===+=∴==惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。

弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

AB(a)(b)解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348l mg mgl EI EI==3148l mgEIk ==（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联11348e EI k k k k l=+=+弹簧质量系统的固有频率112f π=已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得111.14f Hz =（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联121*e k k k k k =+所以212f π=代入数据得2 4.82f Hz =2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。

振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。

它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。

振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。

下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。

解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。

位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。

根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。

根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。

代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。

因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。

速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。

对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。

2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。

解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。

根据题目中的数据，周期T = 2s。

代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。

3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。

振动理论及工程应用_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.振动问题属于动力学问题中的第二类问题，即已知主动力求（）。

答案:运动2.振动是指物体在平衡位置附近所做的（）。

答案:往复运动3.弹簧串联、等效刚度（），弹簧并联，等效刚度（）。

答案:减小增加4.在建立单自由度弹簧—质量系统的运动微分方程时，当选择物块的静平衡位置为坐标原点，假设x轴正方向垂直向下，则物块的位移、速度和加速度的正方向如何确定（）。

答案:都垂直向下5.质点或质点系的运动相互影响的现象叫做（）。

答案:耦联6.激振力与受迫振动的位移相位差为（）时，振动系统达到共振状态。

答案:90°7.小车重P在斜面自高度h处滑下与缓冲器相撞，斜面倾角为α，缓冲弹簧刚度系数为k。

如缓冲质量不计，斜面摩擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为（）。

答案:8.在图示振动系统中，已知重为P的AB杆对O轴的回转半径为ρ，物块重为Q，两个弹簧的刚度系数均为k，当系统静止时，杆处于水平。

则此系统微振动的圆频率为：（）答案:9.关于主振型的正交性，下列说法错误的是（）答案:零固有圆频率对应的主振型不与系统的其他主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交10.关于主振型矩阵和正则振型矩阵的关系是（）。

答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主质量矩阵元素的平方根，得到的振型就是正则振型11.关于主振型矩阵和正则振型矩阵下列说法错误的是（）。

答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主刚度的平方根，得到的振型就是正则振型12.瑞利第一商用（）方程求解，瑞利第二商用（）方程求解。

答案:作用力位移13.瑞利法估算基频的结果是精确值的（），邓克莱法估算基频的结果是精确值的（）答案:上限下限14.子空间迭代法是将（）与（）结合起来的计算方法，它对自由度数较大系统的前若干阶固有频率及主振型非常有效。

答案:里兹法矩阵迭代法15.一维单元应变位移关系矩阵B为：（）答案:16.在杆的纵向振动中，要考虑的边界条件是（）答案:位移和轴向力17.以下不属于梁横向振动的近似解法的是（）答案:传递矩阵法18.下列哪些是主动控制的特点（）。

第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。

解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。

设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。

（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。

解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。

（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。

现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。

（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。

解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。

质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。

（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。

当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。

求以上各种情况的振动方程。

解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。

2010-10-16第二章作业2-1．一水平圆管，粗处的直径为8cm ，流速为1m•s -1，粗处的直径为细处的2倍，求细处的流速和水在管中的体积流量是多少？解：（1）已知：d 1=8cm ，v 1=1m•s -1，d 1= 2d 2．求：v 2=？，Q =？ 根据连续性方程1122S S =v v ，有22112244d d ππ=v v ，代入已知条件得()12144m s -==⋅v v（2）水的体积流量为()()2223311122118101 5.02410ms44Q S S d ππ---====⋅⨯⨯=⨯⋅v v v2-4．水在粗细不均匀的管中做定常流动，出口处的截面积为10cm 2，流速为2m•s -1，另一细处的截面积为2cm 2，细处比出口处高0.1m ．设大气压强P 0≈105Pa ，若不考虑水的黏性，(1)求细处的压强；(2)若在细处开一小孔，水会流出来吗？解：(1) 已知：S 1=10cm 2，v 1=2m•s -1，S 2=2cm 2，P 1= P 0≈105Pa ，h 2-h 1=0.1m ．求：P 2=？ 根据连续性方程S 1v 1=S 2v 2，得第二点的流速()111212510m sS S -===⋅v v v又根据伯努利方程2211122211+g +g 22P h P h ρρρρ+=+v v ，得第二点的压强()()()()()222112125322341-g 211010210109.80.12=5.10210Pa P P h h ρρ=++-=+⨯⨯-+⨯⨯-⨯v v(2) 因为()4205.10210Pa P P =⨯<，所以在细处开一小孔，水不会流出来．2-6．用如图2-6所示的装置采集气体．设U 形管中水柱的高度差为3cm ，水平管的横截面积S 为12cm 2，气体的密度为2kg•m -3．求2min 采集的气体的体积．解：根据水平管的伯努利方程2211221122P P ρρ+=+v v ，因弯管处流速v 2＝０，因此上式可化为211212P P ρ+=v ，习题2-6又由U 形管中水柱的高度差知1、2两处的压强差为21P P gh ρ-=水， 联立上面两式，解得气体的流速()1117.15m s-===⋅v2min 采集的气体的体积为 ()4311121017.32260 2.5mV S t -=∆=⨯⨯⨯⨯=v2-11．假设排尿时，尿从计示压强为5.33×103Pa 的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm ，体积流量为21cm 3•s -1，尿的黏度为6.9×10-4 Pa•s ，求尿道的有效直径．解：根据泊肃叶定律，体积流量4π8r P Q Lη∆=得尿道的有效半径11426444388 6.91041021107.2610m π 3.14 5.3310LQ r P η----⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪∆⨯⨯⎝⎭⎝⎭故尿道的有效直径为3=1.4510m d -⨯．第三章作业3-5、 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，)324cos(05.01π+π=t s ，)344cos(03.02π-π=t s ，求合振幅的大小是多少？解： πππϕϕϕ∆2)34(3221=--=-=)(08.003.005.021m A A A =+=+= 合振动的振幅为0.08m ．3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为61πϕϕ=-，若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅是多少？两个简谐振动的相位差)(21ϕϕ-是多少？ 解：已知61πϕϕ=-,20=A cm, 3101=A cm由矢量关系可知：1006cos 310202310(20)cos(22)21121222=⨯⨯-+=--+=πϕϕAA A A A102=A cm)c o s (2212122212ϕϕ-++=A A A A A )c o s (10310210)310(2021222ϕϕ-⨯⨯++= ,0)21c o s (=-ϕϕ,...2,1,0,2)12(21=+±=-k k πϕϕ3-9、如图所示一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，求 (1)该波的波动表达式；(2)P 处 质点的振动方程.解：从图中可知：04.0=A m, 40.0=λm,08.0=u 1sm -⋅,2πϕ-=508.040.0===u T λ,ππω4.02==T(1) 波动表达式：]2)08.0(4.0cos[04.0ππ--=x t s (m) (2) P 处质点的振动方程．)234.0cos(04.0]2)08.02.0(4.0cos[04.0ππππ-=--=t t s (m)3-11、一波源以)9.14cos(03.0ππ-=t s m 的形式作简谐振动，并以1001s m -⋅的速度在某种介质中传播.求：① 波动方程；② 距波源40m 处质点的振动方程；③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相? 解：已知πϕπω9.1,100,4,03.0-====u A ，则① 波动方程为：]9.1)100(4cos[03.0ππ--=x t s (m)② 距波源40m 处质点的振动方程)24cos(03.0]9.1)10040(4cos[03.0ππππ-=--=t t s （m ）③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相?02.02203.0)20.14cos(03.0≈⨯=-⨯=ππs (m) v =-65.1224π03.0)π20.14πsin(-≈⨯⨯-=-⨯ωA (1s m -⋅) πϕ2-=(m) -第四章作业4-2 设某一氧气瓶的容积为35L ，瓶内氧气压强为1.5×107Pa ，在给病人输氧气一段时间以后，瓶内氧气压强降为1.2×107Pa ，假定温度为20℃，试求这段时间内用掉的氧气质量是多少？ 解：根据理想气体物态方程RT μM pV =，可得瓶内氧气在使用前后的质量分别是TV p M R μ11=TV p MR μ22=故这段时间内用掉的氧气质量为.38kg1)kg 101.2-10(1.5293314.810321035)(R μ77332121≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=-=--p p TV MM M ∆4-4 设某容器内贮有的气体压强为1.33Pa ，温度为27℃，试问容器内单位体积气体的分子数有多少？所有这些分子的总平均平动动能是多少？ 解：由温度公式，得分子的平均平动动能为J1021.6J )27327(1038.1232321-23⨯=+⨯⨯⨯==-kT ε由压强公式εn p 32=，得单位体积内的分子数为3-203-213m1021.3m 1021.62103233.1323⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==--εp n这些分子的总平均平动动能是所有分子的平动动能之和，即1.99JJ 1021.61021.32120≈⨯⨯⨯==-εn E4-12 若从内径为1.35mm 的滴管中滴下100滴的液体，其重量为3.14g ，试求该液体的表面张力系数(假定液滴断开处的直径等于管的内径)。

1. 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为l ，质量为 m ，竖直部分杆长为l 2，质量为m 2，细杆可绕直角顶点处的固定轴O 无摩擦地转动，水平杆的未端与刚度系数为k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置.求杆作微小摆动时的周期.解：依题意，由能量法求系统固有频率.系统动能为222121ωωV H J J T +=，其中水平部分杆的转动惯量为231ml J H =，竖直部分杆的转动惯量为2238)2)(2(31ml l m J V ==.即22222222323)3831(21θωω ml ml ml ml T ==+⨯=以平衡位置为原点，计算系统的势能：竖直部分杆的重力势能为)cos 1(2)cos 1(222θθ-=-⋅=mgl lmg U V ； 弹簧与水平部分杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能，故这部分的势能为221kx U S H =+.当杆做微小摆动时有θl x ≈.因此2221θkl U S H =+. 所以2221)cos 1(2θθkl mgl U U U S H V +-=+=+. 由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)21)c o s 1(223(2222=+-+θθθkl mgl ml dt d 即0sin 2322=++θθθθθθ kl mgl ml 当杆作微小摆动时，0≠θ且θθ≈sin .上式整理得，032=++θθmlklmg系统固有频率ml kl mg n 32+=ω，系统微小摆动周期klmg mlT n n +==2322πωπ. .2.求如图所示的两种情况下的固有频率.解：⑴如左图所示，悬臂梁与弹簧的受力相同，故而可视为两弹性体的串联.当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为33l EIk b =，因此整个系统的等效刚度为3333333klEI EIkk lEI k l EIk k k k k b b eq +=+⋅=+⋅= 所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率)3(33kl EI m EIkmk eq n +==ω⑵如右图所示，悬臂梁与弹簧的变形相同，故而可视为三弹性体的并联. 当有集中力作用于悬臂梁的悬空端时，其刚度为33lEIk b =，因此整个系统的等效刚度为332l EIk k k k k b eq +=++=. 所以，忽略悬臂梁的质量得，系统固有频率3323mlkl EI m k eqn +==ω3.均质杆AB ，质量为M ，长为l 3，B 端刚性连接一质量为m 的 物体，其大小可略去不计.AB 杆在O 处用铰链连接，并用弹簧刚度系数均为k 的两弹簧加以约束，如图所示.试求系统自由振动的频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率. 系统动能为222121mv J T B +=ω. 其中均质杆的转动惯量为2222241432)3(121Ml Ml Ml l M l M J B =+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=，均质杆的转动角速度为θω =； 集中质量m 的线速度为l l v ωω22=⋅= 即222222221221l m M l m l M T θωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=以平衡位置为原点，计算系统的势能：弹簧与杆组成的系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能，故势能为()2222212θθkl l k kx U =≈⨯= 由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)221(222222=++θθθkl ml Ml dt d 0≠θ ，整理得，042=++θθmM k 即系统固有频率mM kn 42+=ω所以系统自由振动的频率mM kf n 42212+==ππω.4.如图所示，质量为2m 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率：系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.右侧弹簧的弹性势能为22221x k U =；左侧弹簧的弹性势能为2222112211121)(21x R R k x R R k U ==.2m故系统的势能为221222121)(21x k k R R U U U +=+=系统的动能由小车平移的动能、圆盘平面运动的动能和鼓轮绕轴转动的动能组成. 其中，小车平移的动能为212112121xm v m T ==； 圆盘平面运动的动能为2222222222222224343))(21(21212121x m v m r v r m xm w J v m T ==+=+=鼓轮绕轴转动的动能为2222223321)(2121R x I R v I Iw T ===（3w 为鼓轮转动的角速度）.故系统的动能为2222221321214321R x I x m x m T T T T ++=++= 设位移x 的变化规律为)sin(θω+=t A x n ，则有)cos(θω+=t Aw xn n . 因此系统最大势能为2212221max)(21A k k R R U +=; 系统最大动能为2222222221max214321n n n R A I A m A m T ωωω++= 由能量守恒定律知，max maxU T =.整理得，I R m R m R k R k n232222222212222112+++=ω 即系统的固有频率为IR m R m R k R k n 23222222221222211+++=ω5.在图示系统中以系统的平衡位置开始算起 , 盘的中央的位移当作广义坐标.假定盘很薄，并且做纯滚动.求系统的固有频率.解：依题意，由能量法求系统固有频率：系统的势能由两弹簧的弹性势能组成.（此系统是受重力影响的弹性系统.以平衡位置为零势能位置，重力势能与弹性力势能之和相当于由平衡位置处计算变形的弹簧的单独弹性力的势能），故系统的势能为22229)2(22121kx r r x k kx U p p =⋅⋅⋅+=. 系统的动能由圆盘平面运动的动能、鼓轮绕轴转动的动能和重物竖直运动的动能组成.其中圆盘平面运动的动能为2222214343212121xm mv r v mr mv T ==⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=； 鼓轮绕轴转动的动能为22222121pp pp r x I r v I T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=； 重物竖直运动的动能为()2223342221x m r r v m v m T p p =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=. 故系统的动能为22232121419pp r x I x m T T T T +=++= 由能量守恒定律知0)(=+U T dt d ，即0)2921419(2222=++kx r xI x m dt d p p 整理得，021992=++x r I m kxpp 所以系统的固有频率为22199pp n r I m k+=ω.6.建立图示系统运动的微分方程.以θ作为广义坐标，并假定θ很小，试求系统的固有频率.解：依题意，θ与x 的关系有，L xL x 3443==θ，即43θL x = 对支点取矩有，)(43434343kx x c x M L L x c L kx L x M M O ++-=⋅-⋅-⋅-= 刚杆的转动惯量I 为：22163)23(121mL L m I =⋅= 由动量矩定理知，)(43kx x c x M L M I O++-== θ 将43θL x =代入上式整理得，03333=++++θθθMm k M m c 所以系统的运动微分方程为：03333=++++θθθMm k M m c .其无阻尼固有频率nω为：Mm kn 33+=ω.7.求图示系统微幅扭振的周期.两个摩擦轮可分别绕水平点1O 与2O 转动，互相吻合,不能相对滑动，在图示位置（半径A O 1与B O 2在同一水平线上），弹簧不受力，弹簧系数为1k 与2k , 摩擦轮可看为等厚均质圆盘，质量为1m 与2m .解：依题意，此系统为单自由度系统，取两摩擦轮的转角21,θθ为坐标.由能量法求系统固有频率.两摩擦轮互相吻合，不能滑动，所以2121,θθθθ B A B A r r r r ==.重力势能无变化.故系统势能U 为：21221222211)(21)(21)(21θθθA B A r k k r k r k U +=⋅+⋅=两摩擦轮的转动惯量21,J J 分别为：22221121,21B A r m J r m J ==.所以系统动能T 为:2122122222121222211)(41)21(21)21(212121θθθθθ A B A r m m r m r m J J T +=⋅⋅+⋅⋅=+=由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0))(21)(41(2122121221=+++θθA A r k k r m m dt d 整理得，0)(2121211=+++θθm m k k所以系统固有频率n ω为：2121)(2m m k k n ++=ω.其微幅振动周期n T 为：)(2222121k k m m T nn ++==πωπ.8.轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为0J ，轮缘绕有软绳，下端挂有重是P 的物体，绳与轮缘之间无滑动.在图示位置由水平弹簧维持平衡.半径R 与a 都是已知的.求微幅振动的周期.解：依题意，由能量法求固有频率.选取轮子转动的角速度θ为坐标.此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势能U 为：22221)(21θθka a k U =⋅=重物竖直运动的速度P v 为：θR v P =，所以系统的动能为： 202220221212121θθθ J g PR J v g P T P +⋅=+⋅⋅=由能量守恒定律知 0)(=+U T dt d ，即0)212121(222022=++⋅θθθka J g PR dt d 整理得，0022=++θθJ gPRka所以系统固有频率n ω为：022J gPRka n +=ω. 其微幅振动周期n T 为：20222kaJ gPR T nn +==πωπ9.求图示两个弹簧在点O 的等值弹簧系数，刚杆AB 可以在图示平面内绕点O偏转.解：依题意，此系统为二自由度系统.取刚杆AB 两端竖直向下的方向为广义坐标21,x x ，点O 处竖直向下为0x .则有)(1210x x ba ax x -++=. 假设在点O 处有竖直向下的集中载荷0P ，则对点A 取矩有，22220)(k P b a a x b a x k a P ⋅+=⇒+⋅=⋅； 对点B 取矩有，11110)(k P b a b x b a x k b P ⋅+=⇒+⋅=⋅ 所以221222101020121210)()()(1)(b a k k b k a k P k P b a b b k P b a a a b a b a bx ax x x b a a x x ++=⋅+⋅+⋅+⋅⋅+=++=-++=等值弹簧系数0k 为：2221221222102210000)()()(bk a k b a k k b k a k P b a k k P x P k ++=++==10.求图示系统的运动方程并求临界阻尼系数与有阻尼固有频率.解：依题意，选取刚杆转动的角度θ为运动坐标.阻尼c 处速度为θa ，弹簧k 处位移为θb . 系统的转动惯量为：2ma J =.由动量矩定理得，a a c b b k J ⋅⋅-⋅⋅-=)()(θθθ即θθθ222ca kb ma --= 所以系统的运动方程为：022=++θθθma kb m c 系统无阻尼固有频率为：22makb n =ω. 临界阻尼系数为：km a bmakb m m c n c 22222===ω 阻尼比ξ为：kmb acc c c 2==ξ 系统有阻尼固有频率为：222222222)2(24)2(11mc m ka b am c a km b m a kb kmb acn d -⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⋅-=⋅-=ωξω11.图示系统，设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R ，质量为M ，重物质量m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率.解：依题意，由能量法求固有频率.位移坐标x 方向如图所示.轮子与绳间无滑动，其转动角速度w 为：Rxw =.轮子做平面复合运动，其动能M T 为 222243)()21(2121x M R x MR x M T M =⋅⋅+=.所以系统动能T 为222143x m x M T T T m M +=+= 此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势能U 为：222)2(21kx x k U =⋅=由能量守恒定律知0)(=+U T dt d ，即0)22143(222=++kx x m x M dt d 整理得，0238=++x mM k x. 此即所求微幅振动方程. 所以系统固有频率n ω为：mM kn 238+=ω.12.鼓轮：质量M ，对轮心回转半径ρ，在水平面上只滚不滑，大轮半径R ，小轮半径r ，弹簧刚度21,k k ，重物质量为m ，不计轮D 和弹簧质量，且绳索不可伸长.求系统微振动的固有频率.解：依题意，由能量法求固有频率.鼓轮质心所在的位移坐标x 方向如图所示.此系统是受重力影响的系统，故计算总势能可由平衡位置计算，不计重力势能.系统势能U 为：221)(21x k k U +=.（两弹簧并联，等效刚度eq k 为：21k k k eq +=） 鼓轮在水平面上只滚不滑，因而其速度瞬心为鼓轮与水平面的接触点.所以鼓轮滚动的角速度ω为：Rx =ω，绳子的线速度m v 为：x R rR r R v m +=+=ω)(，鼓轮的转动惯量2ρM J C =,鼓轮做平面复合运动.系统动能T 为：2222222)()(2121)(21212121RxM x M xR r R m J x M mv T C m ⋅+++=++=ρω 即222222)()(x RR M r R m T ρ+++= 由能量守恒定律知0)(=+U T dtd，即 0))(212)()((22122222=+++++x k k x RR M r R m dt d ρ 整理得，0)()()(222221=+++++x R M r R m R k k x ρ 所以系统固有频率n ω为：)()()(222221ρω++++=R M r R m R k k n .13.试用m 的坐标与m 2的坐标写出振系的运动微分方程.刚杆AB 的重量可以不计.解：依题意，整个系统的动能为：2221222121)2(2121x m x m x m x m T +=⋅+=整个系统的势能只计算弹性势能即可.故总势能为：21222121222121)2(21)2(21)(21)(21x x k x x k l l x x x k l l x x x k U -+-=⋅-++⋅--=因此系统的质量矩阵M 为：j i ij x x Tm m m ∂∂∂= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2200M 系统的刚度矩阵K 为：j i ij x x U k k k k k ∂∂∂= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=25445K 所以系统的运动微分方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0054452002121x x k k k k x x m m即⎭⎬⎫=+-=-+0542045212211kx kx xm kx kx xm14.刚杆本身的质量可略去不计.再设三个质量都只能沿x方向运动。

《振动力学》——习题单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后 的运动规律。

图2-1 图2-2 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置， 如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求 出振动固有周期。

2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求 其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4 2-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况 系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

已知杆的质量为m ，A 端弹簧的刚度为k 。

并问铰链支座C 放在何处时使系统的固有频率最高？图2-5 图2-6 2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。

已知m =50kg ，19800N m k =，234900N m k k ==，419600N m k =。

试问：（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2-7 图2-7所示系统，质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。

试求此系统的固有频 率。

图2-72-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

图2-8 图2-9 2-9 图2-9所示的系统中，m ＝1kg ，k ＝224N/m ，c ＝48N.s/m ，l 1＝l ＝0.49m ，l 2＝l /2，l 3＝l /4，不计钢杆质量。

单自由度系统的自由振动2.1求习题图2-l(a),(b),(c)所示系统的固有频率。

图Q)所示的系统悬怦梁的质量可以忽略不计,其等效弹赞刚度分别为码和居。

图(b)所示的系统为一质最m连接在刚性杆上,杆的质量忽略不计。

图(C)所示的系统中悬挂质帚为加，梁的质帚忽略不计，梁的挠度5由式5 = PL3ZASEJ 给出，梁的刚度为H °习题图2-1机械根动习題鮮答解：（a〉系统简化过程如习题图2-l（a）所示。

4和息串联MZ=H⅛;也和b并联：Z= ^eql + &3^«）2 和上4 串联：Hl =即■r _ （焦层+以3 +心3低）加S = d层十（怡1十层）（爲=G所以固有频率为（B）习题图2-1 （B）所示系统可能有下面两种运动帖况：①在机垂i⅛振动的整个过稈中•杆被约束保持水平位置（见图（b）■①）；②在悬挂的铅垂面内，杆可以自由转动（见图（b"②）。

①在杆保持水平的情况下，弹簧d和屜并联,有怎q =血+缸所以固有频率为②当杆可以自由转动时•杆和质虽m的运动会出现非水平的一般状态。

设A点的位移为点的位移为H2，加的位移为工，则静力方程利静力矩方程为ZIlXl + k2X3 = Aa l HQJrILl = k2x z L2几何关系又LI 十L2 = L 由以匕方程解得=kλk z∖}eq ki L↑±k z Ll所以固有频率为ω,17 m第2幸单自由度糸统的自由振动(C)系统简化过程如习题图2-1(C)所示。

等效弹簧刚度为其中所以固有频率为2.2如习题图2・2所示的系统中均质刚杆AB的质帚为加，A端弹簧的刚度为仁求()点铃链支座放在何处时系统的固有频率最高。

解：设&坐标如习题图2-2所示。

系统的动能为=-ym(nZ)2^l — + + 右片=-I-^eq(WZ^)2 (I)等效质量加“可以表示为山于固有频率与质量的平方根成反比，即3严厲、欲得最高的固有频率，必须使〃G为最小，即d叫 _ 3”_2 _ dn 3n3得2n = T代入二阶导数•得d'/Meq _ 2(1 —”)、∩~ln r _ ~^√>是极小值•故饺链应放在距A端彳L处。