当前位置：文档之家 › 一元二次方程知识点及习题

一元二次方程知识点及习题

  • 格式：doc
  • 大小：431.29 KB
  • 文档页数：10

第 1 页 共 10 页 一元二次方程 一、本章知识结构框图

二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）让学生明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx2的方程的解法：

当0n时，nx;

实际问题 数学问题 )0(02acbxax 设未知数，列方程 实际问题的答案 数学问题的解 aacbbx242

解 方 程

降

次

开平方法 配方法

公式法 分解因式法

检 验 第 2 页 共 10 页

当0n时，021xx; 当0n时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；

④求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。

（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221； 当042acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则00ba或； ②因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）=acb42 第 3 页 共 10 页

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a） ①当时00a方程有实数根；

（当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；） ②当时00a方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。 （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），

变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 第 4 页 共 10 页

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）

(3)已知：cba,,分别是ABC的三边长，当0m时，关于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。

（4）已知：cba,,分别是ABC的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。 （5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数？（1m）

（6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实数根？（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）2m（2）21,1x.

（六）相关练习 （一） 一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：

（1）xx3252 )2,3,5(2xx

（2）015622xx )2,15,6(2xx 第 5 页 共 10 页

（3）5)2(7)1(3yyy )9,4,3(2yy （4） mmmmmm57)2())((2 )3,0,2(2m （5）22)3(4)15(aa )5,2,3(2aa 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2m）

（2）若分式01872xxx，则x （8x）

3．由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为0，则a （1a）

(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为1，一个根为1，则cba ，cba （0，0）

（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程032cxx

的一个根，求方程032cxx的根及c的值。 （0，-3， c=0） （二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：

（1）012552x （5,521xx） （2）289)3(1692x （1322,135621xx）

（3）03612y（原方程无实根） （4）0)31(2m （021mm） （5）85)13(22x （3521x） 2．配方法解方程： （1）0522xx （61x） （2）0152yy （2215x）

合集下载

第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与

第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与

第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。

一元二次方程(知识点-考点-题型总结)

一元二次方程(知识点-考点-题型总结)

一元二次方程专题复习考点一、概念①②③(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax +bx +c =0(a ≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）211+-2=02xx 222C ax +bx +c =0Dx +2x =x +122变式：当k 时，关于x 的方程kx +2x =x +3是一元二次方程。

A 3(x +1)=2(x +1)B2例2、方程(m +2)x m 2+3mx +1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

针对练习：★1、方程8x =7的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程(m -2)x m -1=0是关于x 的一元一次方程，2⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程(m -1)x +m ∙x =1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y +y -3的值为2，则4y +2y +1的值为。

例2、关于x 的一元二次方程(a -2)x +x +a -4=0的一个根为0，则a 的值为。

2222例3、已知关于x 的一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)的系数满足a +c=b ，则此方程必有一根为。

2例4、已知a ,b 是方程x -4x +m =0的两个根，b ,c 是方程y -8y +5m =0的两个根，则m 的值为。

针对练习：★1、已知方程x +kx -10=0的一根是2，则k 为，另一根是。

一元二次方程复习题(知识点梳理)

一元二次方程复习题(知识点梳理)

一元二次方程复习题(知识点梳理)一元二次方程复习题考点一、概念 (1)定义：含有_______未知数，并且未知数的最高次数是______的______方程，就叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般表达式：ax2其中_______是二次项，________是二次项系数；，________是一次项，________是一次项系数；__________是常数项。

⑶判断一元二次方程的依据：①二次项系数不为“0”；②未知数最高次数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）1x21x例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

针对练习：1、方程7的一次项系数是考点二、一元二次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。

针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为另一根是。

2、已知关于x的方程的一个解与方程⑴求k的值；⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程的一个根，则代数式。

4、方程的一个根为（）的解相同。

考点三、一元二次方程的解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次（一）直接开方法：形如均适用直接开方法2，22等形式典型例题：例1、解方程：2例2、若，则x的值为22针对练习：下列方程无解的是（）2（二）（二）因式分解法：或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如2222，，典型例题：例1、的根为（）525225例2、若，则4x+y的值为变式1：则。

2变式2：若，则x+y的值为。

例3、方程的解为（），x2，x2，x2，x2针对练习：1、下列说法中：①方程x2的二根为x1，x2，则；；y)⑤方程可变形为正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、以与为根的一元二次方程是______________。

一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程知识点总结及典型习题

一元二次方程一、本章知识构造框图实质问题设未知数，列方数学识题开平方法解方降配方法程次实质问题的答案公式法分解因式数学识题的解查验二、详细内容（一）、一元二次方程的观点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确辨别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数 a 0时，整式方程ax2bx c 0才是一元二次方程。

（2）各项确实定 ( 包含各项的系数及各项的未知数 ).（3）娴熟整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与查验一元二次方程的解4．列出实质问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，进而把一元二次方程转变为一元一次方程求解；2．依据方程系数的特色，娴熟地采用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．领会不一样解法的互相的联系；4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如 x2 n 或 (ax b) 2 n( a 0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 .形如 x2n 的方程的解法：当 n0时， x n ;当 n0时， x1 x20 ;当 n0时，方程无实数根。

（ 2）配方法：经过配方的方法把一元二次方程转变为( x m)2n 的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左侧，常数项移到方程的右侧；②“系数化 1”：依据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加前一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m 2n的)形式；④求解：若 n 0 时，方程的解为x mn ，若n0 时，方程无实数解。

（ 3）公式法：一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 的根x b b 24ac2a当 b24ac0时，方程有两个实数根, 且这两个实数根不相等；当 b24ac0时，方程有两个实数根, 且这两个实数根相等，写为x1x2 b ；2a当 b24ac0时，方程无实数根 .公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确立a,b, c 的值；③代入b24ac 上当算其值，判断方程能否有实数根；④若b24ac 0代入求根公式求值，不然，原方程无实数根。