第21讲：不等式恒成立问题与能成立问题【学习目标】1．在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．【基础知识】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；【考点剖析】考点一：二次函数型恒成立问题 例1．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立； 当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D变式训练1：若不等式()()222240a x a x -+--<对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．[]22-,C ．()2,+∞D ．(]2,2-【答案】D 【详解】当20a -=时，即2a =，此时40-<恒成立，满足条件；当20a -≠时，因为()()222240a x a x -+--<对任意实数x 都成立，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得()2,2a ∈-， 综上可知，(]2,2a ∈-， 故选：D.变式训练2：不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞+∞【答案】C 【详解】因为不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 所以函数()210f x ax ax =++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，函数()10f x =>，满足题意；当0a ≠时，结合二次函数性质易知，2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，实数a 的取值范围是[)0,4， 故选：C.变式训练3：设2()(1)2f x x a x a =--+-.若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；【答案】（1）33a -≤≤+ 【详解】由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥对于一切实数x 恒成立.所以20(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+.考点二：二次函数型能成立问题例2．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A 【详解】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立， 即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈-- 所以2a <- . 故选：A变式训练1：若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】解：关于x 的不等式220x ax +->在区间[1，5]上有解，22ax x ∴>-在[1x ∈，5]上有解，即2a x x>-在[1x ∈，5]上成立； 设函数2()f x x x=-，[1x ∈，5]，()f x ∴在[1x ∈，5]上是单调减函数，又()1211f =-=，()2235555f =-=-所以()f x 的值域为23[5-，1]， 要2a x x >-在[1x ∈，5]上有解，则235a >-， 即实数a 的取值范围为23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．变式训练2：若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B 【详解】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-， 所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B变式训练3：已知关于x 的不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．17,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，∴1m x x<+在[2,4]上有解， 1y x x =+在[2,4]单调递增，max 117444y ∴=+=， 174m ∴<. 故选：D.考点三：基本不等式型恒成立问题例3．若正数x 、y 满足22x y xy +=，若不等式2x y m +≥的恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．4B ．92C ．D ．8【答案】A 【详解】已知正数x 、y 满足22x y xy +=，可得211122x y xy x y+==+，所以，()1122222422x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为4，4m ∴≤. 因此，实数m 的最大值为4. 故选：A.变式训练1：已知两个正实数,x y 满足211x y+=，并且222x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．(2,4)-B ． []2,4-C ． (,2)(4,)-∞-⋃+∞D ． ][(,24,) -∞-⋃+∞【详解】因为222x y m m +≥-恒成立，则2min 2(2)m m x y -≤+，2142(2)()444228y x x y x y x y x y +=++=++≥+=+⨯=，当且仅当4211y xx y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即42x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以2x y +的最小值为8，所以228m m -≤，即(4)(2)0m m -+≤，解得：24m -≤≤. 故选：B变式训练2：已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<【答案】C 【详解】若222x y m m +>-恒成立，则()2min 22m m x y -<+，因为()42221442284y x x y x y x y x y +⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭≥+=+⨯=， 当且仅当4=y xx y，即4,2x y ==时取等号． 所以()min 82x y +=所以228m m -<，即2280m m --<， 解得：24m -<<． 故选：C变式训练3：已知正实数,x y 满足441x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a a 的取值范围.【答案】（1）164；（2）[]9,4-. 【详解】（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号，∴2536a a +≤，解得94a -≤≤. 即a 的取值范围是[]9,4-.考点四：变换主元例4．已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭，则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.变式训练1：已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ）A ．(-∞，2)∪(3，+∞)B ．(-∞，1)∪(2，+∞)C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)【答案】C 【详解】由题意，因为[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()()2244f a x a x x =-+-+，则()0f a >对应任意[]1,1a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得：1x <或3x >， 即x 的取值范围为()(),13,-∞+∞.故选：C变式训练2：若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(][),83,-∞-⋃+∞ B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A 【详解】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩， 解之得3x ≥或8x ≤-. 故选：A变式训练3：已知当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(2,1)-- 【详解】由题意，因为当[0,2]a ∈时，不等式23(1)102ax a x a +++-<恒成立， 可转化为关于a 的函数23()12f a x x a x ⎫⎛=+-++ ⎪⎝⎭， 则()0f a <对任意[0,2]a ∈恒成立，则满足2(0)10,(2)2320,f x f x x =+<⎧⎨=+-<⎩ 解得21x -<<-，即x 的取值范围为(2,1)--. 故答案为：(2,1)--.【过关检测】1、关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】解：①当0m =时，则01<成立，故符合题意，②0m ≠时，因为21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，所以0m <，不等式变为：210mx mx m ++-<，()2410m m m ∆=--<，所以：0m <， 综上：0m ≤. 故选：B.2、已知不等式240x ax ++的解集为,R 则a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--+D ．()(),44,-∞-+∞【答案】A 【详解】因为不等式240x ax ++的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯， 解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-， 故选：A.3、不等式(4)(21)x x a x ->+对一切实数x 都成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[)4,1--B ．[]4,1--C ．(4,1)--D ．(]4,1--【答案】C 【详解】不等式(4)(21)x x a x ->+可变形为2(42)0x a x a -+->由不等式2(42)0x a x a -+->对一切实数x 都成立，2(42)4()0a a ∴∆=+-⋅-<，即2540a a ++<，解得41a -<<-所以实数a 的范围是(4,1)--故选：C4、已知函数()()()22224f x a x a x =-+--，若()0f x <对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞-，C ．[]22-，D ．(]22-，【答案】D【详解】由题知不等式()()222240a x a x -+--<,对一切x ∈R 恒成立所以当2a =时, ()40f x =-<,满足；当2a ≠时，由二次函数性知220224(2)16(2)0a a a a -<⎧⇒-<<⎨∆=-+-<⎩，所以实数a 的取值范围为：22a -<≤，故选:D5、已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【详解】因为不等式22(4)(2)10a x a x -+--≥的解集为空集，所以不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立，当240a -≠时：240a -<且22(2)4(4)0a a ∆=-+-< 解得：265a -<<；当240a -=时即2a =±，当2a =时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上恒成立；当2a =-时，不等式22(4)(2)10a x a x -+--<在R 上不恒成立；综上：实数a 的取值范围6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C.6、若关于x 的不等式2210ax ax ++>对一切的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．(,0)(1,)-∞+∞ C ．(0,1) D ．[0,1)【答案】D【详解】原不等式等价于2(2)10a x x ++>对一切的实数x 恒成立，①当0a =时，原不等式等价于10>对一切的实数x 恒成立，②当0a ≠时，20440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<．综上所述，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：D ．7、已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤- B ．1a <-C ．314a -<≤ D ．1a ≤-【答案】B【详解】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min 414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭ 令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <-故选：B8、若对满足8a b ab +=的任意正数a b ，及任意x ∈R ，不等式22218a b x x m +≥-++-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)6,-+∞B ．(],6-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 【答案】A【详解】∵正数a b ，满足8a b ab +=， ∴811b a +=，()812822171725b a a b a b b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当28b a a b =，即2b a =，510a b ==，时，等号成立， ∴225218x x m ≥-++-，即2270x x m -++≥对任意实数x 恒成立，∴()4470m ∆=-+≤，解得6m ≥-．故选：A ．9、（多选）对于正数a ，b ，且4a b +=，若34abm b a ≤++恒成立，则m 可以为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1【答案】BCD【详解】因为对于正数a ，b ，满足4a b +=，所以34abm b a ≤++恒成立化为，34324b a b a a b m ab ab a b+++++≤==+恒成立 ，又因为()24124124644b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13642⎛≥+=+ ⎝48a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时 等号成立， 所以322m ，选项BCD 都符合题意，故选：BCD.10、（多选）已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxy x y m ≤对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（ ）A ．12B ．98C ．107D ．2【答案】ACD【详解】0,0x y >>，212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121m m y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭， ()12112122192552222x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22x y y x =，即23x y ==时，等号成立， 即912m m ≤-，()997001221m m m m --≤⇔≤-- 解得：97m ≥或1m <，选项中满足条件的有ACD. 故选：ACD11、已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(],4-∞【详解】因为x 、y 为两个正实数，由11m x y x y ≤++可得()11m x y x y ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 因为()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立. 所以，4m ≤，因此，实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.12、已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b ≤++恒成立，则m 的最大值为__________． 【答案】16【详解】由题意，不等式313m a b a b≤++恒成立，且0,0a b >>，即为31(3)()≤++m a b a b 恒成立，即min 31(3)()⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦m a b a b 成立，由3133(3)()101016++=++≥+=a b a b a b b a ，当且仅当33=a b b a，即a b =，取得等号，即有16m ≤，则m 的最大值为16. 故答案为：1613、若正实数,x y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【详解】解：因为正实数x ，y 满足22x y xy +=，所以2xy ≥2xy ≥；又因不等式(2)10x y a xy +-+恒成立，所以(2)10xy a xy -+恒成立，即12a xy xy +恒成立， 则1(2)min a xy xy+， 因为1922xy xy +， 当且仅当2xy =时取等号，此时12xy xy +取得最小值92 ， 故92a ． 故答案为：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14、0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b +-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【详解】解：因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++ 322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b b b a b +=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b+-≥+恒成立， 所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤，故答案为：32m ≤15、若不等式22x mx ->对满足1m ≤的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】2x <-或2x >【详解】解：因为22x mx ->，所以220mx x -+<令()22f m mx x =-+，即()0f m <在1m ≤恒成立，即11m -≤≤时()0f m <恒成立，所以()()1010f f ⎧<⎪⎨-<⎪⎩，即222020x x x x ⎧-+<⎨--+<⎩，解220x x -+<得2x >或1x <-；解220x x --+<得1x >或2x <-，所以原不等式组的解集为()(),22,x ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),22,-∞-+∞16、对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 【答案】()(),02,-∞+∞【详解】 ()()2221121x a x a x a x x +-+-=-+-+，令()()2121f a x a x x =-+-+，11a -≤≤， 当1x =时，()1210f a =-+=，则()0f a >不成立；当1x >时，()()22min 1121320f a f x x x x x =-=-+-+=-+>，解得：1x <或2x >； 当1x <时，()()22min 11210f a f x x x x x ==-+-+=->，解得：0x <或1x >； 综上所述：()(),02,x ∈-∞+∞. 故答案为：()(),02,-∞+∞.17、已知2()3f x x ax =-+.（1）当2a =时，解不等式()6f x >；（2）当()0,x ∈+∞时，2()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{1x x <-或3x；（2）4a ≤.【详解】 （1）当2a =时，()6f x >，即 2236x x -+>，2230x x ∴-->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >， ∴原不等式的解集为{|1x x <-或3}x >.（2）当()0,x ∈+∞时2()1f x x ≥-恒成立， 2231x ax x ∴-+≥-，即2a 2x x≤+，设2()24g x x x =+≥=，当且仅当1x =时等号成立， 4a ∴≤.18、已知二次函数()223f x x ax =-+. （1）若()f x 在(],1-∞上单调递减，求实数a 的最小值；（2）存在[]4,2x ∈--，使得()f x a ≥有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）197a ≥-【详解】（1）()223f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上， 若()f x 在(],1-∞上单调递减，则1a ≥，故a 的最小值为1；（2）()f x a ≥，即2230x ax a -+-≥在[]4,2x ∈--有解，令()223g x x ax a =-+-，对称轴为x a =，开口向上， 当3a ≤-时，()()max 2370g x g a =-=+≥，解得73a ≥-，此时无解；当3a >-时，()()max 47190g x g a =-=+≥，解得197a ≥-， 综上，197a ≥-.19、设函数2()(2)3f x ax b x =+-+. （1）若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；（2）若()10f =，且存在x ∈R ，使()4f x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）()(),91,-∞--+∞.【详解】 解：（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩ 解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--存在x ∈R ，()4f x >成立，即使()2210ax b x +-->成立， 又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+->成立. 当0a ≥时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当0a <时，需使方程()2310ax a x -+-=有两个不相等的实根 所以()2340a a ∆=++>即21090a a ++>解得9a <-或10a -<<综上可知a 的取值范围是()(),91,-∞--+∞．。
