包辛格(Bauschinger)效应

迈达斯—动⼒弹塑性分析滞回模型9-1 概要⾮线性抗震分析⽅法可分为⾮线性静⼒分析⽅法和⾮线性动⼒分析⽅法。

其中⾮线性静⼒分析⽅法(静⼒弹塑性分析)因其理论概念易于理解、计算效率⾼、整理结果较为容易等原因为设计⼈员所⼴泛使⽤。

但是由于静⼒弹塑性分析存在反映结构动⼒特性⽅⾯的缺陷、使⽤的能⼒谱是从荷载-位移能⼒曲线推导出的单⾃由度体系的能⼒谱、不能考虑荷载往复作⽤效应等原因，在需要精确分析结构动⼒特性的重要结构上的应⽤受到了限制。

近年因为计算机硬件和软件技术的发展，动⼒弹塑性分析的计算效率有了较⼤的提⾼，使⽤计算更为精确的动⼒弹塑性分析做⼤震分析正逐渐成为结构⾮线性分析的主流。

9-1-1 动⼒弹塑性分析的运动⽅程包含了⾮线性单元的结构的运动⽅程如下。

单元的⾮线性特性反映在切线刚度的计算上，且⾮线性连接单元的单元类型必须使⽤弹簧类型的⾮弹性铰特性值定义。

S I N MuCu K u f f p ++++= (1)其中， M ：质量矩阵C ：阻尼矩阵K S ：⾮线性单元和⾮线性连接单元以外的弹性单元的刚度矩阵,,u uu ：节点的位移、速度、加速度响应 p ：节点上的动⼒荷载f I ：⾮线性单元沿整体坐标系的节点内⼒f N ：⾮线性连接单元上的⾮线性弹簧上的沿整体坐标系的节点内⼒弹塑性动⼒分析属于⾮线性分析不能象线弹性时程分析那样使⽤线性叠加的原理，所以m i d a s C i v i l因此，在时刻t t +?上的第(i)次迭代计算的位移、速度、加速度可按下⾯公式表⽰。

()(1)()i i i t t t t u u uδ-+?+?=+ (11)()(1)()(1)()i i i i i t t t t t t u u u u u tγδδβ--+?+?+?=+=+(12)()()(1)()(1)()21i i i i i t t t t t t u u u u u t δδβ--+?+?+?=+=+(13)在时刻t t +?的第(i)次迭代计算的运动⽅程如下。

静力学： 物体的平衡条件--平衡微分方程和应力边界条件。 几何学： 位移与应变的关系--变形协调关系（几何方程和 位移边界条件）。 物理学： 应力与应变（或应变增量）的关系--本构关系。 如在材料力学中推导扭转切应力、弯曲正应力 时都应用了上述关系。
8、求解弹塑性力学问题的数学方法
由几何方程、物理方程、平衡方程及力和位移的边 界条件求出位移、应变、应力等函数。 精确解法：能满足弹塑性力学中全部方程的解。例 如运用分离变量法将偏微分方程组解耦并化为常微分方 程组进行求解，另外还有级数解法、复变函数解法、积 分变换等。 近似解法：根据问题的性质采用合理的简化假设而 获得近似结果；如有限元法、边界元法、有限差分法 等。
ε ≤ ε s 时，σ = Eε ε > ε s 时，σ = σ s sign ε
⎧1, 当 σ > 0 ⎪ ⎪ sign σ = ⎨0, 当 σ = 0 ⎪ ⎪ ⎩-1, 当 σ < 0
εs = σs E
4、线性强化（硬化）弹塑性模型
假设拉伸和压缩时屈服应力 的绝对值和强化模量E’都相同， 当不卸载时，应力—应变关系可 以写成
如：梁的弯曲问题
弹性力学
材料力学
当 l >> h 时，两者误差很小。
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 变截面杆的分析
o
σ (x )
σ
(x )
? P
P x
τ (x )
二、弹塑性力学的基本假设
¾ 连续性假设，应力、应变和位移都可以用坐标的 连续函数表示，便于应用连续和极限的概念。 ¾ 均匀性假设，物体各部分的物理性质都相同，并 不会随坐标位置的改变而发生变化。 ¾ 各向同性假设，物体在各个方向具有相同的物理 性质，弹性常数不随坐标方向的改变而改变。

这种在反向加载后使屈服应力降低的现象， 称为包辛格（Bauschinger）效应。在一 般情况下，大多数材料的包辛格效应并不 明显，而考虑这个效应，又将使塑性力学 更加复杂化，因此，一般塑性理论中都忽 略它的影响。但对于具有往复加载的塑性 变形，则应该考虑包辛格效应。
通过以上对简单拉伸实验结果的分析，可 以得到如下结论，即 （1）在单向应力状态下，材料由弹性状 态初次进入塑性状态的条件是当作用在变 形体上的应力等于材料的初始屈服应力。 当应力小于材料的初始屈服应力时，材料 处于弹性状态；当应力等于材料的初始屈 服应力时，材料开始进入塑性状态。
7.1.2 屈服准则的一般形式
简单拉伸实验是建立塑性理论的基础之一。 简单拉伸实验的结果在许多方面可引伸推 广到复杂应力状态。在单向应力状态下， 材料由弹性状态进入塑性状态的判据可以 由单向拉伸或单向压缩实验确定，即当作 用在变形体上的应力等于材料的屈服应力 σs时，材料就进入塑性状态。
但对于任意应力状态下的屈服准则，就不 可能用一般的实验方法来确定材料是否进 入塑性状态。 目前对于任意的应力状态，描述物体由弹 性变形状态进入塑性变形状态的判据仅是
（2）材料进入塑性状态之后，应力与应 变之间的关系是非线性的，并且不再保持 弹性阶段的那种单值关系，而与加载历史 有关。对于同一个应力数值，可以有许多 不同的应变数值与之对应，同样，对于同 一个应变数值，也可以有许多不同的应力 数值与之对应。
（3）对于具有应变硬化的材料，进 入塑性状态后卸载并重新加载时，材 料由弹性状态进入塑性状态的条件是 作用在变形体上的应力等于瞬时屈服 应力。
当重新加载时的应力小于材料的瞬 时屈服应力时，材料处于弹性状态； 当应力等于材料的瞬时屈服应力时， 材料开始进入塑性状态；当应力大 于材料的瞬时屈服应力时，材料才 会产生新的塑性变形。

过P点作一条与ON平行的直线，
在上面取一点P1
NP N1P 1
材料屈服只和偏应力有关系 与平均应力无关
因此， P1点也可使材料屈服 因此， AP线上任意一点都可 使材料屈服
因此，
屈服表面必然是由平行于等倾斜轴OE的母线所构成的 与三个主应力轴等倾斜的柱面。
当主应力空间内任意一点P
位于该柱面以内时，该点处于弹性状态； 位于该柱面上时，该点处于塑性状态； 对于理想塑性材料，P点不可能在柱面之外
12 23 31
在上式中，只要有一式成立，该点就进入塑性 状态，因此，也可以用一个公式来表示，即

1 2 4k 2
2

2
3 4k
2
2

3
1 4k 2 0
2

3 2 2 2 4 6 4I 2 27 I 3 36k I 2 96k I 2 64k 0
8 塑性成形时的屈服准则与应力应变关系
8.1 屈服准则的一般概念 8.2 两个常用的屈服准则 8.3 塑性应力应变关系
8.1 屈服准则的一般概念
屈服准则是描述不同应力状态下，变形体内 某点由弹性状态进入塑性状态，并使塑性变 形状态持续进行所必须遵守的条件。
屈服准则又称为塑性条件或屈服条件
单向应力状态
但是，对于任意应力状态下的屈服准则 不可能用一般的实验方法来确定材料是否进入 塑性状态 目前描述其由弹性变形状态进入塑性变形状态 的判据，仅是一种假说
在任意应力状态下，不同应力分量之间的组合对材料 屈服的影响，可以用如下的屈服函数来描述，即
f ( ij , ij , T , t ,......) C