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12+4分项练(二) 高考数学(理科)二轮复习讲义

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(二)数 列 1.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3

等于( )

A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 2.(2019·榆林模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9等于( ) A.24 B.32 C.40 D.72 答案 C 解析 ∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24， ∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4， ∴a5＋S9＝10a5＝40. 3.(2019·肇庆检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，则S8等于( ) A.－20 B.－18 C.－10 D.－8 答案 D 解析 等差数列{an}的公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列， 可得a23＝a1a4， 即为(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，

则S8＝8×(－8)＋12×8×7×2＝－8. 4.(2019·河南百校联盟考试)已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}的前12项之和为( ) A.－144 B.80 C.144 D.304 答案 D 解析 ∵a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40，∴d＝－8， ∴an＝40－8n.

∴|an|＝|40－8n|＝ 40－8n，n≤5，8n－40，n≥6， ∴前12项之和为5×32＋02＋7×8＋562 ＝80＋224＝304. 5.(2019·毛坦厂中学联考)已知等差数列{an}满足a3＝3，a4＋a5＝a8＋1，数列{bn}满足bnan＋1an

＝an＋1－an，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对于任意的a∈[－2,2]，n∈N*，不等式Sn<2t2

＋at－3恒成立，则实数t的取值范围为( ) A.(－∞，－2]∪[2，＋∞) B.(－∞，－2]∪[1，＋∞) C.(－∞，－1]∪[2，＋∞) D.[－2,2] 答案 A 解析 由题意得a4＋a5＝a8＋a1＝a8＋1，

则a1＝1，等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝1， ∴an＝1＋(n－1)＝n. 由bnan＋1an＝an＋1－an，

得bn＝1an－1an＋1＝1n－1n＋1，

∴Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1， 则不等式Sn<2t2＋at－3恒成立等价于1－1n＋1<2t2＋at－3恒成立， 而1－1n＋1<1， ∴问题等价于对任意的a∈[－2,2]，n∈N*,2t2＋at－4≥0恒成立. 设f(a)＝2t2＋at－4，a∈[－2,2]，

则 f2≥0，f－2≥0，即 t2＋t－2≥0，t2－t－2≥0， 解得t≥2或t≤－2. 6.(2019·淄博实验中学诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于( ) A.128 B.256 C.512 D.1 024 答案 B 解析 ∵Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)， n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1. n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，∴an＋1＝2an. ∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2. 则a10＝a2×28＝1×28＝256. 7.(2019·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a56等于( ) A.－3 B.0 C.3 D.32 答案 A 解析 因为an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)， 所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…， 故此数列的周期为3. 所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－3. 8.《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.72.705尺 B.61.395尺 C.61.905尺 D.73.995尺 答案 B 解析 因为每节竹间的长相差0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30， 所以{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列， 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺， 设从地面往上，每节圈长为b1，b2，b3，…，b30， 所以{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是

S30＝30×0.5＋30×292×0.03＋30×1.3＋30×292×－0.013＝61.395(尺). 9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2

的最小值为( )

A.12 B.9 C.6 D.18 答案 D 解析 因为S3－S2＝a3， 所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，

设等比数列{an}的公比为q，则a1＝3qq－1， 由于{an}的各项为正数，所以q>1. a4＋3a2＝a1q3＋3a1q

＝a1q(q2＋3)＝3qq－1q(q2＋3)

＝3q2＋3q－1＝3q－1＋4q－1＋2≥18， 当且仅当q－1＝2， 即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18. 10.已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的

公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝cn1＋cn，则1x1…xn－1xn的取值范围为( ) A.[1,2) B.(1，e) C.233,e2 D.32，e 答案 C 解析 由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.

由xn＝cn1＋cn，

得1xn＝1＋1cn， 1x1…xn－1xn

＝1＋1c11＋1c2…1＋1cn.

令Fn＝1x1…xn－1xn， 则当n≥2时，FnFn－1＝1xn>1， 故数列{Fn}是递增数列， ∴1x1…xn－1xn≥32. ∵当x>0时，ln(1＋x)∴ln1＋1cn<1cn， 则ln1＋1c11＋1c2…1＋1cn ＝ln1＋1c1＋ln1＋1c2＋…＋ln1＋1cn <1c1＋1c2＋…＋1cn ＝12＋123＋…＋122n－1 ＝121－122n1－14<121－14＝23， ∴1＋1c11＋1c2…1＋1cn<23e， 故32≤1x1…xn－1xn<23e，故选C. 11.(2019·成都模拟)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋a3＋…＋an>a1a2a3…an的最大正整数n的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 答案 C

解析 ∵正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3， ∴q2＋q＝6. ∵q>0， 解得q＝2或q＝－3(舍)，

∴a1＝132，

∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝1321－2n1－2＝2n－132， ∴2n－132>132n×122.nn 整理可得，n>(n－1)12n－5， ∴1经检验n＝12满足题意. 12.(2019·烟台模拟)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn>2 018的最小整数，则n0的值为( ) A.305 B.306 C.315 D.316 答案 D 解析 由题意，an＝[log2n]， 当n＝1时，可得a1＝0，(1项) 当21≤n<22时，可得a2＝a3＝1，(2项) 当22≤n<23时，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4项) 当23≤n<24时，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8项) 当24≤n<25时，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16项) ……， 当2k≤n<2k＋1时， 可得122121kkkaaak＋＋－＝＝…＝＝，(2k项) 当n＝2k＋1－1时， 前n项和Sn＝1×21＋2×22＋…＋k×2k， 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋k×2k＋1， 两式相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k×2k＋1， 所以Sn＝(k－1)×2k＋1＋2. 由Sn>2 018，得k≥8. 当k＝7时，Sn＝1 538<2 018； 当k＝8时，Sn＝3 586>2 018， 所以取k＝7，且2 018－1 538＝480，

所以n0＝1×1－281－2＋4808＋1＝316. 13.(2019·全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________. 答案 4 解析 设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，

即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d

＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4. 14.(2019·北京朝阳区模拟)天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.

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新课标高考理科数学二轮新讲练：“12+4”限时提速练1

新课标高考理科数学二轮新讲练：“12+4”限时提速练1

“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－1>0}，B ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈R }，则A ∩B ＝( B )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：A ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x <－1或x >1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝(12)x，x ∈R }＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(1，＋∞)．2．已知1＋b i1－2i ＝a ＋i(a ，b ∈R )，则a ＋2b ＝( D )A ．－4B ．4C ．－5D ．5解析：解法1：∵1＋b i 1－2i ＝(1＋b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝1－2b 5＋b ＋25i ＝a ＋i ，且a ，b ∈R ，∴⎩⎨⎧1－2b5＝a ，b ＋25＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＋2b ＝－1＋6＝5.解法2：1＋b i1－2i ＝a ＋i ⇒1＋b i ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，∵a ，b ∈R ，∴1＝a ＋2，b ＝1－2a ，得a ＝－1，b ＝3，∴a ＋2b ＝－1＋6＝5.3．如图所示的折线图表示某商场一年中各月的收入、支出情况，则下列说法中错误的是( D )A ．全年收入1至2月份增速最快B ．全年中2月份支出最高C ．四个季度中第二季度的月平均支出最低D ．利润最低的月份是5月份(利润＝收入－支出)解析：从折线图看出1至2月份收入数据的连线斜向上，且最陡，故A 正确；由折线图可以看出支出的最高点在2月份，故B 正确；由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的月平均支出最低，故C 正确；5月份的利润为30－10＝20(万元)，8月份的利润为50－40＝10(万元)，20>10，故D 错误．4．若cos(π6－α)＝23，则cos(5π3＋2α)＝( C ) A ．－79 B.79 C ．－19D.19解析：cos(5π3＋2α)＝cos[2π－2(π6－α)]＝cos[2(π6－α)]＝2cos 2(π6－α)－1＝2×49－1＝－19.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y ≤2x ＋y ≥m ，，若z ＝x －2y 的最小值为－3，则实数m ＝( A )A ．0B ．－2C ．1D ．5解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y ，得y ＝12x －12z ，由图可知，当直线y ＝12x －12z 过点B 时，z 最小．把B (m －1,1)代入z ＝x －2y ，得m －1－2＝－3，解得m ＝0.6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( C )A ．1 394B ．1 322C ．1 800D ．1 650解析：将正视图中的直角三角形记为△ABC ，如图，∠ACB ＝90°，AB ＝25，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则BD ＝16，AD ＝25－16＝9，则AC 2BC 2＝(AD ·AB )(BD ·AB )＝AD BD ＝916，∴AC BC＝3 4.又AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ＝15，BC ＝20，∴该“堑堵”的表面积为2×12×15×20＋25×(15＋20＋25)＝1 800.7．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( B )A ．7πB ．14π C.72πD.714π3解析：三棱锥A -BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 8．某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( B )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、周五两天，也可以排在周五、周六两天，所以甲、乙两人的安排方式共有C 13A 22＝6(种)，其他4个人要在剩下的4天全排列，所以所有人的安排方式共有6A 44＝6×24＝144(种)．9．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且cos ∠PF 1F 2＝255，则该双曲线的离心率为( D )A. 3 B ．2 C ．3D. 5解析：解法1：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得|OP |＝|OF 2|，∴在△PF 1F 2中，OP 是边F 1F 2上的中线，且|OP |＝12|F 1F 2|，∴∠F 1PF 2＝90°.由x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，c ＝1＋b 2.在Rt △PF 1F 2中，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝4(1＋b 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝1＋2b 2＋1，|PF 2|＝1＋2b 2－1，在Rt △PF 1F 2中，cos ∠PF 1F 2＝|PF 1||F 1F 2|＝1＋2b 2＋12c ＝1＋2b 2＋121＋b 2＝255，整理得9b 4－32b 2－16＝0，∴b 2＝4，离心率e ＝ca ＝1＋b 2＝ 5.故选D.解法2：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得|OP |＝|OF 2|，∴在△PF 1F 2中，OP 是边F 1F 2上的中线，且|OP |＝12|F 1F 2|，∴∠F 1PF 2＝90°.在Rt △PF 1F 2中，由cos ∠PF 1F 2＝255，得|PF 1||F 1F 2|＝|PF 1|2c ＝255，∴|PF 1|＝455c ，|PF 2|＝|F 1F 2|2－|PF 1|2＝255c .由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝455c －255c ＝255c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝ 5.故选D. 10．已知函数f (x )＝33sin x 4cos x 4＋3cos 2x4＋m 在[0,2π]上的最小值为－32，点A 为函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点，点B 为函数f (x )的图象在y 轴右侧的第二个对称中心，O 为坐标原点，则tan ∠BAO ＝( A )A ．－11π2π2－9B ．－112π－9C.92πD.1π解析：由题意得，f (x )＝332sin x 2＋3×1＋cos x 22＋m ＝32(3sin x2＋cos x 2＋1)＋m ＝32×2sin(x 2＋π6)＋32＋m ＝3sin(x 2＋π6)＋32＋m ，由0≤x ≤2π，得0≤x 2≤π，∴π6≤x 2＋π6≤7π6，∴当x 2＋π6＝7π6，即x ＝2π时，函数f (x )取得最小值－32，∴3×(－12)＋32＋m ＝－32，∴m ＝－32，∴f (x )＝3sin(x 2＋π6)．令x 2＋π6＝π2，得x ＝2π3，∴点A 的坐标为(2π3，3)，∴tan ∠AOB ＝32π3＝92π.令x 2＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝2k π－π3，k ∈Z ，当k＝2时，x ＝11π3，∴点B 的坐标为(11π3，0)，∴tan ∠ABO ＝311π3－2π3＝1π，∴tan ∠BAO ＝tan(π－∠ABO －∠AOB )＝－tan(∠ABO ＋∠AOB )＝－tan ∠ABO ＋tan ∠AOB 1－tan ∠ABO tan ∠AOB ＝－1π＋92π1－1π×92π＝－11π2π2－9. 11．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，AD ＝2BC ，BC ＝CD ，M 是AD 的中点，N 是AM 的中点，把△ABM 沿直线BM 翻折，连接BN ，CM ，如图2，设∠AMD ＝θ，当异面直线CM 与BN 所成的角是60°时，cos θ＝( B )A.63－1 B ．2－102 C ．1－63D.102－2解析：解法1：在题图2中，延长DM 到E ，使MD ＝ME ，连接BE ，NE ，则BE ∥MC .因为异面直线CM 与BN 所成的角是60°，所以∠EBN ＝60°或∠EBN ＝120°.设BC ＝2，则MN ＝1，ME ＝2，BE ＝22，BN ＝ 5.在△EBN 中，EN 2＝BE 2＋BN 2－2BE ·BN ·cos ∠EBN ＝13－410cos ∠EBN .同理，在△EMN 中，EN 2＝ME 2＋MN 2－2ME ·MN ·cos(π－θ)＝5＋4cos θ，所以13－410cos ∠EBN ＝5＋4cos θ.当∠EBN ＝60°时，解得cos θ＝2－102；当∠EBN ＝120°时，解得cos θ＝2＋102>1，不合题意，舍去．故cos θ＝2－102.故选B.解法2：在题图2中，以M 为原点，MB ，MD 所在的直线分别为x ，y 轴，过点M 且垂直于平面MBCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝2，则M (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2，2,0)，N (0，cos θ，sin θ)，所以CM→＝(－2，－2，0)，BN →＝(－2，cos θ，sin θ)．当异面直线CM 与BN 所成的角是60°时，|cos 〈CM →，BN →〉|＝4－2cos θ22·4＋cos 2θ＋sin 2θ＝12，得cos θ＝2－102.12．已知函数f (x )＝(kx －2)e x －x (x >0)，若f (x )<0的解集为(s ，t )，且(s ，t )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( D )A ．[1e 2＋1，1e ＋2) B ．[1e 4＋12，1e 3＋23) C ．(－∞，1e 2＋1)D ．[1e 3＋23，1e 2＋1)解析：令f (x )<0，得kx －2<x e x ，令g (x )＝xe x (x >0)，则g ′(x )＝1－x e x(x >0)，令g ′(x )>0，解得0<x <1，令g ′(x )<0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增．当x →＋∞时，g (x )→0，作出g (x )及函数y ＝kx －2的大致图象如图所示．f (x )<0的解集为(s ，t )，且在(s ，t )上恰有两个整数解，由图可知，这两个整数解为1和2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧2k －2<2e 2，3k －2≥3e 3，解得1e 3＋23≤k <1e 2＋1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(8，x )，b ＝(x,1)，若(a －b )∥(2a ＋b )，则x ＝±2 2. 解析：∵a ＝(8，x )，b ＝(x,1)，∴a －b ＝(8－x ，x －1)，2a ＋b ＝(16＋x,2x ＋1)．∵(a －b )∥(2a ＋b )，∴(8－x )(2x ＋1)－(16＋x )(x －1)＝0，即－3x 2＋24＝0，解得x ＝±2 2.14．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是π3－34.解析：设半圆的半径为2，则长方形的宽为2，长为4，长方形的面积为2×4＝8.在阴影中作如图所示的辅助线，则易知S阴影＝2(12×22×2π3－12×2×2×sin2π3)＝8π3－2 3.所以此点取自阴影部分的概率是8π3－238＝π3－34.15．已知A是抛物线y2＝－4x上的动点，点A在y轴上的射影是点C，B是圆D：(x－3)2＋(y－2)2＝1上的动点，则|AB|＋|AC|的最小值是25－2.解析：圆D：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圆心为D(3,2)，半径r＝1.抛物线y2＝－4x的焦点坐标为F(－1,0)，准线方程为x＝1.如图，设点A在抛物线准线上的射影为点H，则|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.连Ruize知识分享接AF，由抛物线的定义可知|AH|＝|AF|，∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F四点共线时，|AB|＋|AF|取得最小值，连接DF，则(|AB|＋AF|)min＝|DF|－r＝(3＋1)2＋22－1＝25－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝25－2.16．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，点M，N分别在侧面ABB1A1和ACC1A1内，BC1与B1C交于点P，则△MNP周长的最小值为3.解析：设点P关于侧面ABB1A1和侧面ACC1A1的对称点分别为Q，R，连接QR，则当点M，N，Q，R共线时，△MNP周长最小，由于在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P是BC1，B1C的交点，所以点P 是侧面BCC1B1的中心，故△MNP周长最小时，M，N分别为侧面ABB1A1和侧面ACC1A1的中心，所以△MNP周长的最小值为3.。

高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第一讲 集合与常用逻辑用语课件

高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第一讲 集合与常用逻辑用语课件

条件作为考查的重点．
第二页，共40页。
Z主 干考点 (kǎo diǎn) 梳理
栏 目 链 接
第三页，共40页。
Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
考点1 集合间的关系(guān xì)与运算
一、集合的含义与表示
1．集合的含义．
(1)集合中元素的性质．
栏 目
链
集合中的元素具有确__定__性__、_互__异__性__(y_ì、xìn_g无_)_序__性___三个特征． 接
diǎn) 梳理
4．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＋1＜0}，B ＝{x|x－3＜0}，则集合(∁UA)∩B＝( A )
A．{x|－1≤x＜3}
栏
目
B．{x|－1＜x＜3}
链 接
C．{x|x＜－1}
D．{x|x＞3}
第十六页，共40页。
栏 目 链 接
第十七页，共40页。
G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
链 接
(1)相等关系：若_A____B___且___A___B__，则A＝B.
(2)真包含关系：若任意元素x∈A，则x∈B，且存在 y∈B，但y A，那么A与B的关系是__A___B___．
2．不包含关系：记作________．
第五页，共40页。
Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
三、集合的运算 1．集合的三种运算．
栏
题)．
目
链
(1)特称量词(存在量词)：短语“______”、“__________”
接
等在逻辑中通常叫做特称量词(存在量词)，存用在符(号cú“nz_à_i_)_一__个__”
表至示少．有一个
(2)特称命题(存在性命(xìngmìng)题)：含有
全国高考数学二轮复习12+4分项练10直线与圆文

全国高考数学二轮复习12+4分项练10直线与圆文

12＋4分项练10 直线与圆1．(2018·襄阳调研)已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．R B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0 答案 C 解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋()y ＋12＝1－34k 2， 因为过P 有两条切线，所以P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233. 2．(2018·拉萨模拟)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( )A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－1答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋()y －12＝1，圆心C (2,1)，半径为1，先求圆心到直线的距离||2－2－512＋22＝5>1，则圆上一点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是5－1. 3．(2018·泉州质检)已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题： p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交；p 2：∃k 0∈R ，l 与C 相切；p 3：∀r >0，l 与C 相交；p 4：∃r 0>0，l 与C 相切．其中真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 A解析 因为圆C 是以(1,0)为圆心，以r 为半径的圆，而直线l 是过点(1,0)，且斜率是k 的直线，所以无论k ，r 取何值，都有直线过圆心，所以有∀k ∈R ，∀r >0，都有l 与 C 相交，所以真命题有p 1，p 3.4．(2018·河北省衡水市武邑中学调研)若直线l ：mx ＋ny －m －n ＝0()n ≠0将圆C ：()x －32＋()y －22＝4的周长分为2∶1两部分，则直线l 的斜率为( ) A ．0或32B ．0或43C ．－43D.43答案 B 解析 由题意知，直线l 将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为2π3， 又圆心为点()3，2，半径为2，则圆心到直线的距离为1， 即||3m ＋2n －m －n m 2＋n 2＝1，解得m ＝0或m n ＝－43， 所以直线l 的斜率为k ＝－m n ＝0或43. 5．(2018·湖南师大附中月考)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条 答案 B解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋y a ＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．(2018·广东省佛山市顺德区调研)已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝1，圆O 2的方程为()x ＋a 2＋y 2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A.{}1，－1，3，－3B.{}5，－5，3，－3C.{}1，－1D.{}3，－3 答案 A解析 d ＝|a |＝2＋1＝3或d ＝|a |＝2－1＝1，所以a ＝1，－1,3，－3.7．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( )A ．2 2 B. 2 C.223 D.23答案 A解析 以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B ()－1，0，设P (x ，y )， 则(x －1)2＋y 2(x ＋1)2＋y 2＝2，化简得()x ＋32＋y 2＝8， 当点P 到AB (x 轴)距离最大时，△PAB 的面积取得最大值，由圆的性质可得，△PAB 面积的最大值为12×2×22＝2 2. 8．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]答案 B 解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.9．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋()y －12＝1，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 设P (x ，y )，PQ 的中点为M ()x 0，y 0，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x －12，y 0＝y ＋m 2. 因为点M ()x 0，y 0在圆x 2＋()y －12＝1上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋m 2－12＝1， 即(x －1)2＋()y ＋m －22＝4. 将此方程与方程(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4 比较可得⎩⎨⎧ a ＝1，2a －4＝－()m －2，解得m ＝4. 10．(2018·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案 B解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋()y －22＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2， 即||－2a ＋2b a 2＋b2≤2， 则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫a b≤0. 由直线l 的斜率k ＝－a b，可知上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.11．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M 的周长，可知直线必过圆M 的圆心，由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为(－2，－1)，代入直线方程ax ＋by ＋1＝0可得2a ＋b －1＝0，又由(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的任一点的距离的平方， 由点到直线的距离公式得d ＝||2×2＋2－15＝5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为d 2＝()52＝5.12．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2答案 A解析 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255， 即圆C 的半径为255， ∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 故选A.13．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)·y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．答案 －85－4 解析 若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3()a ＋2＝0，整理可得5a ＋8＝0，求解关于实数a 的方程可得a ＝－85. 若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2≠2－a 1， 据此可得a ＝－4.14．(2018·赣州适应性考试)以抛物线y 2＝8x 的焦点为圆心且与直线kx －y ＋2＝0相切的圆中，最大面积的圆的方程为________________．答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由题意可知，圆的圆心为F (2,0)，直线是过定点M (0,2)的动直线，当满足直线和FM 垂直时，其圆心到直线的距离最大，即圆的半径最大，此时满足圆的面积最大， 且半径为r ＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，所以面积最大的圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由题意得圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝5，令y ＝0，得x ＝2或x ＝4，所以A (4,0)，B (2,0)．则圆N 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线l ：y ＝k (x －4)．联立直线l 的方程和圆M 的方程消去y ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋4k ＋6)x ＋16k 2＋16k ＋8＝0，所以4＋x C ＝8k 2＋4k ＋61＋k 2，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋y 2＝1，y ＝kx －4k ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋6)x ＋16k 2＋8＝0， 所以4＋x D ＝8k 2＋61＋k 2，② 依题意得x C ＋4＝2x D ，③解①②③得k ＝－12. 所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3； ④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和， 由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2.又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切，所以①正确；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误； 对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1，故圆C 1的圆心坐标为(3，1)，所以圆心到直线l 的距离为|(3)2－1－1|(3)2＋(－1)2＝12. 又因为圆C 1的半径为1，所以其所截的弦长为2 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确； 对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和， 因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2，故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.。

高考数学2轮复习高考22题12+4分项练13推理与证明文94

高考数学2轮复习高考22题12+4分项练13推理与证明文94

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