武汉大学数理统计ppt 3 参数估计

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引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ

1 n
n i 1
Xi

X
(
x)

1

e

x

,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
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C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi

X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi

(1 n
n i 1
Xi )2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
结论： 不论总体服从什么分布，总体均值 与方差的矩估计量的表达式是相同的
概率统计
(2). Q X ~ N ( , 2 )
X 1 (1502 1453 1367 1650) 1493
4
1
n
n i 1
(Xi
X )2
1 [(1502 1493)2 4
定义直接寻求能使 L( ) 达到最大值的解作为
极大似然估计量。 ▲ 极大似然估计法适用于多个未知参数的情形。
概率统计
例3. 设 X ~ N (, 2 ), , 2 为未知参数，
x1 , x2 L xn 是 X 的一个样本值.
求: , 2 的极大似然估计量.
解: Q X 的密度函数为：f ( x ; , 2 )
是相应于样本 X1, X 2 , X n 的一组样本值。
n
作似然函数：L f ( x k ,1,2 ,L l ) 或 k 1
概率统计
n
或 L P( x k ,1,2 ,L l ) k 1
使得似然函数 L 达到极大值的 ˆ1,ˆ2,L ˆl
称为参数 1,2 ,L l 的极大似然估计值，记为： ˆi ( x1, x2 ,L xn ) (它与样本值有关)，记统计量：
(1453 1493)2
(1367 1493)2 (1650 1493)2 ]
10551
某种灯泡寿命的均值与方差的 矩估计值分布为:
ˆ 1493, ˆ 2 10551
概率统计
例 2. 设 X1, X2, … Xn 是取自总体 X 的一个样本，
其概率密度为：

8. 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概 有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取 的这个样本所构建的区间而言的
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2008年8月
3.统1 计参学数估计的基本原理
三ST、(A第T三I区S版TI间C) S估计——置信区间的表述 (confidence interval)
点估计值
10. 实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很 有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过 窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上 去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量， 而现实中样本量总是有限的
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2008年8月
总体分布 样本量
2已知 2未知
正态分布 大样本 n≧30
正态分布 小样本
n˂30 非正态分布 大样本
n≧30
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
s n
x t (n 1)
2
s n
x Z
2
s n
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2008年8月
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
3.2 一个总体参数的区间估计
一、 总体均值的区间估计 二、 总体比例的区间估计 三、 总体方差的区间估计
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
总体参数 均值 比例 方差
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符号表示
2
样本统计量
x p s2
2008年8月
统计学 一个总体均值的区间估计

n1in1Xi2(n1in1Xi )2
估计1EX
估计2 EX2
估计2DX
EX2(EX)2
2 12
休息 结束
例2 设总体X的概率密度为
f(x)(1)x,
0,
0x1 其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
1 n
i
n 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 kE[XE(X)k]
样本k阶中心矩为
Bk

1n (
ni1
Xi

X
)k
休息 结束
用相应的样本矩去估计总体矩 的估计方法就称为矩估计法。
休息 结束
最常用的是：
用A1 n1in1Xi X
用
A2

1 n
n i1
Xi2
用B2 n1in1(Xi X)2
X~f(x) 1e(x), x,为 未 知 参 数
0,
其 它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解:
1 E (X ) x f(x )d x x 1 e (x )/d x xde(x)/
时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。 如果要你推测，是谁打中的呢？
你会如何想呢?
休息 结束
一般地，假设X 为离散型总体：
P {Xxi}f(xi;)
(X1, ,Xn)为 子 样 (x 1, ,x n)为 子 样 观 察 值 。
休息 结束
已发生的事件为： {X 1x1, ,X nxn}
其概率为：
得到 的一个点估计值 。
休息 结束
被估计的参数 是一个未知常数，而估 计量 T( X1, X2, … Xn ) 是一个随机变量，是 样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数 值,这个数常称为 的估计值。