4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？
解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：
N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）
4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F
F
T F r r r r r r r
T A A r r T r r F A r r T dr
T
Tdr
dr F
A =∴-=-=-==-
==
⎰⎰⎰),
()()(2121211
2
2
1
2
1
4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。 解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：
⎰
⎰⎰+--===
4
3
)4()4(4
4
02
2
cos x dx x x
T dx T dx F
A θJ
x x x d x T 100)35(50|9)4(50
|]
9)4[(2]9)4[(]9)4[(4
024
2
/122
5040
2
2/122
=-⨯=+-=+-⨯-=+-+--
=⎰-
设木块到达B 时的速度为v ，由动能定理：2
0212
2
1mv mv
A -
=
s m v m A v /88.206
5.0/1002/22
2
≈+⨯=+=
，方向向右
A
B
x
4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l 为
=
k
mg
l
μ证明：质点m 由弹簧原长位
置运动到最远位置l ，弹力F 动摩擦力f 点动能由mv 02
/2变为0。根据动能定理：A F +A f =0 - mv 02
/2 ……①
其中，mgl A kl ldl k A f l
F μ-=-=-=⎰,2
2
10
，代入①中，并整理，有：kl 2+2μmgl-m v 02=0. 这是一个关于l 的一元二次方程，其根为：
k
v m k g m g m l 24)2(22
2
+±
-=
μμ，负根显然不合题意，舍去，所以，
)11()(2
2
20
2
2
1
-+
=
++
-
=g
m v k k
g
m k k
g
m kmv g m l μμμμ
4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂
质量为500g 的圆柱体，圆柱体又套 在可沿水平方向移动的框架内，框架 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 平力F =20.0N 作用下移至图中位置， v 2 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。
解：设绳长l ，圆柱质量m 1，框架质量m 2，建立图示坐标o-xy ；据题意，圆柱在o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v 1，方向与线l 垂直，框架的速度为v 2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v 2=v 1x ，v 1y =v 1x tg30º 圆柱体m 1与框架m 2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W 1=m 1g 和拉力F 做功：其中，
A W 1= - m 1gl(1-cos30º)= - 0.13J , A F = F l sin30º= 2J , 由质点系动能定理，有 2
12212
12
11212
22212
112
11)(x y x F W v m v v m v m v m A A +
+=+
=
+
)/()(2])301([213
412
122
12
121m m A A v m tg m v F W x x ++=∴+︒+=
代入数据,v 1x 2=4.3 , v 1y 2=(v 1x tg30º)2=1.44
∴ v 1=(v 1x 2+v 1y 2)1/2=2.4m/s.
4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k 1,k 2，它们自由伸展的长度相差l ，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表达式。
解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零。
弹簧2的势能表达式显然为：
0,2
22
12≤=
x x k E p ；
2
