解直角三角形知识点

解直角三角形知识点
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、直角三角形的性质：
1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∵∠C=90°∠A=30°∴ BC=21AB
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD
4、勾股定理：222cba ：222abc还可以变形为222acb，
222
bca
．

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中
项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项
∵∠ACB=90°CD⊥AB
∴
BDADCD•
2

ABADAC•
2
ABBDBC•
2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC

二、锐角三角函数
1、锐角三角函数定义：在RTABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的
对边，则：

sinAaAc
的对边
斜边
cosAbAc的邻边斜边

tanAaAAb
的对边的邻边
cotAbAAa的邻边的对边

常用变形：sinacA；sinacA等，由同学们自行归纳
2、锐角三角函数的有关性质：
（1）当0°<∠A<90°时，0sin1A；0cos1A；tan0A；cot0A
（2）在0°90°之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余

A
C B
D
弦、余切（cos、cot）的值，随角度的增大而减小。
3、同角三角函数的关系：

22
sincos1AA
tancot1AA sintancosAAA coscotsinAAA

常用变形：2sin1cosAA 2cos1sinAA （用定义证明，易得，同学自
行完成）
4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：

如图1，由定义可得：sincoscos(90)aABAc 同理可得：

sincos(90)AA
cossin(90)AAtancot(90)AA

cottan(90)AA
5、特殊角的三角函数值：

三角函数
0° 30° 45° 60° 90°


sin


cos


tan
-


cot
-

二、有关三角函数计算（计算器、特殊角）
三、解直角三角形
已知的一些边、角 求 另一些边、角
1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：
类型 已知条件 解法

两边
两直角边a、b
2
2
cab

，tanaAb，90BA

直角边a ，斜边c
22
bca

，sinaAc，90BA

一边
一锐角
直角边a，锐角A
90BA，cotbaA
，sinacA

60°
30°
3
2

1
B
C

A
45°
2
2

2

B
C

A
斜边c，锐角A
90BA，sinacA，cosbcA
例1：①在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是△ABC的三边,a=6,∠B=30°求∠A,b,c.
②在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是∠A,∠B,∠C的对边,a=5,b=35,求c,∠A,∠B.

例2:①在RtΔABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是三边,且83ctgA,a=6.求c.
②在RtΔABC中,∠C=Rt∠,∠B=30°,a-b=2.求c.
③在RtΔABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=326.求SΔABC及ΔABC的周长.

④在RtΔABC中,∠C=Rt∠,58AC,∠A的平分线AD的长是31516解直角三角
形.
⑤在RtΔABC中,∠C=90°,310AB,53cosABC.D是AC上一点∠DBC=30°.
求BC,AD.

2、解直角三角形的实际运用
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角
铅垂线
水平线

视线

视线

俯角

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡
度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么
tanhil
。

(3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、
OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
(4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图
4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南
方向），
南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

:ihl
h

l
α
5

补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
有关公式
（1）1sin2SabC=1sin2bcA=
1
sin2acB

（2）Rt△面积公式：
11
22
Sabch

（3）结论：直角三角形斜边上的高
ab
hc

（4）测底部不可到达物体的高度．如右图，
在Rt△ABP中，
BP=xcotα
在Rt△AQB中，
BQ=xcotβ
BQ—BP=a，
即xcotβ-xcotα=a．
解直角三角形的知识的应用，可以解决：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题
3、三角形的面积公式：
已知ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，如图2，过点A作AD⊥

BC于点D。在RTABD中，sinADBAB，即：sinADABB（sinADcB）
111
sinsin222ABCSBCADacBacB
（其中：∠B为a、c的夹角）

同理可得：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）
由面积公式可得：
11
sinsin22acBbcA

两边同时除于12c 得：
sinsinsinsinabaBbAAB
同理可得，正弦公式：
sinsinsinabcABC


余弦定理
如图2：sinADbC， cosBDBCCDabC，在直角三角形ABD中，由
勾股定理得：

2
22222
(sin)(cos)ABADBDcbCabC

整理得：

A
B
PQ

x
α
β

a
D
A
B

C

2222222222
sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC

2222coscbaabC 整理得到余弦定理：222
2coscababC
（∠C为

a
、b的夹角）

同理可得：（余弦定理及其变形）

222
2cosabcbcA
222cos2bcaAbc

222
2cosbacacB
222cos2acbBac

222
2coscababC
222cos2abcCab

四、三角函数与相似：

如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：
3.2cos610ADABxxAAEAC sinDEBC
AAEAC

如图6，
6tan48DEBCx
AAEAB

备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似
书写更简洁一些

五、三角函数与一次函数
设一次函数ykxb经过点
11(,)Axy与22
(,)Bxy
那么我们可以列出方程

组：
11
22

ykxbykxb






则可以得到：
21

21

yykxx



如下图所示：tank

α
α

y2-y
1

x2-x
1

y
2

y
1

x
2

x

1

B(x2,y2)
A(x1,y1)

O