高二数学双曲线的几何性质1

第 1 页 共 1 页 高二数学双曲线的简单几何性质一

1、掌握双曲线的基本性质

2、会求解有关的性质；教学重点；双曲线的基本性质教学难点：双曲线基本性质的应用教学方法：学导式学法指导：

1、渗透数形结合思想；

2、、提高学生解题能力。

3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程

一、复习旧知：１、椭圆的简单性质：范围、对称性、顶点、离心率，

二、讲授新课对双曲线１、范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a２、对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心、（同椭圆）３、顶点：（a,0）、线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上。

4、离心率：越大，双曲线开口越开阔）

5、渐近线、y=x说明：（1）作法；（2）证明；（3）作用；画草图时的依据（4）特例：时叫等轴双曲线；（5）变化：的渐近线方程为：推广：一般地把方程中“1”改为“0”，即可得到渐近线方程。例1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长是多 第 1 页 共 1 页 少？虚半轴长呢？焦点坐标、离心率、渐近线方程各是什么？练习：P113T1例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）

焦点在轴上，焦距是6，；（2） 焦点是（0，-6）的等轴双曲线；（3） 中心在原点，焦点在坐标轴上，实轴长为16，离心率为；（4） 中心在原点，焦点在坐标轴上，过点，离心率为；（5） 中心在原点，焦点在坐标轴上，实、虚轴长之和等于28，焦距等于20；（6） 焦点在轴上，焦距为20，渐近线方程为。

四、课堂练习：课本P113练习

1、5

五、课后作业：课本P113习题 8、4

1、5、6六、板书设计

8、4、1双曲线的简单几何性质椭圆的标准方程(a＞b＞0)范围对称性顶点离心率(a＞0,b＞0)

双曲线及标准方程、几何性质

一、双曲线的定义及标准方程

【知识要点】

1. 双曲线的定义

第一定义：平面内与两定点21,FF的距离之差的绝对值为常数（小于21FF）的点的轨迹叫双曲线.

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线)(lFl的距离之比是常数)),1((ee的点的轨迹叫做双曲线。

2. 双曲线的方程

(1)标准方程:12222byax或12222bxay，其中222,0,0bacba。

(2)一般方程：122ByAx，其中0AB

【基础训练】

1．已知点)0,5(1F，)0,5(2F，动点P满足821PFPF，则动点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段

2．已知双曲线19422yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

A.1 B.9 C.1或9 D.4或9

3．到两定点)5,0(),5,0(BA的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。

5．已知平面内有一长度为4的定线段AB，动点P满足3PBPA，O为AB的中点，则OP的最小值为 。

【典例精析】

例1．方程13122mymx表示焦点在y轴上的双曲线，则m的范围是（ ）

A. 3m且1m B.1m且3m C.31m D.3m或1m

例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.

(1)一个焦点为)0,4(，且一条渐近线的方程是023yx;

(2)离心率为2,且过点)10,4(P.

3.2.2双曲线的简单几何性质

（基础知识+基本题型）

知识点一

双曲线的性质

根据双曲线的标准方程22221(0,0)xyabab研究它的几何性质．

1．范围

,xayR，即,xaxayR或．

双曲线位于两条直线xa的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,xy的范围，由不等式222211xyab，得||xa，由222211yxba，得yR.

提示

双曲线在直线xa与xa之间没有图象，当x无限增大时，y也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.

2．对称性

双曲线的图象关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x轴、y轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O叫做双曲线的对称中心，简称中心.

提示

（1）把双曲线标准方程中的x换成x，方程并没有发生变化，说明当点(,)Pxy在双曲线上时，它关于y轴的对称点1(,)Pxy也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y轴成轴对称.

（2）同理，把双曲线标准方程中的y换成y，可以说明双曲线的图象关于关于x轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x换成x，y换成y，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称.

（3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.

（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.

3．顶点与实轴、虚轴

如图所示．

（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)Aa，2(,0)Aa.

（2）线段12AA叫做双曲线的实轴，线段12BB叫做双曲线的虚轴.

（3）实轴长122AAa，虚轴长122BBb，,ab分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.

拓展

双曲线中,,abc的几何意义及特征三角形：

（1）当双曲线焦点在x轴上时，a是半实轴长，b是半虚轴长，且222cab，所以以,,abc为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22RtOAB称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.

专题3.4双曲线的简单几何性质

知识点一双曲线的几何性质

标准方程22

221(0,0)xy

ab

ab22

221(0,0)yx

ab

ab

焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上

图形

性质焦点

12),0,)(,0(FcFc

12)0,,)(0,(FcFc

焦距

122FFc＝

122FFc＝

范围xa

,或xaya

或ya

对称性关于坐标轴、原点对称

顶点

12),0,)(,0(AaAa

12)0,,)(0,(AaAa

轴长实轴长2a,虚轴长2b

离心率1

c

e

a

渐近线b

yx

aa

yx

b

知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为22)0(xy



；

(2)渐近线方程为yx

,它们互相垂直；

(3)离心率2e

重难点1

已知方程求焦距、实轴、虚轴

1．已知

12,FF

是双曲线22

21(0)

3y

x

a

a的两个焦点，若双曲线的左

､右顶点和原点把线段

12FF

四等分，则

该双曲线的焦距为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】根据题意列出方程组22

224

3ca

ca







进行求解即可.

【详解】因为

12,FF

是双曲线2

2

21(0)

3y

x

a

a

的两个焦点，若双曲线的左

､右顶点和原点把线段

12FF

四等分，

所以24ca，即2ca，即224ca，

又因为223ca，

解得2

21

4a

c







，所以c=2，

所以该双曲线的焦距为2224c

.

故选：D

2．双曲线2

21x

y

m的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（）

A．9B．－9C．1

9D．1

9

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程，求得1,abm，结合题意，列出方程，即可求解.【详解】由双曲线2

21x

y

m，可得0m

，且1,abm，

因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3ab

，即

13m，解得1

9m

.

故选：C.

3．已知双曲线C：22

2210,0xy

ab

ab的左顶点为

A，右焦点为

F，焦距为6，点M在双曲线C