2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第二次月考数学(理)试题

数学试题 第 1 页 共 11 页 2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第二次月考数学（理）试 题

一、选择题（共12小题，每题5分）

1．设集合5Axx，*21,NBxxnn，则AB（ ）

A．1,1,3 B．1,3,5 C．1,3 D．0,1,3

2.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ）

A. 1ii B. 21i C. 22i D. 21ii

3．设0.40.5a，0.5log0.4b，ln0.4c，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．abc B．cab C．cba D．bca

4．已知命题:0,px，1sinxxx，命题:qxR，1xe，则下列为真命题的是（ ）

A．()pq B．()()pq C．()pq D．pq

5．已知直线l与平面，，满足l且，则“//l”是“l”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.在等比数列na中，561aa，899aa，则410aa等于（ ）

A. 9 B. 3 C. 3 D. 3

7．在ABC中，1AB，2AC，2BDDC，3ADAC，则cosBAC（ ）

A．14 B．12 C．32 D．56 数学试题 第 2 页 共 11 页 8．如图，在正方体1111ABCDABCD中，棱长为1，点,NP是棱111,BCDD的中点，则AB与NP所成角的余弦值为（ ）

A． 33 B．32 C．63 D．66

9．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2tantantanbBcAB，且ABC的外接圆半径为2，则ABC的面积的最大值为（ ）

A．34 B．34 C．334 D．33

10. 已知函数()2sinfxx和()2cosgxx（0）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()ygx的图象，只需把()yfx的图象（ ）

A. 向左平移1个单位 B. 向左平移2个单位

C. 向右平移1个单位 D. 向右平移2个单位

11．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ） 数学试题 第 3 页 共 11 页

A．254 B．2516 C．112516 D．11254

12.如图，在正方体1111ABCDABCD中，O是AC中点，点P在线段11AC上，若直线OP与平面11ABC所成的角为，则cos的取值范围是（ ）．

A．11,43 B．23,33 C．33,43 D．67,33

二、填空题（共4小题，每题5分）

13．若x，y满足32xxyyx，，， 则x + 2y的最大值为

14．若正数,xy满足220xxy，则3xy的最小值是

15. 函数fx满足11fxfx，当1x时，lnxfxx，若2240fxmfxm有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______. 数学试题 第 4 页 共 11 页 16．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△1ABM，连结1BD，N为1BD的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.

①存在某个位置，使得1CNAB；

②翻折过程中，CN的长是定值；

③若ABBM，则1AMBD；

④若1ABBM，当三棱锥1BAMD的体积最大时，三棱锥1BAMD的外接球的表面积是4.

三、解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）

17．已知函数3()31 fxxax在1x处取得极值.

（1）求实数a的值；（2）当[2,1]x时，求函数()fx的最小值.

18. 设函数1231fxxx的最大值为M.

（1）求M；

（2）若正数a，b满足3311Mabab，请问：是否存在正数a，b，使得66abab，并说明理由. 数学试题 第 5 页 共 11 页 19．已知向量3sin,,(cos,1)4axbx，设函数()2()fxabb.

（1）当//ab时，求2cossin2xx的值；

（2）已知在ABC中，内角、、ABC的对边分别为abc、、，若3,2ab，6sin3B，求当04x时()()4cos26gxfxA的取值范围.

20．如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，60ABC，5SA，6AB，3AD，M为SD上一点.

（1）求证：平面AMC平面SAD；

（2）若//BS平面AMC，求面SAB与面AMC所成锐二面角的余弦值.

21．设数列na的前n项和为nS，已知11a，121nnaS，*nN.

（1）求通项公式na；

（2）设*111nnnnabnaaN，数列nb的前n项和为nT，求证：14nT.

数学试题 第 6 页 共 11 页

22. 已知函数21()xaexfxx，且曲线yfx在22f,处的切线斜率为1.

（1）求实数a的值；

（2）证明：当0x时，1fx；

（3）若数列nx满足1nxnefx，且113x，证明：211nxne.

数学试题 第 7 页 共 11 页 鹤岗一中2018级高三第二次月考数学（理科）试题

答案

1-5 CDBAB 6-10 BBCDA 11-12CD

13．9 14．4

15. 24,22ee 16.②④

17．（1）a=1（2）当x=-2或1时，()fx的最小值为3.

18. （1）3M.

（2）假设存在正数a，b，使得66abab，则66663322abababab，

所以552212ab.又由于333311132Mabababab，

所以552223ab与552212ab矛盾，所以假设不成立，即不存在a，b，使得66abab.

19．（1）85（2）11(),222gx.

20．（1）证明：因为SA平面ABCD， AC平面ABCD，所以SAAC.

在ABC中，2222cosACABBCABBCABC1369263272，

所以33AC，因为222ACBCAB，所以ACB为直角三角形，ACBC.

因为ABCD为平行四边形，所以//ADBC，所以ACAD.

又SAADA， SA平面SAD， AD平面SAD，所以AC平面SAD. 数学试题 第 8 页 共 11 页 又AC平面ACM，所以平面ACM平面SAD.

（2）连接BD，设AC与BD交点为N，连接MN，

因为//BS平面ACM，BS平面SBD，平面ACM平面SBDMN，

∴//BSMN.∵N是BD中点，∴M是SD中点.

如图，以A为原点，以AC、AD、AS所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

于是0,0,0A，0,0,5S，(33,3,0)B，33,0,0C，0,3,0D，350,,22M

(0,0,5)AS，(33,3,0)AB，(33,0,0)AC，350,,22AM

设1111,,nxyz为平面SAB的一个法向量，

则1100nABnAS，即111300xyz取1(1,3,0)n.

设2222,,nxyz为平面ACM的一个法向量，则

2200nACnAM，即2220350xyz，取2(0,5,3)n.

1212125102cos,68nnnnnn. 数学试题 第 9 页 共 11 页 设平面SAB与平面ACM所成角的平面角的大小为，

则125102coscos,68nn.

所以平面SAB与平面ACM所成角的余弦值为510268.

21．（1）因为121nnaS，*nN，121,3aa，

所以当2n时，121nnaS，以上两式做差得：12nnnaaa，即13nnaa，2n，

由于213aa，所以13nnaa， *nN，所以数列na是等比数列，公比为3，首项为1，

所以13nna .

（2）结合（1）得1111311111231313131nnnnnnnnnabaa，

所以数列nb的前n项和为：

1111111111111224410313122314231nnnnnT，

由于*nN，所以10231n，所以11144231nnT

22.（1）24311222xxxxaexaexxaexxfxx，

因为曲线yfx在22f,处的切线斜率为1，

所以2322212222aeaf，得2a. 数学试题 第 10 页 共 11 页 （2）证明：将2a代入得221()xexfxx，若1fx，

则只需证明：2210xexx在0,x上恒成立即可.

令m(x)=2(ex−x−1）−x2,则𝑚′(x)=2ex−2x−2

令n(x)=2ex−2x−2,则𝑛′(𝑥)=2𝑒𝑥−2>0在x∈(0,+∞)上恒成立，

所以n(x)在x∈(0,+∞)上递增,又n(0)=m′(0)=1>0,

即m′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，所以m(x)x∈(0,+∞)上单调递增，

又m(0)=0，所以2210xexx在0,上恒成立，

即1fx在0,上恒成立.

（3）证明：由（2）可知，当0,x时，1fx，

因为+1nxnefx，所以+1lnnnxfx，

设lnnngxfx，则1nnxgx，

所以121nnnxgxggxggx.

要证：211nxne，只需证112nnxe，