第八章 函数

 1 第八章 多元函数微分法及其应用 

(A)

1．填空题．填空题

(1)若

yxfz

,

在区域D

上的两个混合偏导数

yxz

2

，

xyz

2

，则在D

上，上，

xyz

yxz



22

。 

(2)函数

yxfz

,

在点

00,yx

处可微的处可微的 条件是

yxfz

,

在点

00,yx

处的

偏导数存在。偏导数存在。

(3)函数

yxfz

,

在点



00,yx

可微是

yxfz

,

在点



00,yx

处连续的处连续的 条件。条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域

(1)yxz

；(2)

22arccos

yxz

u

 

3．求下列各极限．求下列各极限

(1)

xxy

yxsin

lim

00

； (2)

11lim

00

xyxy

yx； (3)

222222

00)()cos(1

lim

yxyxyx

yx



4．设

xyxz

ln，求

yxz



23

及

23

yxz



。 

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数

(1)xy

arctgz

；

(2)

xyz

ln

；(3)32

zxy

eu

。 

6．设utuvz

cos2

，t

eu

，tv

ln

，求全导数

dtdz

。 

7．设

zyeux

，tx

，ty

sin

，tz

cos

，求

dtdu

。 

8．曲线











4422

yyx

z

，在点(2,4,5)处的切线对于x

轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？

9．求方程1

22

22

22



cz

by

ax

所确定的函数z

的偏导数。的偏导数。

10．设yxyezx

2sin2

，求所有二阶偏导数。，求所有二阶偏导数。

 2 11．设

yxfz

,

是由方程yz

zx

ln

确定的隐函数，求xz



，

yz



。 

12．设xy

eexy

，求

dxdy

。 

13．设

yxfz

,

是由方程03

xyzez

确定的隐函数，求

xz



，

yz



，

yxz

2

。 

14．设yyezx

cos2

，求全微分dz

。 

15．求函数

- 1 - 第八章 多元函数微分学自测题及解答

一、选择题

1．若函数) ,(yxf在点) ,(yx处不连续，则( C)

（A）) ,(limyxfyyxx必不存在； （B）) ,(yxf必不存在；

（C）) ,(yxf在点) ,(yx必不可微；（D）) ,(yxfx、) ,(yxfy必不存在。

2．考虑二元函数) ,(yxf的下面4 条性质：

①函数) ,(yxf在点) ,(yx处连续；

②函数) ,(yxf在点) ,(yx处两个偏导数连续；

③函数) ,(yxf在点) ,(yx处可微；

④函数) ,(yxf在点) ,(yx处两个偏导数存在。

则下面结论正确的是（ A ）

（A）②③①；（B）③②①；（C）③④①； D）③①④。

3．设函数0 , 0 0 ,),(2222242yxyxyxyxyxf，则在)0 ,0(点处（ C ）

（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在；

（C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。

解：取2xy，∵0)0,0(21lim),(lim4440002fxxxyxfxxyx,

∴)0,0(f在)0 ,0(点处不连续，而0)0,0()0,0(yxff。故应选（C）

4．设zyxu，则)2,2,3(yu（ C ）

（A）3ln4； （B）3ln8； （C）3ln324； （D）3ln162。

5．若函数),(yxf在区域D内具有二阶偏导数： - 2 - 22xf，22yf，yxf2，xyf2， 则（ D ）

（A）必有xyfyxf22； （B）),(yxf在D内必连续；

1 第八章 回归方程的函数形式

回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。

在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。

我们将特别讨论下面几种形式的回归模型：

(1) 对数线性模型(不变弹性模型)

(2) 半对数模型。

(3) 双曲函数模型。

(4) 多项式回归模型。

上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。

8.1 三变量线性回归模型

以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：

Y =2BiAX ( 8 - 1 )

此处变量Xi是非线性的。但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式：

lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )

其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令

B1= lnA ( 8 - 3 )

可以将式( 8 - 2 )写为：

lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )

加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：

lnYi = B1+B2lnXi+ui ( 8 - 5 )

( 8 - 5 )是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式( 8 - 5 )的模型称为双对数模型或对数-线性( log-linear )模型。

一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的：

令 Yi* = lnYi ,

Xi* = lnXi

则( 8 - 5 )可写为：

Yi* = B1 + B2 Xi* + ui ( 8 - 6 )

这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的。

如果模型( 8 - 6 )满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答

一、选择题

1. 极限limxyxyxy00242= （提示：令22ykx） （ B ）

(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12

2、设函数fxyxyyxxyxy(,)sinsin11000，则极限lim(,)xyfxy00= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数fxyxyxyxyxy(,)222222000，则(,)fxy （ A ）

（提示：①在220xy，(,)fxy处处连续；②在0,0xy ，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxkxk ，故在220xy，函数亦连续.所以，(,)fxy在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设uyxarctan，则ux= （ B ）

(A) xxy22 (B) yxy22 (C) yxy22 (D) xxy22

6、设fxyyx(,)arcsin，则fx'(,)21 （ A ）