8.1 二分法与求方程近似解8.1.1 函数的零点一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．( )[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x )＝x 2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x )在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(一题两空)函数y ＝x 2＋3x ＋2的零点是________，其图象与x 轴的交点为________． －1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x 2＋3x ＋2＝0，则(x ＋2)(x ＋1)＝0，∴x ＝－1或x ＝－2．]3．若函数f (x )在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．1 [由f (x )在区间[2,5]上是减函数，可得f (x )至多有一个零点．又因为f (x )是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x )在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x )恰有一个零点．]求函数的零点(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝2x－8；(3)f (x )＝1－log 4 x ；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1．(2)令f (x )＝2x－8＝0，∴x ＝3， 故f (x )的零点为x ＝3．(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4． 故f (x )的零点为x ＝4．(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2． ∴f (x )的零点为2．当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2． ∴f (x )有零点2．当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2．∴f (x )的零点为1a，2．综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2．函数的零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1，x >12x －1－1，x ≤1；(2)f (x )＝(2x－3)ln(x －2)；(3)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]．[解] (1)当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1．所以函数的零点是1和2．(2)因为函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4， 由(2x－3)ln(x －2)＝0，得x －2＝1，所以x ＝3， 即函数f (x )＝(2x－3)ln(x －2)的零点是3． (3)因为x ∈[0，π]，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝0或2x －π3＝π，解得x ＝π6或x ＝2π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的零点是π6和2π3．零点存在性定理及其应用x序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34． [思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．③ [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．] 1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．[跟进训练]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x ＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－1 0 1 2 3e x0．37 1 2．72 7．40 20．12 x ＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③ [设f (x )＝e x－(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0．37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2．72－4<0，f (2)＝7．40－5>0，f (3)＝20．12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x－(x ＋3)＝0的根在(1,2)内．]函数零点(方程不等实根)个数的判断1．如何去求一个方程的零点？[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ [提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x－3x ．图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．【例3】 (1)函数f (x )＝e x－3的零点个数为________． (2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数． [思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．(1)1 (2)2 [(1)令f (x )＝0，∴e x－3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2．] (3)[解] 法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a ． 令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a ．作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－254×－1＝134，画出如图所示的简图： 由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0．Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13．①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．(变条件)若把本例(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题． [解] 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134， f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3．故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示： 由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根；②当3＜a ＜134时，方程有两实数根；③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，则k 构成的集合为______________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，因为x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )A [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3．分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3．应选C ．]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：4 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．]4．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第8章 成本函数 课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．在一篇著名的论文里（J. Viner ：“Cost Curves and Supply Curves ”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC 曲线，并令其与U 形AC 线的切点也分别是每一条SAC 线的最低点。
绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。
在这一辩论中，你将支持哪一方？答：支持绘图员一方。
理由如下：假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线i SAC ，其中1,2,...,i n =，使得它们和U 形的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SAC 的最低点。
如果i x 是AC 线的最低点，那么过该点作i SAC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。
同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于i x 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。
可是i SAC 和AC 相切于点i x 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。
因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是i SAC 的最低点。
但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SAC 的最低点。
2．假定一厂商生产两种不同的产品，数量分别为1q ，2q 。
该厂商的总成本为：()12,C q q 。
