第七节 正弦定理和余弦定理 夯基提能作业本 3年高考2年模拟高中数学一轮复习专用
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第七节 正弦定理和余弦定理
A组 基础题组
1.(2017陕西宝鸡质量检测(一))在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=
,a=3,c=4,则sin A=( )
A.
B.
C.
D.
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2 ,cos A=
且b
A.3 B.2
C.2 D.
3.(2017云南第一次统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=
,a= ,sin2B=2sin Asin C,则△ABC的面积S△ABC=( )
A.
B.3
C. D.6
4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
5.在△ABC中,∠ABC=
,AB= ,BC=3,则sin∠BAC=( )
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=
.
7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a= ,sin B=
,C=
,则b=
.
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=
asin C,则sin B=
. 9.(2018湖南长沙质检)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2·sin Asin C.
(1)若a=b,求cos B;
(2)设B=90°,且a= ,求△ABC的面积.
10.(2017甘肃兰州模拟)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知2acos2
+2ccos2
=
b.
(1)求证:2(a+c)=3b;
(2)若cos B=
,S= ,求b.
B组 提升题组
1.(2017安徽合肥模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=
,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆的面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.36π
2.(2017贵州贵阳模拟)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan
A=
. 3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足cos 2C-cos 2A=2sin
·sin
- .
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,且b≥a,求2b-c的取值范围.
4.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+ cos
A=0,a=2 ,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
答案精解精析
A组 基础题组
1.B 在△ABC中,∵sin(A+B)=
,∴sin C=
.∵a=3,c=4,∴由
=
得
=
.∴sin A=
.
2.C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b
3.B 由sin2B=2sin Asin C及正弦定理,得b2=2ac①.又B=
,所以a2+c2=b2②,联立①②解得a=c= ,所以S△ABC=
× × =3,故选B.
4.B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
得sin(B+C)=sin2A,∴sin A=1,即A=
.故选B.
5.C 在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC=( )2+32-2× ×3×
=5,解得AC= .由正弦定理得sin∠BAC= ·
= =
.故选C.
6.答案
解析
在△ABC中,由b=c,得cos A= -
= -
,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1,又知A∈(0,π),所以A=
.
7.答案 1
解析 因为sin B=
且B∈(0,π),
所以B=
或B=
.
又C=
,B+C
所以B=
,A=π-B-C=
.
又a= ,由正弦定理得
=
,
即
=
，解得b=1.
8.答案
解析 ∵bsin B-asin A=
asin C,∴b2-a2=
ac.
又∵c=2a,∴b2-a2=a2,∴b= a.
∵cos B= -
= -
=
,∴sin B= -
=
. 9.解析 (1)由已知及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,所以b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cos B= -
=
.
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°,所以a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a= .
所以△ABC的面积为1.
10.解析 (1)证明:由已知得,a(1+cos C)+c(1+cos A)=
b.
在△ABC中,过B作BD⊥AC,垂足为D,则acos C+ccos A=b,
∴a+c=
b,即2(a+c)=3b.
(2)∵cos B=
,∴sin B=
.
∵S=
acsin B=
ac= ,∴ac=8.
又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),2(a+c)=3b,
∴b2=
-16×
,∴b=4.
B组 提升题组
1.C 已知bcos A+acos B=2,由正弦定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2Rsin C=2,因为cos C=
,所以sin C=
,所以R=3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.
2.答案
解析 c2=a2+b2-2abcos C=4b2+b2-2×2b×b× -
=7b2,∴c= b,cos A= -
= -
=
,
∴sin A= - = -
=
,
∴tan A=
=
.
3.解析 (1)由已知可得2sin2A-2sin2C=2
-
,
化简得sin2A=
,∴sin A=±
,
又0
,故A=
或
.
(2)由
=
=
,得b=2sin B,c=2sin C, 因为b≥a,所以B≥A,所以A=
,
故2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin
- =3sin B- cos B=2 sin -
.
因为
≤B<
,所以
≤B-
<
,
所以2b-c的取值范围为[ ,2 ).
4.解析 本题考查解三角形.
(1)由已知可得tan A=- ,所以A=
.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c·cos
,即c2+2c-24=0.
解得c=-6(舍去),或c=4.
(2)由题设可得∠CAD=
,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=
.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
· ·
· =1.
又△ABC的面积为
×4×2sin∠BAC=2 ,
所以△ABD的面积为 .
