不等式的简单变形1[上学期]--华师大版-(201912)

等式与不等式的变形在数学中，等式和不等式是我们经常使用的基本概念。

通过变形，我们可以对等式和不等式进行操作，使其更符合我们的计算和推导需求。

本文将介绍等式和不等式的基本变形规则以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。

一、等式的变形1. 合并相同项：当等式中存在相同的项时，我们可以将它们合并成一个项。

例如：3x + 2x = 5x。

2. 移项：在等式中，如果某个变量或常数项在等式两边都有，我们可以将它们移到一边，以便对另一边进行运算。

例如：2x + 5 = 10，可以变形为2x = 10 - 5。

3. 因式分解：有时候我们需要将等式中的某个项进行因式分解，以便于进行运算和简化。

例如：2(x + 1) = 4，可以进行因式分解为2x + 2 = 4。

4. 变量相消：如果等式中的两个变量相等，我们可以将它们进行相消。

例如：2x + 3 = 5x - 1，可以化简为3 + 1 = 5x - 2x。

5. 通分：当等式中含有分数时，我们可以通过通分将分数进行合并。

例如：1/2x + 1/3x = 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x = 1。

二、不等式的变形1. 合并相同项：与等式的变形相似，不等式也可以合并相同项。

例如：3x + 2x > 5x。

2. 移项：不等式的移项与等式类似，将某个变量或常数项移到一边以便进行比较和运算。

例如：2x + 5 > 10，可以变形为2x > 10 - 5。

3. 改变不等号方向：当不等式中的变量或常数项与被比较的对象相互交换位置时，不等号的方向也需要相应改变。

例如：-2x + 3 < 5，可以变形为3 - 5 > 2x。

4. 因式分解：不等式中的因式分解同样适用于等式。

例如：2(x + 1) > 4，可以因式分解为2x + 2 > 4。

5. 通分：如果不等式中含有分数，我们可以通过通分将分数进行合并。

例如：1/2x + 1/3x < 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x < 1。

归纳：
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等号的方向不变.
等式基本性质2：等式的两边都乘以 （或除以）同一个不为0的数，等式 仍然成立.
用刚才的方法研究： 不等式有没有这样 的性质？
不等式应该有什么 样类似的性质？
探究：∵
3<7
< 7× 2 ∴ 3×2__
归纳：
1 1 ∴ 3 __ < 7 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （3） 7x＜ 6x -6
解： 1， 根据不等式的基本性质__ 减去6x ，得 两边都_______
7x- 6x < -6 x< -6 即
题组训练一： 比较大小： （1）a与a+2； （2）a与2a ．
题组训练二：
有一个两位数，个位上的数 字是a，十位数上数字是b； 对调个位、十位数字得一新 两位数，且新两位数大于原 两位数．a与b哪个大，哪个 小？
不等式基本性质2：不等式的两 边都乘以（或除以）同一个数， 不等式的方向不变．
如∵ 3 < 5 检验：
∴ 3 (2) __ < 5 (2) 对不对？
不等式基本性质2：不等式的两边 都乘以（或除以）同一个正数， 不等式的方向不变． 不等式基本性质3：不等式的两边 都乘以（或除以）同一个负数， 不等式的方向改变．
（1） x-5 ＞ -1
（2） -2x ＞3
（3） 7x＜6x -6
（1） x-5 ＞ -1
解：根据不等式的基本性质__ 1， 5 ，得 两边都加上 _____ x＞-1+5 即 x＞4
（2） -2x ＞ 3
3 X 2
解：根据不等式的基本性质___ 3 ， 除以-2 ，得 两边都______

2、自学课本56页，理解掌握不等式的性质2、 性质3
3、自学课本57页 自学 例1，总结怎样进行不等式的“移项”； 自学 例2，总结怎样进行不等式的“系数化1”
不等式的简单变形
知识形成2
试一试：根据不等式 7>4，用“>”“<”填 空 并观察不等号的方向是否发生改变： (1) 7× 3_＞__4 ×3 不变 (5) 7×(－1)_<__4×(－1) 改变 (2) 7× 2 _＞_4 ×2 不变 (6) 7×(－2)_<__4×(－2) 改变 (3) 7× 1_＞__4 ×1 不变 (7) 7×(－3)_<__4×(－3) 改变 (4) 7× 0__=_4 ×0
5.不等式17－3x＞2的正整数解的个数是( C)
Ａ. 2 B. 3 C.4
D. 5
变式训练
解下列不等式，并在数轴上表示出来：
1. x－2>0
2. x＋1>0
用约5分钟自学课本55—57页，完成下列问题
1、自学课本55页，理解掌握不等式的性质1
2、自学课本56页，理解掌握不等式的性质2、 性质3
3、自学课本57页 自学 例1，总结怎样进行不等式的“移项”； 自学 例2，总结怎样进行不等式的“系数化1”
不等式的简单变形
例1 解不等式：
(1)x－7<8
(2)3x<2x-3
不等式的简单变形
知识形成2
性质2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变.
如果 a > b，并且c>0, 那么ac>bc，ac
>
b c
性质3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变.

方法技能： 利用不等式的性质对不等式进行变形时，要联想解一元一
次方程的思想方法，将不等式化为x＞a或x＜a的形式，特
别要注意不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数时， 不等号的方向要改变． 易错提示： 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数时，往往因没
有改变不等号的方向而出现错误．
第 8章
8．2
一元一次不等 式
解一元一次不等式
不等式的简单变形
数学
B
C
＞ < <
＞ ＞
＞
2 2 － m ＋1＞－ n ＋1 3 3
A
D
B
x＞10
x＜－1
C
D
B
< > > >
> < >
3 -1
<
二
1 (2)错误的原因：不等式两边都乘以一个负数(－ )时，不等号的方向没有改变 3
1 (3)不等式的两边都减去 5x，得 2x－5x＜5x＋6－5x，即－3x ＜6.不等式两边都乘以－ ，得 3 1 1 －3x×(－ )＞ 6×(－ )，即 x＞－2 3 3
16．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)x－2＞3； x＞5，在数轴上表 示略 (2)3x－6≤0； x≤2，在数轴上表 示略
1 (3)－3x＞－ (4)3x； －4≤x－3.
x＜1，在数轴上表 示略
3 x≥－ ，在数轴上表示略 2
3
17．现有不等式的两个性质： ①不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变；
②不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的
方向不变；不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数， 不等号的方向改变． 请解决以下两个问题： (1) 利用性质①比较 2a 与a的大小 (a≠0)； (1)①若a ＞ 0，则a＋a＞0＋ a，即 2a＞a；②若 a＜ 0，则a＋ a＜ 0＋a，即2a＜a (2) 利用性质②比较 2a与a的大小(a≠0)． (2)①若a＞0，由2＞1得2·a＞1·a，即2a＞a； ②若a＜0，由2＞1得2·a＜1·a，即2a＜a