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从一道课本习题所想到的

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课本中一道习题的探求与思考

课本中一道习题的探求与思考

Ｐ
记当 Ａ 垂直于 Ｏ Ｐ Ｐ 时 ，Ｐ 的 垂 直 平 分 线 与 Ａ Ｏ Ａ的 交 点 为 ， 则 为
图３
的 中点 ， Ｉ Ｍ ＝Ｉ ＝ｃｒ＝２ ， 令 Ｉ Ｉ ， Ｏ ＭＡ ａ 显然 Ｃ＞
口贝 ＭＱｌ ， ＫＪ ，０ ：口 Ｊ ＝÷ｒ＝。 故 Ｉ ＝ Ｉ Ｍ ， Ｉ ＭＱ
下面加 以证 明．
由 件６一 ≠ 即 条 ｆ ＞ 。 ０ ０ ｉ Ｉ ｝ Ｌ Ａ
中学 数学 杂志
ｒ 一 ａ２ ≠ ０ ６ ｋ
．
２１ ００年第 ７期
ｂ 一 ａ２ ≠ ０ ｋ
【ｍ ｋⅡ ４ ＋４ ｂ （ 一ａｋ ） ２ ＋ ２ ＞０ ２ （ ｍ ｂ）
一
Ｏ Ｐｌ＝ｒ根据 双 曲线 的定义 ， Ｑ 的轨迹 是 以 ０， ， 点 Ａ 事 实上 ， 由图只能得 到 Ｉ ＡＩ Ｉ Ｏｌ 尸Ｉ — ＝ＩＱ Ｑ Ｑ
－
口， ｃ 令 一口 ＝ｂ， ＩⅣ 。则 ＱＩ＿ｂ
从 而可 以说 明直 线 ＭＮ对 应 Ｙ ＝
ＩＱ ＝Ｉｏ ＯＩ ＰＩ＝ｒ那 么 ， 么时 候 出现 Ｉ Ｏ Ｉ ， 什 — Ｑ Ｉ：ｒ 下 面加 以详细说 明． 呢？ 若 Ｏ Ｐ与 Ｐ Ａ垂 直 ， 如
段Ａ Ｐ的垂直平 分线 ｆ 即为双 曲线 的渐 近线 ， 即双 也
． ．
＋ ｍ
２
，
２
Ｌ
曲 标准 程 线 － 力 一 ＝ 对 渐近 ＝ ， 旨 １ 应的 线Ｙ ±
Ｕ （ ， ｕ
两’｛ 吾 １ 一 点 薯 ： 贝 一 得 由
１ ５
０ ｋ 、 ２— ２ ｘ 一 口 ｍ 一 ｎ ｂ ＝ ０ ｍ口 ｋ
（ ６ ０＋ａ ｏ （ｘ ｙ ） ｂｏ—ａ ｏ ｙ ）＝ｂ 一０， ＝ ２ ０ ， ２

精心架设探究路径 提升学生思维能力——对三年级教材习题“你发现了什么”的认识与思考

精心架设探究路径 提升学生思维能力——对三年级教材习题“你发现了什么”的认识与思考

精心架设探究路径 提升学生思维能力——对三年级教材习题“你发现了什么”的认识与思考王 琼（浙江省嵊州市剡山小学浙江省嵊州市312400）摘要：人教版小学数学教材中有“你发现了什么？这样一类的习题，老师们在实际教学时由于解读教材不够，对此类习题的编写意图理解不清，往往忽略了它潜在的价值功能，从而影响了学生数学学习的真正发生。

文章以三年级教材习题为例，理清“你发现了什么”从哪里来，到哪里去，以“你发现了什么”这一类题为核心，引发学生深度思考和学习，剖析数学知识的本源，逐步培养学生的高阶思维能力。

关键词：深度学习；思维能力；探索规律中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578(2021)06-0117-02课后习题是学生数学学习反馈的载体之一，同时也是编者渗透新课标理念的具体体现，它们或是体现某种数学思想，或是渗透某些数学方法，或是蕴含某种数学规律。

在现行人教版小学数学教材中，常常会出现这样一类型的习题——“你发现了什么”。

老师们在实际教学时由于解读教材不够，对此类习题的编写意图理解不清，往往只追求计算结果，就题论题，而忽视学生过程的经历和思维能力的发展，没有让课后习题发挥其潜在的作用。

基于此，以“你发现了什么”这一类题为核心，引发学生思考，激发学生讨论，让学生在学习过程有更多的时机发现问题和提出问题，分析和解决问题，剖析出数学知识的本源，并通过课堂学习培养学生整体性、系统性、综合性的思维方式，从而让深度学习真正发生，达成对数学知识的深度理解。

1.从哪里来？——理清编排思路，把握编写意图纵观小学数学三年级教材内容，“你发现了什么”在课后习题中共出现了13次，其中涉及“数与代数”领域11次，“图形与几何”领域2次。

总体上看，不论属于哪一领域，虽然所属章节内容不尽相同，但主要都是以计算内容为主，都需要探索规律。

通过这样的编排，一方面对学生所学知识加以巩固提升，加深对数学知识的本质理解；另一方面让学生经历自主探究规律的过程，发展学生的思维能力。

一道课本习题的几种思考视角

一道课本习题的几种思考视角
１ ０ ＋ ０ ＋ ０ －１ ０ １
＝
式及其取等号的条件． 解法 １ ： 根据柯西 不等式 ， 有（ ｘ ＋ ｖ ＋ ｚ ） （ ２ ＋ ３ ＋ ４ ‘ ） ≥（ ２ ｘ ＋
３ ｖ ＋ ４ ｚ ） ２ ：１ ０ ０得ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ ｚ ２ ≥
， ，
＝
≤Ｒ ， 即ｘ ＋ ｖ ２ ＋ ｚ ２ ≥＿ ｌ ０ ０当 且 仅 当 ＿ 兰 Ｉ ＝
１ ００
＋ ｃ ） （ ｘ ～ ＋ ｙ ＋ ｚ ） ≤Ｏ， 得（ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ） ・ （ ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ） ≥（ ａ ｘ ＋ ｂ ｙ ＋ ｃ ｚ ） ．
因为 （ ａ ｍ— ｘ） ‘ ＋（ ｂ ｍ— ｙ ） ＋（ ｃ ｍ— ｚ ） ‘ ＝（ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ‘ ） ｍ。 一 ２（ ａ ｘ ＋ ｂ ｙ ＋ ｃ ｚ ） ｍ＋（ ｘ ＋ ｙ ＋ Ｚ ２ ） ＞０ ／ 恒 成 立 所 以 △： ［ 一 ２ （ ａ ｘ ＋ ｂ ｙ ＋ ｃ ｚ ） ］ 一 ４ （ ａ ２ ＋ ｂ
ｄ：＿ ｌ ａ ｘ ｏ ＋ｂ ｙ ｏ ＋ｃ ｚ ｏ ｌ ：
、
、 ／ ａ ＋ ｈ ＋ ｃ 、 ／ ａ ＋ Ｉ １ ＋ ｃ
Ｃ
：
．
≤ Ｒ ： Ｘ ／ — ｘ ： － ， － ｙ ： — ＋ ｚ ： ， ， 当 且 仅当
ｘ 。
分析 ： （ 维柯 西 不 等 式 ） 设ａ ． ， ａ ， ａ ， ｂ ． ， ｂ ， ， ｂ ３ 是实数 ， 则（ ａ
，
４ ｚ ： １ ０ ， 即 ：
２ ９ ２９
时， ＋ ｖ ＋ 取 最小 值２ ． 向 量 的 视 角
分析 ： 若 能 构 造 空 间 向量 ． 则 鬲． ＝ Ｉ － ． Ｉ ｃ ｏ ｓ ＜ 斋． ≤Ｉ ｍＩ ．

一道课本习题的教学探讨

一道课本习题的教学探讨
更抽 象 ， 但数学思想 ， 不仅具 ： 的结果 ； 用单一的角度与方法去观察思考问题 ， 思想程序性更弱 ， 有方法论的意义， 更具有认识论的意义， 将解题 ： 不去深入地挖掘 ，不注重对习题反映出来的思
扣教材出新题， 是高考命题方向之一， 而
对提高学生思维和对问题的进 ： 教材的丰富内涵是高考命题的源泉，命题者常 想方法进行提炼 ，从而丧失习题潜在的教育功 方法进行提升，
（） ２写出（ ） １中命题 的逆命题 ， 并判断真假 ，
课堂问题 的变式是熟练技能 ， 促进理解的
说明理 由。 已知 ： 直线 ｙ ｘ ２与抛物线 ｙ＝ｘ交 于点 必要步骤 ，数学教学应让学生体验有限变异这 ： ＝一 ￣２ 过程 ， 这些 问题的变异 ， 看似简单重复 ， 实 ： 其 六、 再思考 Ａ。 Ｂ。
： 自己的一些观点：选择课本上一道习题作为教
那么， ．Ｏ Ｚ Ｂ是锐角 ， ， Ａ 直角 还是钝角？ ： 为 效地进行习题课教学？ 在这篇文章中 ， 我给出了 新课程标准要求，学生应尝试从不同角度 两点 ，
思考 问题 ， 一题多解 ， 不仅可沟通各部分 知识 的 什么？
联系 ， 拓宽解题思路 ，Байду номын сангаас少胜多” 并且能够激 “ ， 发学生对数学研究的兴趣。
０
・－—
—！－ —－
通过多角度思考， 提炼方法 ， 变式训练。 编拟开
放性 习题 ， 以此来呈现课本习题的教学功能 ： 巩
义・ ‘ ‘ ’ ｏ Ａ
・ ． ．
固知识， 技能。 拓宽思维， 培养创新与探究能力。
倡导在 以后的教学 中 要重视课本习题 ， 充分挖掘
０ ｉｏ ７＂ － ｆ ． 二、 方法提炼 。 并提升到“ 思想” 层面

悉思究,求善美——一道课本习题的探究价值

悉思究,求善美——一道课本习题的探究价值

０ ） ， 则
ｎ
＋
１
＝ １
ｎ
一 ３ ｕ ＝ ｌ
ｏ ： 一 ｌ 或ｎ ＝ 丁 ２ ｊ 。
所 以 Ｌ 的 方 程 为 ｙ ＝ ｘ ＋ １ 或 手 ｘ 一 手 ｙ ： １ 。
⑤和为 １ ０ （ ２条 ） ——设 Ｌ与 ｘ轴 、 Ｙ轴 的交 点为 Ａ（ ａ ， ０ ） 、 Ｂ （ ０， １ ０ 一 ａ ） ， 则 Ｌ的方程为
②互 为相反数 （ ２条 ） —— 设 Ｌ的方程为 ｙ － ３ ＝ ｋ （ ｘ 一 ２ ） （ ｋ ≠
０ ） ， 贝 ０ （ ３ — ２ ｋ ） ＋ （ ２ 一 Ｋ 一 ） ＝ ０ ｋ ＝ ｌ 或ｋ ＝ 辜。
所 以 Ｌ的 方 程 为 ｙ ＝ ３ ｘ或 ｙ ＝ ｘ 十 １
《 数学 》 第 二册（ 上） Ｐ ４ ４习 题 １ ０为 原 型 ， 展示 一下 我们的作 为 ， 以提 升对 这 道 题 目 的探 究 价 值 、 考 评 价 值 和 完 美 追 求 的认 识 。
【 原题 】 求 过点 ｐ （ ２ ， ３ ） ， 并 且 在 两 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方
家又论述说 ： “ 对 问题 解 答 后 的结 论 的正 确 性 的检 验 或 提 出疑 问： 是否还有其他解 法或更佳 解法 ： 能 否 对 问 题 的 题 设 或 结 论 进行变式 ； 能 否 把 当前 的命 题 推 广 到 一般 情 况 。” 这些 无 不 启 发
【 解】 绝对 值相等 （ ３条 ） — — 设 Ｌ的 方 程 为 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ （ ｋ ≠
【 中图 分 类 号 】 Ｇ６ ３ ３ ． ６
【 文 献 标 识 码 】Ａ
【 文章编号 】 １ ６ ７ １ — ８ ４ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ４ ５ — ０ ３

一道课本习题的联想与拓展

一道课本习题的联想与拓展
１ ０。 １ （ ８ ８ １ ｏ。
一 －
．
．
Ｂ Ｃ一÷ Ａ Ｏ
１
３ 拓 展
拓展 １ 三角形 两 内等分线 所成 的角 与第 三个 角 ： 的大小关系．
Ｃ
图 ２
Ｚ Ａ）
Ｃ
・ ． ．
Ｂ０ｃ一 ９ 。 ０ ＋
Ａ
联 想 ２ 三 角 形 两 外 角 平 分 线 所 成 的 角 与 其 不 相 ： 邻 的一 个 内角 的大 小 关 系． 图 ３ＡＢ 的 外 角 Ｃ Ｄ 如 ， Ｃ Ｂ 和 Ｂ Ｅ 的 平 分 线 交 于 点 Ｃ ｏ， 探 求 Ｂ Ｃ 与 Ａ 的 试 Ｏ
生 的创 新 意 识 ．
半 分 ＢＣ Ｅ
・
ｃ ＢＯ＋ Ｂｃ 一 Ｉ （ ＣＢＤ ＋ ￣ ＢＣ 。 Ａ Ｅ）一 ９ 。 ０
．
．
＋
‘
Ａ
．
‘
ＢＯＣ＋ Ｃ ＢＯ＋ ＢＣＯ＝ １ ０ ８。 ＢＯＣ 一 １ ０ 一 （ ＣＢＯ ＋ ＢＣ ８。 Ｏ）一 １ ０ 一 ８。
． ．
Ｏ １ ０ 一 （ Ｏｔ 一 ８。 ＢＣ＋ ０ ＣＢ）
。
拓 展 ２ 从 而 还 可 以 拓 展 出 凹 四边 形 ＡＢ Ｃ（ 图 ： ｏ 如 １ 的 一 个 重 要 性 质 ： 。一 Ａ＋ ＡＢ Ａ Ｏ ） Ｏ＋ Ｃ
证 明 ：‘ ＡＢＯ ＋ ＡＣＯ ＋ Ａ ＋ ／ ＯＢＣ ＋
‘ ．
．
ＢＣＥ一 Ａ＋ ＡＢＣ
．
ＡＢＣ４ ＡＣ － Ｂ＝ １ ０ ～ Ａ ８。
‘
ＣＢＤ ＋ ＡＣＢ ＋
Ｂ ＣＥ 一 Ａ ＋
０
．
。 Ａ Ｂｆ 一 ０２ ） ２ Ｂ 一

一道课本习题教学的实践与思考——关于例、习题教学有效性的探讨


（ １ ） 求 一个小 弓形 的面积． 分析： 每个 花瓣 由２ 个 小 弓形
课本 一 习题 的教学 设计为 例 ，谈 点
组成 ， 把 阴影部 分看成 ８ 个小 弓形 的和． 可以计算 一个 小 弓形 的面积 ， 然后乘 以８ ， 而一个小 弓形 的面积等于一个
扇形减一个三角形的面积 解 法１ ： 如 图３ ， 曰 的中点Ｅ Ａ … … …… … 一
面积减 去一个花瓣 的面积 ｓ ７ ， 从 而 得到一个空 白的面积＆ 解 法６ ： 如 图８ ， 由前 面 知 可
通过直接 求小 弓形 、 间接求 空 白 、 割补 、 覆盖、 设 元 等手段 ， 归 纳出求 阴影部 分面积 的基 本方法 ， 即将组 合
计算两个小弓形的面积ｓ 。 ＋ ｓ ２ ， 然后乘以４ ． 解法２ ： 如图４ ， Ｓ ｌ ＋ ｓ 半 圆 一 ． ｓ △ ＾ 棚
１ ｆ ０＼ ２ ｌ ０
＿ 芝 － 耵 ｌ
‘ ’
（ ｓ ・ ＋ ｓ ２ ） － （ 詈 一 ｌ
求 空 白 的面 积
到 的不少题 目都有一定 的难度 ， 要 求学生有 较强 的观察 能力 ， 所 以不少 学生 难免有 畏难 情绪 ， 不愿 意作 深人 思
Ｃ
． ｓ ・ 形
丽 ９ ０竹
２ ＿
一
、
习题 分 析
本 题是人 教版九 年级上册 第 １ １ ４ 页习题２ ４ ． ４ 第３ 题，
是在学生 已学 习了三角形 、 矩形 、 正方形 、 圆、 扇形 、 弓形

引号 ） ２ ．
ｓ ＝ ８ Ｓ １ ）
（ ２ ） 求两个小 弓形 的面积 的和．
扇形 ） ？ ｉ求 ， 然后 乘 以８ ， 得 到所

一道课本习题解答与反思的心路历程


１１ 条件 的思 维 火 花 ．
看到此题 ， 引起我们关注的是题 中出现 了两个 “ 角” 的三角 函数值 ， 这是思 维的起 点 ， 解题者应有 怎样 的思
考分析呢？ 本题求 ｅｓ ｏＣ的值 ， 如何求 解呢？首先 我 们要 找 到
确 舍 ・然 ｃ 知 为 角但 由ｉ 素 的 取虽 由。 ｓ Ｂ 锐 ， ｓ 是 ｎ Ａ
而由Ｈ （） — ＋ ｔ＝ （一 ｔ， ＝～ ｝ ３ 一 ２） ｘ
令 （ ） 得 ， ０ ＝０ ＝ 或 ＝ ｔ － ，］ ２ ∈［ ２ ０ ．
２ ６
一
审’擞 ・ （１年 ５ 高 版 ７ ２０ 第 期・ 中 ） ０
・ 解题研究 ・
课 本 习题 弼 答 与 反 思 的 路 历 程
４ ２ ０ 湖北省云 梦县梦泽高 中 彭治立 ３５０
则 Ａ 日， Ｂ为 锐 角 ， 以 一定 为 锐 角 ， 与 为 ＜ 而 所 这
２ ’ ｓ （ Ｂ） ｉ ｏＢ ｃｓ ｓｎ ）． ｉ Ａ＋ ＝ｓ Ａｃｓ ＋ ｏＡ ｉＢ ’ｎ ｎ
５ ３ 】 ４ ２
一 一
・
．
．
由此 看 出 ， 于 这 种 题 型 我 们 不 能 武 断 下 结 论 ， 对 认
３ ３
＜ｕ，
为只有一解或 两解 ， 应该视具 体情况而定． 面还 有几 下 道变式题 ， 请读 者们 自己模仿原题解答．
这与 ＡＡ Ｃ中０ Ａ Ｂ 订矛盾 ， Ｂ ＜＋ ＜ 故此情形不存在．
变 １ Ａ Ｃ， ｃ＝， ＝， 式． Ａ 中 知。 罟０ 求 ２ Ｂ 已 ｃ ３ ｓ Ｂ
ｃｓ ｏＣ的值．
３・ ） ‘
青 （寺 ，Ａ （ ， ・ ０ ）・∈ 霄 ， ・ 霄 ） ・

对一道课本习题的探究与思考

’
专题 探 讨
’
OG ZH N XU
辩营
群 豁
甘 肃 会 宁 县 第二 中学 ( 7 3 0 7 0 0 )
基 础 教育 正 由 应 试 教 育 向 素 质 教 育 转 轨 在
．
董 力仁
，
“
”
“
”
不 同解 法 请 同学 们 尝 试 看 谁 解 得 快 解 得 好 然 后
．
，
．
这个 过 程 中 观 念 的 转 变 是
，
．
，
去 思 考 去 发 现 实践表 明 这 样 做 不 仅 能极 大 的 激 发
，
+ fP F 2 『 6
’ ． ．
瓶
2 lP F 】 1
一
学 生 学 习 数 学 的兴 趣 和 热 情 而 且 十 分有 助 于 学 生 素
，
。 。 IP F l } + 1P F 2 f + 。 。 {P F 】 + I P R l I
， ，
一
切 工 作 的前提 只有 在
．
放 手让 学 生 去 思 考讨论 去 发 现 创 造 问 题 提 出 后 犹
，
．
，
新 的教 育理 念 的指 导 下 才 会 有 新 的教 育 实 践 并 把
，
如
一
石 激 起 千层 浪 学 生 的 探 究 热 情 被 激 活 他 们 跃
，
．
这 种 教 育实践 由 自发 的 经 验 的 高 度 提 升 到 自觉 的
．
一
步思 考 这 个 问题 能 不 能运 用 其
，
一
不 知 学 到 了什 么 遇 到 新 问 题 不 知 如 何 处 理 只 知 做

一道课本习题的探索

一
以 了．
函数解析式 为 Ｙ＝ ， 值域为 ［ ， ］ 问这样 的函数 １４ ． 有 多少个 ？ 试举 出两 个例 子。 ． 分 析 ： 是 一个 开放性 问题 ， 题 涉及 了函数 的 这 本
“ 要素 ” — 定 义 域 、 应 法 则 、 域 ， ： 三 — 对 值 即 已知 对 应法 则 和值 域 ， 求定 义 域 的 问题 ． 多少 个 函数 ， 要 有
一
原教材相 比有很多突 出的优 点． 中之一就是在 练 其 习中强化了层次性 、 突出了开放性和探索性． 教材既
是 学生 掌握 知识 和学 习 方法 的 主要 蓝 本 ， 是培 养 又 学 生能 力 的载体 在 新 课 程 标 准 下 教 师不 仅要 深 入 挖 掘教 材 的潜在 价 值 ， 需 要 更 加 重 视 教 材 内容 的 还 探 索性 、 发性 、 放 性 和情 感 教 育 价值 性 ． 面就 启 开 下
， 、
学 生根 据 二 次 函数 Ｙ＝ 的 图象 ， 容 易 得 出 很
定义域可以为［ ， ］ ［ ２ 一１ ． １２ 和 一 ， ］ 但更进一步 ， 学 生就 比较 困难 了． 因在 于 学 生 对 函 数定 义 的理 解 原
不够 深 刻 ， 函 数 是 可 以 “ 对 一 ” ， 可 以有 多 即 多 的 即
［ ］ 赵海晶． ２ 不等式 中恒 成立 问题 的解 法研
Ｆ） 对 意 ∈吾＋］成 ， 最 究 ［］ 数学之友 ，０２，８ ． （≥ 任 ［， 恒 立，） Ｊ ． ｏ ∞ （的 ２１ （）
小值 不 可 能在 函数 图象 的顶 点 处 取 ， 以 只 能 在 所
６Ｏ ・
・
所 以 本 题 即 为 Ｆ（ ）≥ ０ 要 对 任 意 ∈
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下面笔者就课本出现的一个习题给出了他的处理方法，人民教育出版社A版必修数学⑤第101页B组2题：
如图：树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，在离地面米的C处看此树，离此树多远时看A、B的视初中平面几何中的这样一个题目：如图：设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大？
分析：此题是平面几何中求角的最值，先找出点，再证明。
现在请学生看一下课本题目的解答方法：
与上面两题相似的题在高考中多次出现，现举例如下：
通过上面知识的解讲，说明了学生在做题时一定要对题目进行探讨、研究，尽量能从题目中总结出解题规律，从而对知识的应用更加得心应手。
作者单位：贵州省桐梓一中
邮政编码：563200
从一道课本习题所想到的
摘要：本文主要介绍了数学解题过程中研究、推广的重要性，旨在引导学生由只关注解题结果向关注解题过程、总结解题方法转变。
关键词：推广；研究；数学习题
作者简介：谢泽涛，任教于贵州省桐梓一中。
笔者在教学过程中发现这样一个现象，学生在解数学题时往往只注重答案正确与否，而不关注解题的过程与技巧，题目一旦获解，就不再考虑此题，更不愿研究推广应用，学生的学习难以达到举一反三、触类旁通的效果。