初高中衔接课程(7)

目录课程说明 (2)使用说明 (3)第一讲基本运算问题 (4)第二讲方程与方程组 (14)第三讲一次函数与反比例函数 (24)第四讲二次函数 (35)第五讲不等式 (46)第六讲函数的综合应用 (58)第七讲三角形与四边形 (70)第八讲锐角三角函数 (79)第九讲圆 (79)第十讲高中数学常见的思想方法 (79)课程说明课程名称初高中数学衔接课程课程定位关注初高中数学教材编排特点；关注初高中学生的思维发展水平；总体课程目标通过本课程的学习，能够起到以下效果：一、弥补基础知识的不足，夯实学习高中数学的良好基础。

二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。

三、初步掌握高中数学思想方法，形成良好的学习习惯。

课程适用区域（省或直辖市）适用使用新课标教学的地区课程研发理念和思路高中数学难，难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在思维模式和学习方法上，都存在较大的差异，形成了一个“高台阶”。

特别在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、常用方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求。

《初高中数学衔接课程》旨在帮助即将进入高中的学生弥补知识储备的漏洞，掌握基本的数学思想方法，形成良好学习习惯，提振学习信心，闯过高中数学的第一道坎。

主要内容编号课题课程容量第一讲基本运算问题120分钟第二讲方程与方程组120分钟第三讲一次函数与反比例函120分钟第四讲二次函数120分钟第五讲不等式120分钟第六讲函数的综合应用120分钟第七讲三角形与四边形120分钟第八讲锐角三角函数120分钟第九讲圆120分钟第十讲高中数学常见的思想方法120分钟使用说明本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用。

共分十讲，每讲安排有教学目标、重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目。

无论在小组课还是一对一授课过程中，老师都可以进行二次开发，更需要根据学生的具体情况进行个性化处理，让我们共同成为精品课程的开发者。

第７讲 三角形与四边形教学内容一、 基础知识梳理1、三角形边角关系（1）边与边的关系任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边． （2）角与角的关系三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和． （3）边与角的关系在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边．三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和这角的两条邻边成比例． 2、三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点．三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心．三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等．课时数量 2课时（120分钟）适用的学生水平 ☐优秀 ☐中等 ☐基础较差教学目标三角形边角关系，理解三角形的“四心”概念；掌握特殊三角形的性质，并能灵活运用； 理解和运用梯形和平行四边形性质．教学重点、难点 重点：理解和运用特殊三角形和特殊四边形的基本性质 难点：平面几何证明方法，逻辑思维能力的形成 建议教学方法讲练结合√三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心．锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部．过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心．三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点． 3、几种特殊的三角形（1）等腰三角形的内心、重心、垂心、外心必然在同一条直线上． （2）直角三角形垂心为直角顶点； 外心为斜边的中点，外接圆直 径等于斜边长；内心在三角形的内部，且内切圆的半径为2bc a（其中,,a b c 分别为三角形的三边的长a 为斜边）．直角三角形的三边长满足勾股定理，常见的勾股数为 3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；等等．（3）正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心．边长为a 的正三角形的高为a 23；内切圆的半径为a 63；外接圆半径为a 33；面积为243a ． 4、梯形（1）梯形的中位线长等于上下底和的一半；（2）等腰梯形的两条腰相等，两个底角相等，两条对角线相等； （3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线； （4）直角梯形有两个角是直角（5）对角线互相垂直的梯形面积等于两条对角线积的一半．5、平行四边形（1）平行四边形两组对边平行；两组对边相等；平行四边形两组对角相等；两个邻角互补； 平行四边形两条对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；资 料 任取两个正整数m ，n ， 那么 m 2－n 2，2mn ，m 2＋n 2是一组勾股数．这是我国清朝数学家罗士琳（1789-1853）提出的，被称为罗士琳法则．（3）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形；（4）过平行四边形对称中心的任意直线，将平行四边形分成全等的两个图形； （5）平行四边形两条对角线把平行四边形面积分成四等分； （6）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和； 菱形、矩形、正方形是特殊的平行四边形．二、主要方法归纳1．平面几何是学习高中平面解析几何、立体几何、平面向量、三角函数的重要基础．几何证明是对培养学生逻辑思维能力和空间想象能力具有十分重要的作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系．这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题． 2．几何证明的基本方法（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的．3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形．在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的．三、典型例题精讲例1 如图，在直角三角形ABC 中，BAC ∠为直角，BC AD ⊥于D ．求证：（1）BC BD AB ⋅=2，B C CD AC ⋅=2；（2）D C BD AD ⋅=2【证明】 （1）在BAC Rt ∆与BDA Rt ∆中，B B ∠=∠，∴BAC Rt ∆∽BDA Rt ∆， 于是有BABCBD BA =，∴BC BD AB ⋅=2． 同理可证得B C CD AC ⋅=2．（2）在ABD Rt ∆与CAD Rt ∆中，AD C C B AD ∠-90∠0∠==， ∴ABD Rt ∆∽CAD Rt ∆， 于是有ADDCBD AD =， ∴D C BD AD ⋅=2．例2 在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，求证：DCBDAC AB =． 【证明】 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，则 ABD ∆∽EBC ∆， 于是有DCBDEA AB =， 由AEC A D CAD ∠CE ∠AB ∠∠=== ∴AC EA =，∴DC BDAC AB =．例3 如图在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某同学在研究这一问题时，发现了如下的事实：提 示例1的结论称为直角三角形的射影定理，也叫欧几里德(Euclid )定理．（1）当11211AE AC 时，有22321AO AD .（如图a ）（2）当11312AE AC 时，有22422AO AD .（如图b ）（3）当11413AE AC时，有22523AO AD.（如图c ）当11AE ACn时（如图d ），参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）． 【解】 依题意可以猜想：当11AEACn时，有22AO ADn成立．证明：过点D 作DF //BE 交AC 于点F ， ∵ D 是BC 的中点，∴F 是EC 的中点，由11AEACn ，可知1AE ECn，∴n EF AE 2=，n AF AE +=22， ∴=AD AO nAF AE +=22．例4 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2∶1．已知：D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2∶1两段． 【证明】 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，∵ D 、E 分别为BC 、AE 的中点， 则DE //AB ，且12DEAB ， ∴ GDE ∆∽GAB ∆，且相似比为1∶2， 即 GD AG 2=，GE BG 2=． 设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合，提 示想一想，如图d 中，若1AOAD n，则?AE AC∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2∶1两段．例5 求证：三角形的三条高交于一点．已知：ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，C ⊥BE A 于E ，AD 与BE 相交于H ． 求证：B ⊥CH A .【证明】 延长CH 交B A 于F ，∵ D 、E 在以CH 为直径的圆上， ∴ ∠ADE CF ∠=A ，同理，D 、E 在以AB 为直径的圆上，可得 ∠ADE BE ∠=A ， ∴ ∠ABE CF ∠=A于是ABE ∆∽ABE ∆ABE ∆， ∴B ⊥CH A ．例6 在ABC ∆中，3, 2.AB AC BC ===求 （1）ABC ∆的面积ABC S ∆及AC 边上的高BE ； （2）ABC ∆的内切圆的半径r ； （3）ABC ∆的外接圆的半径R ．【解】 （1）如右图，作AD BC ⊥于D ．,AB AC D =∴为BC 的中点，∴22BD AB AD -=＝22，2221=××=AD BC S ABC ∆．又∵2221=××=BE AC S ABC ∆，∴324=BE ． （2）如图，设I 为ABC ∆的内心，则I 到三边的距离均为r ， 连结,,IA IB IC ，22=++=AIC IBC ABI ABC S S S S ∆∆∆∆，即 11122222AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅解得22r =. （3）∵ABC ∆是等腰三角形，∴外心O 在AD 上，连BO ，在OBD ∆中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+222(22)1,R R ∴=-+ 解得92.8R =例7 求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．已知：点P 为等边三角形ABC ∆内任一点，过点P 分别 作AB 、CA 、BC 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ．求证：PF PE PD ++为定值． 【证明】 设等边三角形ABC ∆的高为h ，连结PA 、PB 、PC ，则有ACP BCP ABP ABC S S S S ∆∆∆∆++=，即PE AC PF BC PD AB h AB ×+×+×=×21212121 ∵AC BC AB == ， ∴PE AB PF AB PD AB h AB ×+×+×=×21212121， 即 h PF PE PD =++为定值，例8 △ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ， 且P 、Q 、R 共线，则1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ． 提 示由古希腊数学家梅涅劳斯（Menelaus ）首先证得，故称为梅涅劳斯定理（简称梅氏定理），其逆命题ABCPQRG【证明】 过点C 作CG ∥AB 交PR 于G ，则有BRBP =， ARCGQA CQ =，BRARRB AR =三式相乘，得1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ． 例9 试证平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和．已知：ABCD 是平行四边形．求证：222222BD AC DA CD BC AB +=+++． 【证明】 过点D 作AB DE ⊥于E ． 于是 222)+(+=AE AB DE AC ， 222BE DE BD +=，两式相加，得 222222BE DE AE AB DE BD AC ++)+(+=+ 222222BE AE AE AB DE AB ++×++= 222222BE AE AE BE AE DE AB ++)+(++= 22222222BE AE AE BE AE DE AB ++×+++= 22222AB AE DE AB +)+(+= 2222AB AD AB ++=2222DA CD BC AB +++=．例10 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．（1）求BCOFAD OE +的值； （2）求证：112AD BC EF．【解】（1）∵ADOFCA CO BA BE AD OE === 也成立．BACDE∴OF OE =．于是BA BE AD OE =， AB AEBC OE BC OF == ∴ BC OF AD OE +AB AE BA BE +=1==ABAB ．（2） 由（1）知1=+BC OF AD OE ，即1=+BC OEAD OE ，又2EFOE =，∴ EFOE BC AD 2111==+．四、课后巩固练习 A 组1．如图，ABC ∆中，AD ＝DF ＝FB ， AE ＝EG ＝GC ，FG ＝4，则（ ）A ．DE ＝1，BC ＝7B ．DE ＝2，BC ＝6 C ．DE ＝3，BC ＝5D ．DE ＝2，BC ＝82．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________．3．如图，在ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：DCBDAC AB =．B 组1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =．点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD 上，AE GF GC ==．（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当2FGC EFB =∠∠时，求证：四边形AEFG 是矩形．BE ADGF2．已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上．（1）若AB ＝10，AB 与CD 间距离为8，AE ＝EB ，BF ＝FC ，求△DEF 的面积． （2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积．C 组1．设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F ．求证：FBAFED AE 2=．第1题 第2题 2．设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点， 则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点，求证：AZ ZB ·BX XC ·CYYA＝1．五、参考答案与提示A 组1．B 2． 12 ， 18 3．略B 组1．提示： （1） 证AE ∥GF ；（2）过G 作FC GH ⊥于H ， 2．提示：提 示这就是著名的塞瓦定理．意大利数学Ceva 1678年发现，其逆命题也成立．ABCPXYZC 组1．提示：直线CEF 截△ABD ，利用梅氏定理1=××FABFCB DC ED AE ．2．提示：设S ⊿APB ＝S 1，S ⊿BPC ＝S 2，S ⊿CPA ＝S 3．则AZ ZB ＝S 3S 2，BX XC ＝S 1S 3，CY YA ＝S 2S 1， 三式相乘，即得证．。