椭圆题型归纳
、知识总结
1.椭圆的定义 ：把平面内与两个定点 F 1,F 2 的距离之和等于常数（大于 F 1F 2 ）的
点
的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距 （设为 2c ） .
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，
可设方程为 mx 2 ny 2 1（m 0,n 0） 不必考虑焦点位置，求出方程。
3. 范围. 椭圆位于直线 x ＝±a 和 y ＝± b 围成的矩形里． |x|≤a ，|y|≤b ．
4. 椭圆的对称性
椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
5. 顶点
椭圆有四个顶点： A 1（－a, 0）、A 2（a, 0）、B 1（0, －b ）、B 2（0, b ）． 线段
A 1A 2、
B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴 .。
2.椭圆的标准方
程：
2 2
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．
在 Rt △OB 2F 2 中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即 c 2＝a 2－b 2．
2
y
2 1 (a >b >0) 的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上
任意一点
b 2 b 2
，即
K AB a
考点一 定义及其
应用
例 1. 已知一个动圆与圆 C :(x 4)2 y 2 100 相内切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆 圆心
M 的轨迹方程；
例 2. 如果方程 x 2 (y m)2 x 2 (y m)2 m 1表示椭圆，则 m 的取值范围
F 1PF 2
，则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1
PF
2
b 2 tan .
2
2
8. 椭圆 x 2 a 2
y 2 1(a >b >0)的焦半径公式 |MF 1 | a ex 0 , |MF 2 | a ex 0 b
( F 1( c,0) , F 2(c,0) M (x 0,y 0)). x 2 9. AB 是椭圆
x 2
a
b 2
1的不平行于对称轴的弦 ，M (x 0, y 0)为 AB 的中点，则
b 2 x 0 2
a y 0
1)
a
2
7. 椭圆 x 2
a 2
是
例 3. 过椭圆 9x 2 4y 2 1的一个焦点 F 1的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则 A,B 两点
与椭圆的另一个焦点 F 2构成的 ABF 2 的周长等于
；
例 4. 设圆 (x 1)2 y 2 25的圆心为 C ， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任意一 点，线 段 AQ 的垂直 平分线与 CQ 的连线交 于点 M ，则点 M 的轨迹方 程
考点二 椭圆的方程
例 1. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 圆的方程；
例 2. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
P 2( 3, 2) ，求椭圆的方程；
3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭
P 1( 6,1) 、
例 3. 求经过点(2, 3)且与椭圆9x2 4y2 36 有共同焦点的椭圆方程；
2 2 2 2
注：与椭圆x2y2 1共焦点的椭圆可设其方程为2x2y1(k b2) ；
a b a k b k
例 1. 在ABC中，A,B,C 所对的三边分别为a,b,c ，且B( 1,0), C (1,0) ，求满足
b a c且b,a,
c 成等差数列时顶点 A 的轨迹；
2
例 2. 已知x轴上一定点A(1,0) ，Q为椭圆y2 1上任一点，求AQ 的中点M 的
4
轨迹方程；
例 3. 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x 2 2y 2 4交于 A, B 两点，点 P 是直线 l 上 满足 PA PB 1的点，求点 P 的轨迹方程；
例 4. 中心在原点，一焦点为 F(0, 50) 的椭圆被直线 y 3x 2截得的弦的中点的横 坐标为 1 ，求此椭圆的方程；
2
考点三 焦点三角形问题
x 2 y 2 5
例1. 已知椭圆
1x 6 2y 5 1
上一点 P 的纵坐标为 53 ，椭圆的上下两个焦点分别为 F 2、
F 1，求 PF 1 、 PF 2 及 cos F 1PF 2；
考点四椭圆的几何性质
2例 1. 已知P 是椭圆x2
a2
y
2 1上的点，的纵坐标为5，F1、F2分别为椭圆的两个b2 3
1 2
焦点，椭圆的半焦距为c，则PF1 PF2 的最大值与最小值之差为
22 例 2. 椭圆x2y2 1 (a a2
b
2b 0）的四个顶点为A,B,C,D ，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为
考点五求范围
例 1. 方程
2
x
2
m
2
y
(m 1)2
1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m 的取值范
围；
例 3. 若椭圆
2
x
k1
1 的离心率为1，则
k
2
2
例 4. 若P 为椭圆x2
a
2
y
b2 1(a b 0) 上一点，F1 、F2 为其两个焦点，且
PF1F2 150，PF2F1 750，则椭圆的离心率为
